求多边形边数的两种方法(含答案)-

求多边形边数的两种方法
一、算术方法
我们知道：对于边数是n 的凸多边形而言，其外角的和是常数即360º，与多边形的边数无关。

当已知正多边形的一个外角（或内角）α度数大小时，可直接由
α360求出边数。

例1．已知一个正多边形的每个外角都是72º，求多边形的边数。

解：因为外角的和是360º，所以，边数=572
360=. 例2．已知一个正多边形的每个内角都是144º，求多边形的边数。

解：因为正多边形的每个外角都是180º－144º=36º
而外角的和是360º，所以边数=1036
360=. 评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式()︒⨯-1802n 计算时，导致的大量的运算。

二、代数方法
我们知道：对于边数是n 的凸多边形，其内角的和是()︒⨯-1802n ，与多边形的边数有关。

利用内角的和公式，列方程（组）求边数。

例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570º，求边数和该内角的大小。

解：设该内角的度数为α度，边数为n 。

由内角和公式()︒⨯-1802n 得：
()α+=⨯-25701802n
18050
16++=αn
因为n 为正整数，︒<<1800α
所以：︒=⇒=+13018050αα
17
11618050
16=+=++=αn
评注：利用隐含条件：“n 为正整数，︒<<1800α”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。

例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520º，求原多边形的边数。

分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况：
（1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1；
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。

解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为n 。

()1625201802=⇒=⨯-n n
（2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为15=n ；
（3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为17=n 。

评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。

如图1 如图2 如图3
例4、已知两个凸多边形的内角和是3600º，并且两个凸多边形的边数比是
1：2，求两个多边形的边数。

解：依题意设两个多边形的边数分别是n 、n 2，则：
()()83600180221802=⇒=⨯-+⨯-n n n
n 2=16。

两个多边形的边数分别为8和16。

三、同步练习：
1． 个凸多边形的每个内角的度数都是150º，求它的边数。

2． 各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的
2
1，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。

3． 凸n 边形的内角和与外角和之比是9∶2，求n 的值。

4．两个多边形的边数之比是3：2，内角和之比是7：4，求两个多边形的边数。

同步练习答案：
1. 解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150º，
所以，多边形的每个外角的度数都是
180º－150º=30º，
因为凸多边形外角和=360º，
所以边数=360÷30=12。

解法2：()1802⨯-n =150
n=12
2. 解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180º，设内角为x 度. 所以1201802
1=⇒=+x x x , ()1802⨯-n =120n
n=6
3. 解：()112
93601802=⇒=⨯-n n 4. 解：设两个多边形的边数分别是：x x 2,3。

所以()()34
718022180
23=⇒=⨯-⨯-x x x 。

边数分别是9，6。