高中物理第1章机械振动第4节探究单摆的振动周期课件粤教版选修340803159

【答案】
22 π
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对这类问题，首先确认符合单摆模型的条件，即沿圆弧运动、小角度摆动、 回复力 F＝－kx，然后确定等效摆长，最后利用公式 T＝2π gl或简谐运动规律 分析、求解.
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2．如图 1－4－8 所示，
图 1－4－8 光滑的半球壳半径为 R，O 点在球心的正下方，一小球由距 O 点很近的 A 点由静止放开，同时在 O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为 使两球在 O 点相碰，小球由多高处自由落下( OA ≪R)．
3．运动规律 单摆在偏角很小时做__简___谐__运动，其振动图象遵循__正__弦__函(z数hè规ng律x．ián)
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三、单摆振动周期的实验探究 1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响 (1)探究方法：___控__制___变__量__法． (2)实验结论 ①单摆振动的周期与摆球质量__无__关__(_w．úguān) ②振幅较小时周期与振幅__无__关__(．wúguān) ③摆长越长，周期__越__大___；摆长越短，周期__越___小__．
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2．周期公式 (1)提出：周期公式是__惠__更___斯__首先提出的．
l (2)公式：T＝_2_π____g_，即 T 与摆长 l 的二次方根成__正__比__，(z与hè重ng力b加ǐ) 速度 g 的二次方根成__反__比__．(fǎnbǐ)
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一、透析单摆模型 1．运动特点 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度 v≠0，半径 方向都受向心力． (2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置， 轨迹的切线方向都受回复力．
图 1－4－6
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A．L/4 C．3L/4
B．L/2 D．条件不足，无法判断
【解析】 题图中 M 到 P 为四个时间间隔，P 到 N 为两个时间间隔，即左 半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的12，根据周期公式 T＝2π gl可得，左 半部分单摆的摆长为L4，即小钉距悬点的距离为 3L/4，故 C 选项正确．
【解析】 甲球做自由落体运动．R＝12gt21，所以 t1＝ 2gR.乙球沿圆弧做简 谐运动(由于 AC ≪R，可认为摆角 θ<10°)此振动与一个摆长为 R 的单摆振动模型
相同，故此等效摆长为 R，因此第 1 次到达 C 处的时间为 t2＝14T＝2π 4 R/g＝π2
R/g，所以 t1∶t2＝2π2.
图 1－4－1 【答案】 小球为木球时，系统不能看作弹簧振子，小球为钢球时，系统 可看作弹簧振子．系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件：①小球运动过 程中不受阻力，②小球质量明显大于弹簧质量．第一种情景中不满足条件②.
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2．(3 分)简谐运动这种运动形式具有什么特征？ 【答案】 简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具 有往复性的特点．(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间它将重复原先的 运动，它具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对 称性的特点．
【解析】 摆球静止在平衡位置处细线的拉力为 F＝mg＋qE
故等效重力加速度为 g′＝mF＝g＋qmE
周期 T＝2π g′l ＝2π
l g＋qmE
【答案】 2π
l g＋qmE
二、单摆振动的周期 单摆的周期公式 T＝2π gl是惠更斯从实验中总结出来的．单摆的回复力是 重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度 越大，由于摆球的运动轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于 合外力．在有些振动系统中 g 不一定为 9.8 m/s2，因此出现了等效重力加速度的 问题．
从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆
线长．等效摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长
度．如图 1－4－4 所示，摆球可视为质点，各段绳长均为 l，(a)、(b)中摆球做垂
直纸面的小角度摆动，(c)中小球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，
OO′ ＝l/3，等效摆长分别为 la＝lsin α，lb＝l＋lsin α，lc 半个周期为 l，另半个周期
lsin gα＋d2，
Tb＝2π
l＋lsin g
α＋d2，
Tc＝π
l＋g d2＋π
4l＋3d 6g
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2．可等效为单摆的圆周运动
若物体在光滑的半径较大的圆周上做小幅度的圆周运动时，如图 1－4－5
所示，小球所受重力沿切线方向指向平衡位置的分力的B 时，θ 很小，θ≈sin θ，F＝－mRg·x＝－kx，符合简谐运动的动力学特征，
课
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第四节 探究单摆的振动周期
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难
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析
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1．(3 分)如图 1－4－1，把一个有孔的小木球装在弹簧的一端，弹簧的另一 端固定，小球穿在光滑杆上，能够自由振动，这个系统可称为弹簧振子吗？若 将小木球改为同体积的钢球呢？
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3．(4 分)如图 1－4－2，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O 为平衡位置，小球在 O 附近的 AB 间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图 1－4－2 (1)动能最大的位置在________． (2)加速度为负向最大的位置在________．
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【解析】 平衡位置是振动物体运动速度最大的位置，也即动能最大的位 置，即图中 O 点；因加速度是矢量，做第(2)问要看准正方向，因正方向向右， 所以加速度为负向最大的位置在 A.
