2023-2024学年北京市怀柔区高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年北京市怀柔区高二下学期期中考试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知数列{}n a 满足12a =，
12
1n n a a +=
+，则3a =（
）
A.1
B.2
C.
65
D.
23
【正确答案】C
【分析】根据数列的递推关系式，逐项递推，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足12a =，且12
1n n
a a +=+，令1n =，可得212213a a =
=+；令2n =，可得322615
a a ==+.故选：C.
2.某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（）
A.24种
B.18种
C.12种
D.6种
【正确答案】B
【分析】从4门学科的全排列数中去掉体育排第一节的排列数即可作答.
【详解】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为4
4A 种，其中体育排在第一节的有3
3A 种，所以该班周一上午不同的排课方案共有4
3
43A A 18-=（种）.故选：B
3.若a 、b 、c 成等差数列，则（）
A.
2b a c =+ B.2b ac
= C.2b a c
=+ D.2b ac
=【正确答案】A
【分析】由等差数列的性质化简可得结果.
【详解】因为a 、b 、c 成等差数列，则b a c b -=-，可得2b a c =+.故选：A.
4.在6(2)x +的展开式中二项式系数最大的项是（）A.第3项和第4项
B.第4项和第5项
C.第3项
D.第4项
【正确答案】D
【分析】根据二项式系数的定义计算二项式展开式中各项的二项式系数，进而确定二项式系数最大的项【详解】二项式()n
a b +展开式中第1r +项的二项式系数为r
n C 所以题中二项式展开式的第1r +项的二项式系数为6
r
C 0r =时，061C =；1r =时，1
6
6C =；2r =时，2615C =；3r =时，3
6
20C =；4r =时，4615C =；5r =时，56
6C =；6r =时，661C =.所以3r =时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D 正确.故选：D.
5.某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（）A.
17
20
B.
717 C.
720
D.
317
【正确答案】B
【分析】直接根据条件概率公式即可求出．
【详解】记灯泡的使用寿命为2000小时为事件A ，超过2500小时为事件B ，
则若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为
()0.357
(|)()0.8517
P AB P B A P A =
==.
故选：B ．
6.为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有A.140种 B.84种
C.70种
D.35种
【正确答案】C
【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解.【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有3
9C 种情况.若全为男生，共有3
4C 种情况；若全为女生，共有3
5C 种情况.
所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有333
94570.
C C C --=故选C.
本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题.7.若离散型随机变量X 的分布列为：
X 01
P
2
a 22
a 则X 的数学期望()E X =（）
A.2
B.2或1
2 C.2和1
2
D.1
2
【正确答案】D
【分析】由分布列的性质求出a ，再由数学期望公式求解即可.
【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列可得22
012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪
⎪
≤≤⎨⎪
⎪+=⎪⎩
，解得1a =，∴X 的数学期望111
()01222
E X =⨯+⨯=．故选：D ．
8.某学生回家途中遇到红灯的概率为
3
5
，这名学生回家途中共有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，设X 表示这名学生回家途中遇到红灯的次数，则()2P X ≥等于（）
A.
81125
B.
54125
C.
36125
D.
27125
【正确答案】A
【分析】根据题意，由互斥事件的性质可得(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=，进而计算可得答案.【详解】根据题意，
()()()23
23
323542781223C 555125125125
P X P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．
9.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【详解】{}n a 是首项为正数的等比数列，若公比0q <，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有
212n n a a ->，充分性满足，
但是01q <<时，数列各项均为正，2212n n n a a q a -=<，也就是说221n n a a -<时，得不出0q <，不必要．故选：A ．
10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）
A .
8
B.9
C.10
D.11
【正确答案】C
【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.
【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故
2462100n ++++≥ ，即
()221002
n n +≥，解得
12n -≤
或12
n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.计算：
()
1111
1223341n n ++++=⨯⨯⨯+ ______.【正确答案】
1
n
n +【分析】
利用裂项相消法求和.【详解】原式111111111...122334111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.故
1
n
n +12.2
6
1()x x
+的展开式中常数项是_________．【正确答案】15
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令指数为0，再利用组合数公式求常数项.【详解】2
6
1()x x
+的展开式的通项公式为
()()
62
1
123166C C k k
k
k
k k T x x x ---+=⋅⋅=⋅，
令1230k -=，解得4k =，所以展开式中常数项是4
2
6665
C =C ==152
⨯.故15.
