高中数学 第1章 常用逻辑用语章末综合测评 苏教版高二选修2-1数学试题

章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.
【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．
【答案】 1
3．(2015·某某高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，
取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，
故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
【答案】既不充分也不必要
4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值X围是________．
【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.
【答案】1，＋∞)
5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定
．．是________．
【解析】∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.
【答案】∃x∈R，|x|＋x2<0
6．(2016·某某高二检测)设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．
①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．
【解析】因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．【答案】②
7．给出以下命题：
①∀x∈R，有x4>x2；
②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；
③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.
其中真命题为________(填序号)．
【解析】①错，如x＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y＝x2＋
2x ＋a 开口向上．
【答案】②
8．(2016·某某高二检测)“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫14b
”的________条件(填“充分不必
要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx
(0＜α＜1)是减函数，可得
⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫14b ”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件
9．已知命题“若x ＞m ，则x 2
－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值X 围是________．
【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2
－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2
－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值X 围是2，＋∞)．
【答案】 2，＋∞)
10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2
>y 2
.在命题①且q ；②p 或
q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．
【解析】p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题． 【答案】②③
11．(2016·某某某某高三模拟)已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非
q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________. 【导学号：09390017】
【解析】p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条
件，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.
【答案】 －1,6]
12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2
＞0，下列说法正确的是________． ①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．
【解析】 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2
＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非
q )是真命题，即①⑤正确．
【答案】①⑤
13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的
面积为1
2
”的________条件．
【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2
＋y 2
＝1的圆心到该直线的距离d ＝1
k 2＋1.又弦长为21－
1k 2
＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2
＋1
＝
|k |k 2
＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为1
2”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要
14．下列叙述中错误的是________．
①命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题； ②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；
③若“p 或q ”为假命题，则“(非p )且(非q )”也为假命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1＝0.
【解析】 对于①，命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”是假命题，因此该命题的逆否
命题也是假命题；对于②，由x >2可得x 2－3x ＋2＝(x －1)·(x －2)>0，反过来，由x 2
－3x ＋2>0不能得知x >2，因此“x >2”是“x 2
－3x ＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，所以“(非p )且(非q )”是真命题；对于④，命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0.综上所述，应填③.
【答案】③
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：若△ABC 为直角三角形，则△ABC 的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC 没有一个内角为直角，则△ABC 不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC 不是直角三角形，则△ABC 没有一个内角为直角，是真命题．
16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x ＞0}，x ＋1
x
≥2；
(4)∃x ∈Z ，log 2x ＞2.
【解】 (1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．
(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．
17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非
p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p ：所有的平行四边形的对角线相等，
q ：所有的平行四边形的对角线互相平分；
(2)p ：方程x 2
－16＝0的两根的符号不同，
q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．
【解】 (1)p 或q ：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分． 且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分． 非p ：有些平行四边形的对角线不相等．
因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真． (2)p 或q ：方程x 2
－16＝0的两根符号不同或绝对值相等． 且q ：方程x 2
－16＝0的两根符号不同且绝对值相等． 非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．
因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．
18．(本小题满分16分)(2016·某某高二检测)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2
－2x ＋1－a 2
≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值X 围．
【解】 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，
q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．
而非p ⇒q ，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a ≥－2，1＋a ≤10，
a ＞0，
∴0＜a ≤3.
19．(本小题满分16分)(2016·某某某某调研)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x
在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2
－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，某某数a 的取值X 围．
【解】 若p 真，则0<2a －5<1，故5
2<a <3.
若q 真，由x 2
－ax ＋2<0，得ax >x 2
＋2.
∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2
x
在x ∈(1,2)上恒成立．
又当x ∈(1,2)时，x ＋2
x
∈22，3)，∴a ≥3.
∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有5
2
<a <3或a ≥3.
综上，a 的取值X 围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
a >
5
2
. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2
－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx . (1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，某某数m 的取值X 围；
(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值X 围；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．
①当m ＝0时，不成立；
②当m >0时，Δ＝4(4－m )2
－8m <0， ∴2<m <8.
(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；
当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧
4－m 2m
>0，
f 0≥0⇒0<m <4.
或⎩⎪⎨
⎪⎧
4－m
2m ≤0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.
综上可知，0<m <8.。