高三物理同步测控优化训练6(6.向心加速度) 新人教版必修2

第六节 向心加速度
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ） A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动 B.它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C.该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态
D.该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合外力不等于零 答案：BD
2.做匀速圆周运动的物体，下列物理量时刻发生变化的是（ ） A.速度 B.加速度 C.角速度 D.周期 答案：AB
3.匀速圆周运动属于（ ） A.匀速运动 B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动
D.变加速度的曲线运动 答案：D
4.质量相等的A 、B 两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2∶3，而转过的角度之比为3∶2，则A 、B 两质点周期之比T a ∶T b =_____________，向心加速度之比a a ∶a b =_____________. 答案：2∶3 1∶1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是（ ）
A.由a=r
2
v 知，a 与r 成反比
B.由a=ω2
r 知，a 与r 成正比 C.由ω=
r
v
知，ω与r 成反比 D.由ω=2πn 知,角速度与转速n 成正比 答案：D
2.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ） A.它描述的是线速度方向变化的快慢 B.它描述的是线速度的大小变化的快慢 C.它描述的是角速度变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的 答案：A
3.在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图6-6-1所示，过A 、B 的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比为_____，向心加速度之比为____________.
图6-6-1
解析：由于A 、B 两点在同一个圆环上，A 、B 两点具有相同角速度，在角速度相同的条件下，根据公式：v=ωr 可知，A 、B 两点的线速度之比也就是A 、B 两点做圆周运动的半径之比，r a =Rsin30°=
21R ，r b =Rsin60°=2
3R ，所以线速度之比为1∶3； 由公式a n =ω2
r ，在角速度一定的情况下，a a ∶a b =r a ∶r b =1∶3.
答案：1∶3 1∶3
4.如图6-6-2所示，一个大轮拉动着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 离转动轴的距离是半径的
3
1
，当大轮边上P 点的向心加速度是12 cm/s 2
时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度是多大?
图6-6-2
解析：因为同一轮上的S 点和 P 点角速度相同，ωs =ωp ，由a n =ω2
r 得a S =a p P
S
r r =12×31
cm/s 2
=4 cm/s 2
又P 点与Q 点线速度大小相同，v p =v Q ，由a n =r
v 2
得
a Q =a p
Q
P r r =12×12 cm/s 2=24 cm/s 2
.
答案：4 cm/s 2
24 cm/s 2
5.一质点做匀速圆周运动的半径约为地球的半径，R=R 地≈6 400 km，它的线速度大小是v ＝100 m/s ，将这个匀速圆周运动看成是匀速直线运动你认为可以吗?试论证之. 解析：由题意知此质点做匀速圆周运动的向心加速度为：
a n =622104.6100⨯=R v m/s 2=1.56×10-3 m/s 2
.向心加速度改变质点的运动方向，但在不太大的空间范围内，如100 km ，物体转过的角度为：θ=6
5
10
4.621012⨯⨯⨯=ππR l
≈5.6°，这样，
a n =1.56×10-3 m/s 2
的加速度可以忽略.所以在不太大的空间范围内可以将此质点的运动看作匀速直线运动.一个物体的运动性质随着时间和空间范围的变化可以是不同的，每一种理想化的运动，都是实际问题在一定条件下的抽象，是近似的，而不是绝对的.这是解决物理问题重要的思想方法.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.在平直公路上行驶的汽车，初速度为v 1，方向向东，经一段时间后速度变为v 2，方向向西，其速度变化量为Δv,v 1、v 2、Δv 这三个量的关系可以用一个矢量图表示，在图663的四个图中正确的是（ ）
图6-6-3
答案：C
2.如图6-6-4所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑.图中有A 、B 、C 三点，这三点所在处半径
r a ＞r b =r c ，则这三点的向心加速度a a 、a b 、a c 关系是（ ）
图6-6-4
A.a a =a b =a c
B.a c ＞a a ＞a b
C.a c ＜a a ＜a b
D.a c =a b ＞a a
解析：本题考查皮带转动装置中的线速度和角速度的关系.在本题图中，A 、B 两点都在皮带
上，线速度相等，即v a =v b ，又因为r a ＞r b ，a=r
v 2
，所以可得到：a a ＜a b ；又因为B 、C 在同
一个轮子上，同一个轮子上的点具有相同的角速度，因为r a ＞r c ，ωa =ωc ，所以a c ＜a a ，综上所述，A 、B 、C 三点的向心加速度的大小关系为：a c ＜a a ＜a b . 答案：C
3.关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ） A.它们的方向都沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析：如图所示，地球表面，各点的向心加速度方向(同向心力的方向)都在平行赤道的平面内指向地轴.选项B 正确，选项A 错误.在地面上纬度为φ的P 点，做圆周运动的轨道半径
r=R 0cos φ，其向心加速度为a n =r ω2=R 0ω2
cos φ.由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此，北京的向心加速度比广州的向心加速度小.解答此类问题要知道如下问题：（1）因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心都在地轴上，而不是地球球心，向心力只是引力的一部分（另一部分是重力），向心力指向地轴，所以它们的向心加速度也都指向地轴.（2）重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力并不是地球对物体的吸引力，而是吸引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力.