13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34567150a a a a a ++++=，则9S =_________．【正确答案】270
【分析】由等差数列的性质先求得5a ，再根据959S a =即可获解.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且34567150
a a a a a ++++=3456755150
a a a a a a ∴++++==解得530a =,()91959
92702
S a a a ∴=+==故270.
14.若实数1,,,4x y 成等差数列，2,,,,8a b c --成等比数列，则y x
b
-=___________.【正确答案】14
-
【详解】实数1,,,4x y 成等差数列，则41
13
y x --=
=，2,,,,8a b c --成等比数列，则()()22816b =--=.
由2,,a b -成等比得：()2
2b 0a =->，所以b 0<，所以b 4=-.
则
1
4
y x b -=-.故答案为1
4
-
.15.“斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列．在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，
()*21N n n n a a a n ++=+∈．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若99a λ=，()99R S μλμ=∈，，则
100a =__________．
【正确答案】1
μλ-+【分析】对于(
)*
21N
n n n a a a n ++=+∈分别令1,2,,98n =⋅⋅⋅，得到98个等式，相加化简可得结果.
【详解】解：依题意，123a a a +=，234a a a +=，
345a a a +=，
……，
979899a a a +=，9899100a a a +=，
以上各式相加得，
1239899349899100222a a a a a a a a a a +++⋯⋯++=++⋯⋯+++，
∴1299991002a a a a a a ++⋯⋯+=+-，∴99991001S a a =+-，
∵99a λ=，()99R S μλμ=∈，，∴1001a μλ=-+．故1μλ-+．
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X ．（1）求()1P X =的值；
（2）求随机变量X 的分布列和数学期望．【正确答案】（1）
15
28
（2）分布列见解析；期望为
34
【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可.
（2）得出X 的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望.【小问1详解】根据题意可知，
“1X =”指事件“取出的2个球中，恰有1个白球”，
所以11
35
2
8C C 15(1)C 28
P X ===.【小问2详解】
根据题意可知，X 的可能取值为：0,1,2．
023528C C 5(0)C 14P X ===；1135
28C C 15(1)C 28P X ===；2328C 3(2)C 28
P X ===．
所以随机变量X 的分布列为：
X
12P
514
15
28
3
28
则X 的数学期望5153213()012142828284
E X =⨯
+⨯+⨯==．17.数列{}n a 是等差数列，n S 表示其前n 项之和，26a =，370a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值．【正确答案】（1）102n a n =-（2）20
【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意列方程组可求出1a 和d ，从而可求出通项公式；（2）由（1）可求出n S ，对其配方后可求出其最大值.【小问1详解】
根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，由于26a =，370a a +=，则216a a d =+=，①
3711126280a a a d a d a d +=+++=+=，即140a d +=②，
联立①②，解可得18a =，2d =-；
所以数列{}n a 的通项公式为()11102n a a n d n =+-=-；【小问2详解】
根据题意，由（1）的结论，102n a n =-，则()2
12(8102)981(9)92
224n n n a a n n S n n n n n ++-⎛
⎫=
==-=-+=--+ ⎪⎝
⎭，
而*n ∈N ，所以，当4n =或5x =的，n S 取最大值，且其最大值为4520S S ==．
18.某中学羽毛球兴趣小组有甲、乙、丙三位组员，在单打比赛中，没有平局，且甲赢乙的概率为0.5，甲赢丙的概率为0.6．甲想挑战乙和丙．于是甲和乙、丙两位组员各自进行了一场比赛．（1）若甲两场比赛都赢了，则挑战成功，求甲挑战成功的概率；
（2）设甲赢的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．【正确答案】（1）0.3（2）分布列见解析；期望为1.1
【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意得到X 的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意知，甲赢乙的概率为0.5，甲赢丙的概率为0.6，
根据相互独立事件的概率公式，可得甲挑战成功的概率0.50.60.3P =⨯=．【小问2详解】
解：由题意可知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，则()()()010.510.60.2P X ==-⨯-=，
()()()110.50.60.510.60.5P X ==-⨯+⨯-=，
()20.3P X ==，
所以随机变量X 的分布列：
X
012P
0.