【导析】 单摆的周期与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方 根成反比．
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【解析】 本题主要考查对单摆周期公式的理解．因两单摆在同一地点做 简谐运动，g 相同，由周期公式 T＝2π gl知 T∝ l，因此周期之比为 2∶1；甲 完成 10 次全振动的时间 t＝10T 甲，乙在相同时间内完成的全振动次数．
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3．g 还由单摆所处的物理环境决定 如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直 电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有 g′的问题．
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三、等效单摆的探究
1．实际摆的等效摆长的求法
实际摆的摆球不可能是质点，对不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为
【答案】 2n－812π2R(n＝1、2、3…)
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三、等效重力加速度问题 如图 1－4－9 所示，带正电的小球与绝缘细线构成的单摆处在场强
为 E 的竖直向下的匀强电场中，试求其做简谐运动的摆动周期．
图 1－4－9 【导析】 求出等效的重力加速度，利用周期公式进行计算．
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2．摆球的受力 (1)任意位置：如图 1－4－3 所示，G2＝Gcos θ，F－G2 的作用就是提供摆球 绕 O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ 的作用是提供摆球以 O 为中心做 往复运动的回复力．
图 1－4－3
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(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时 F 应大于 G，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力 F 回＝0，与 G1＝0 相符．
【答案】 C
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二、等效摆长问题 如图 1－4－7 所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为 R，R≫ AB .
甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从 A 点由静止释放，问两球第 1 次到达 C 点的时间之比．
图 1－4－7
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【导析】 球在槽上的运动可看成简谐运动，到 C 点的时间为单摆周期的14； 甲球做自由落体运动．
【答案】 (1)O (2)A
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1．知道什么是单摆． 课 标 2．理解摆角很小时，单摆的振动是简谐运动． 导 思 3．探究单摆的周期跟什么因素有关，掌握单摆的周期公式，
并能用来进行有关计算.
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一、单摆 1．组成 (1)_细__线，(2)__小__球__(．xiǎo qiú) 2．理想化要求 (1)质量关系：细线质量与小球质量相比__可__以___(_k_ě_y_ǐ．)忽略 (2)线度关系：球的__直__径__(与zh线íj的ìn长g)度相比可以忽略． (3)力的关系：忽略摆动过程中所受__阻__力__作用．
(3)单摆的简谐运动 在 θ 很小时(理论值为 5°)，sin θ≈θ＝xl，G1＝Gsin θ＝mlgx，G1 方向与摆球 位移方向相反，所以有回复力 F 回＝G1＝－mlgx＝－kx.因此，只有在摆角 θ 很小 时，单摆才做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲 线．
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【解析】 球由 A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等 效为单摆的运动．因为 OA ≪R，所以球自 A 点释放后做简谐运动，其周期为 T ＝2π Rg，要使两球在 O 点相碰，两者到 O 点的运动时间相等．
小球由 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为T4(2n－1)，n＝1,2,3…，由于 O 点正上方自由落下的小球到 O 的时间也为T4(2n－1)时两球才能在 O 点相碰，所 以 h＝12gt2＝12g41π62gR(2n－1)2＝2n－812π2R(n＝1,2,3，…)
实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，_体___积_小的球和尽量_细__轻__的线．
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二、单摆的回复力 1．回复力的提供 摆球的重力沿_圆__弧__方向的分力． 2．回复力的特点 在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成_正__比__(，zh方èn向gbǐ)
mg 总指向_平__衡___位__置_，即 F＝－___l__x_.
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1．公式中的 g 由单摆所在的空间位置决定． 由 GRM2＝g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度的变化而变化，在不同星 球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值 g′代入公式，即 g 不一定等于 9.8 m/s2. 2．g 还由单摆系统的运动状态决定． 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为 a，此时摆球处于超重 状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值 g′ ＝g＋a.再如，单摆若处于在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力 为零，则等效值 g′＝0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了．
为23l，周期分别为 Ta＝2π
lsin g
α，Tb＝2π
l1＋sin g
α，Tc＝π
gl ＋π
2l 3g.
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图 1－4－4
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若摆球不可视为质点，摆球的直径为 d，则 la＝lsin α＋d2，lb＝l＋lsin α＋d2，
lc 的半个周期为 l＋d2，另半个周期为23l＋d2，周期分别为 Ta＝2π
n＝Tt乙＝20. 【答案】 2∶1 20
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处理单摆问题：一要充分理解单摆摆动的情景；二要充分理解周期公式中 各量的意义、实质，方可准确应对灵活多变的单摆问题．如许多问题中的“等 效摆长”、“等效重力加速度”等.
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1．有一摆长为 L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置 向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动， 图 1－4－6 为摆球从右边最高点 M 摆至左边最高点 N 的闪光照片(悬点和小钉未 摄入)，P 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点 的距离为( )
因此可以将此运动等效为单摆的简谐运动，其等效单摆的周期公式 T＝2π
R g.
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图 1－4－5
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一、单摆周期公式的应用 两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为 4∶1.若它们在同一地点做简
谐运动，则它们的周期之比 T 甲∶T 乙＝________.在甲摆完成 10 次全振动的时间 内，乙摆完成的全振动次数为________．