答案：BD
4.在图6-6-5中，A 、B 为咬合转动的两齿轮，R a =2R b ，则A 、B 两轮边缘上两点的（ ）
图6-6-5
A.角速度之比为2∶1
B.向心加速度之比为1∶2
C.周期之比为1∶2
D.转速之比为2∶1
解析：因为A 、B 为咬合转动的两齿轮，所以A 、B 两齿轮边缘的点具有相同大小的线速度，
由因为R a =2R b ，所以ωa =21ωb ，A 错误.因为a=1
2
2==B A R R R v ,所以a a ∶a b =1∶2,B 正确.因
为T=
ωπ2，所以T a ∶T b =2∶1，C 错误.由ω=2πn=2πf=T
π
2可知，n a ∶n b =f a ∶f b =1∶2，D 错误. 答案：B
5.一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，向心加速度为a.那么（ ） A.小球运动的角速度ω=
R
a
B.小球在时间t 内通过的路程为s=aR t
C.小球做匀速圆周运动的周期T=
a
R D.小球在时间t 内可能发生的最大位移为2R
解析：由向心加速度的公式a=R ω2
得:ω=R
a
，A 正确.又由公式a=R v 2得：
v=aR ，则小球在时间t 内通过的路程为：s=vt=t aR ，B 正确.由周期与角速度的关系T=
ω
π
2，将ω的值代入公式可得：
T=
a
R
R
a π
πω
π
222==
，C 错误.小球做匀速圆周运动，最大位移为圆周的直径2R ，D 正确. 答案：ABD
6.飞机做曲线运动表演，初速度为v 1，经时间t 速度变为v 2，速度变化量Δv 与v 1和v 2的方向的关系如图6-6-6所示，其中正确的是（ ）
图6-6-6
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④ 解析：本题考查矢量合成的平行四边形定则（也即三角形定则），根据题意，速度的变化量Δv=v 2-v 1，但它是一个矢量的表达式，可以用平行四边形定则，也可以用矢量三角形定则，但是要将平行四边形和三角形的箭头关系弄清楚，图中①很显然是错误的，将Δv 化成是v 1、v 2的矢量和，③中Δv 的方向画错，②④是正确的，所以正确选项为D. 答案：D
7.(经典回放)上海锦江乐园新建的“摩天转轮”可在竖直平面内转动，其直径达98 m ，世界排名第五.游人乘坐时转轮始终不停地匀速转动，每转动一周用时25 min.则（ ） A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零 B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C.乘客在乘坐过程中，对座位的压力始终不变 D.乘客在乘坐过程中的机械能始终不变
解析：转轴匀速转动，其上的人随着做匀速圆周运动，而匀速圆周运动属于变速运动，有加速度（向心加速度)，故人所受合力不为零；人在竖直平面内做匀速圆周运动，向心力的方向随时改变，因此，人对座位的压力必定要发生变化(最高点与最低点明显不同).另外，乘客随转轮做匀速圆周运动，其动能不变，但乘客的重力势能发生变化，故机械能发生变化. 答案：A
8.如图6-6-7所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的
4
1
圆周，在B 点轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为_________，滑过B 点时的加速度大小为_________.(提示：质点刚要到达B 点时的速度大小为gr 2)
图6-6-7 解析：小球由A 点到B 点所做的运动是圆周运动的一部分，因而小球刚要到达B 点时的运动
为圆周运动，其加速度为向心加速度，大小为：a=r
v 2，将v=gr 2代入可得：a=r gr 2=2g.
小球滑过B 点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g. 答案：2g g
9.如图6-6-8所示，摩擦轮A 和B 通过中介轮C 进行传动，A 为主动轮，A 的半径为20 cm ，B 的半径为10 cm ，A 、B 两轮边缘上的点，角速度之比________；向心加速度之比为____.
图6-6-8 图6-6-9
解析：摩擦轮A 和B 通过中介轮C 进行传动，三轮边缘上的点线速度相等，由题中的已知条件可知，A 、B 两点的线速度相等，又A 的半径为20 cm ，B 的半径为10 cm ，且ω=
r
v
，可得到：ωa ∶ωb =r b ∶r a =10∶20=1∶2；由a=r
v 2
=v ω可得：
a a ∶a
b =ωa ∶ωb =1∶2. 答案：1∶2 1∶2
10.如图6-6-9所示，定滑轮的半径r=2 cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开
始释放，测得重物以加速度a=2 m/s 2
做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m 的瞬间，
滑轮边缘上的点的角速度ω=__________rad/s ，向心加速度a=_________m/s 2
.
解析：重物下落1 m 时，瞬时速度为v=1222⨯⨯=as m/s=2 m/s ，显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m/s ，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为ω=
02
.02=r v rad/s=100 rad/s ，向心加速度为 a=ω2
r=1002
×0.02 m/s 2
=200 m/s 2
.本题讨论的是变速运动问题，重物下落的过程中滑轮运动的角速度、轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系(v=ωr)，
向心加速度与角速度、线速度的关系(a=ω2
r=r
v 2)仍然成立.
答案：100 200
11.如图6-6-10所示，一轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m 的圆形跑道行驶，当轿车从A 运动到B 时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
图6-6-10
(1)此过程中轿车的位移大小； (2)此过程中轿车通过的路程； (3)轿车运动的向心加速度大小.
解析：由题中条件可知：v ＝30 m ／s ，r ＝60 m ，θ=90°=
2
π. (1)轿车的位移为从初位置A 到末位置B 的有向线段的长度x=2r=2×60 m≈85 m. (2)路程等于弧长l=r θ=60×
2
π
m≈94.2 m. (3)向心加速度大小a=60
3022=r v m/s 2=15 m/s 2
. 答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s 2
12.如图6-6-11所示，长度L=0.5 m 的轻杆，一端固定质量为m=1.0 kg 的小球，另一端固定在转动轴O 上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆子每隔0.1 s 转过30°角.试求小球运动的向心加速度.
图6-6-11
解析：由题意知小球做匀速圆周运动的半径为L=0.5 m ，小球转动的角速度
ω=
3
5
=
t θ
π rad/s ，由向心加速度的定义式可知： a=ω2r=(35π)2×0.5 m/s 2=1825π2 m/s 2
.
答案：18
25π2 m/s 2。