2
0.5
0.3
则数学期望()00.210.520.3 1.1E X =⨯+⨯+⨯=．
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩
⎭
是公差为2的等差数列，12b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．条件①：11a =且()1202n n a a n --=≥；条件②：21n n S =-；条件③：21n n a S -=．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【正确答案】（1）1
2
n n a -=（2）2
1
1
22n n -+-
【分析】（1）选①：由题意可得出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；选②③：当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，整理可得12n n a a -=，可求出数列
{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）可求出{}n b ，再由分组求和法求出数列{}n b 的前n 项和n T ．【小问1详解】选①：
因为11a =，且()1202n n a a n --=≥，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以12n n a -=；
选②：
解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，(
)1
111212
1222n
n n n n n n n a S S ----=-=---=-=，
因为当1n =时满足上式，所以12n n a -=；
选③：
因为21n n a S -=，得21n n S a =-，当1n =时，1121a S -=，得11a =，
当2n ≥时，()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以1
2n n a -=；
【小问2详解】
因为1n n b a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是公差为2的等差数列，12b =，
所以1
12(1)21n n
b n n a -
=+-=-，所以11121212
n n n b n n a -=-+
=-+，所以数列{}n b 的前n 项和1111
1135242
n n T -=+++
++++ 111
1[135(21)]124
2n n -⎛⎫=++++-+++++ ⎪
⎝⎭
1
1 (121)2
1 21
2n
n n
⎛⎫- ⎪
+-⎝⎭=+
-
2
1
1
2
2n
n
-
=+-．
20.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业
人数2005601412898
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望()
E X；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(098)
a<<
人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s．当a为何值时，2s最小．（结论不要求证明）
【正确答案】（1）1400
（2）分布列见解析；期望为3 5
（3）42
a=
【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
(3)由方差的意义可得.
【小问1详解】
由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为
560
2500=1400
1000
⨯．
【小问2详解】
由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001 10005=．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的
概率为1 5．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以()030311640155125
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，()3
0331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P 64
12548
125121251125
64481213()01231251251251255
E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】
易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a =．
21.对于给定的正整数m 和实数α，若数列{}n a 满足如下两个性质：①12m a a a α++⋅⋅⋅+=；②对*n N ∀∈，+=n m n a a ，则称数列{}n a 具有性质()m P α.
（1）若数列{}n a 具有性质2(1)P ，求数列{}n a 的前10项和；
（2）对于给定的正奇数t ，若数列{}n a 同时具有性质4(4)P 和()t P t ，求数列{}n a 的通项公式；
（3）若数列{}n a 具有性质()m P α，求证：存在自然数N ，对任意的正整数k ，不等式
12N N N k a a a k m
α+++++⋅⋅⋅+≥均成立.【正确答案】（1）5
（2）1
n a =（3）证明见解析【分析】（1）根据题意得到当n 为奇数时，1n a a =，当n 为偶数时，2n a a =，从而()110255S a a +==；
（2）根据题干条件得到21n n n a a a ++==，故{}n a 为常数列，结合12344a a a a +++=求出1n a =；（3）对要证明的不等式变形，构造n n b m
a α=-
，研究其性质，证明出结论.【小问1详解】
由题意得：121a a +=，2n n a a +=，则当n 为奇数时，1n a a =，当n 为偶数时，2n a a =，所以数列{}n a 的前10项和()110255S a a +==；
【小问2详解】
由题意得：12344a a a a +++=，4n n a a +=，对于给定的正奇数t ，12t a a a t ++⋅⋅⋅+=，对*n N ∀∈，
n t n a a +=，则令21t k =-，k *∈N ，得：2221214n n k k n k n a a a a +++-+-+===，11212n n k n k n a a a a +++-+===，综上：{}n a 为常数列，由12344a a a a +++=可得：1
n a =【小问3详解】要证12N N N k a a a k m α+++++⋅⋅⋅+≥，只需证12N N N k a a a k m
α+++++⋅⋅⋅+≥⋅，即证120N N N k a a a m m m ααα+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令数列n n b m
a α=-，由于{}n a 具有性质()m P α，即12m a a a α++⋅⋅⋅+=，对*n N ∀∈，+=n m n a a ，则12120m m
b b b a a a m m m ααα++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-，对*n N ∀∈，n m n m n n b m m
b a a αα++=--==，所以{}n b 具有性质(0)m P ，令()123i i S b b b b i N *=+++∈ ，设12,,m S S S 的最小值为()1N S N m ≤≤，对*k N ∀∈，令N k pm r +=+，,,0p r N r m ∈<≤，由于{}n b 具有性质(0)m P ，则有0pm S =，所以
123123N k pm r pm pm pm pm pm r r r N S S S b b b b b b b b S S ++++++==+++++=++++=≥ ，
所以0N k N S S +-≥，所以12N N N k a a a k m
α+++++⋅⋅⋅+≥成立本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.。