福建高二高中数学期中考试带答案解析

福建高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知复数
，
，则z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.已知复数，则它的模
( )
A ．
B ．
C ．
D ． 11
3.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（ ）种.
A ．24
B ．48
C ．64
D ．81
4.设随机变量的分布列为
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.根据定积分的几何意义，计算的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0
C ．不小于0
D ．不大于0
7.现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（ ） A ．16 B ．18 C ．24 D ．32
8.设，那么
的值为（ ） A ．－
B ．－
C ．－
D ．—1
9.已知位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P 移动六次后位于点（4，2）的概率是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10.甲乙两队进行排球比赛，已知每一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．采用三局两胜制比赛，即先胜两
局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.已知是虚数单位，若复数 ()是纯虚数，则= .
2.计算 .
3.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在
另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
4.若一个家庭中有三个小孩，假定生男生女是等可能的. 已知这个家庭有一个女孩，则另两个都是男孩的概率等
于 .
5.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，已知第行有个数，两端的数均为，并且相邻两行数之间有一定的关系，则第8行第4个数为________
三、解答题
1.求由曲线，所围成的封闭图形的面积
2.已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求的值.
(2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
3.已知数列中，，（）.
（1）计算，，；
（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
4.用0，1，2， 3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
5.两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，
（Ⅰ）两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标概率是多少？
（Ⅱ）两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（Ⅲ）两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99％？
6.甲乙两人各有一个箱子，甲的箱子里面放有个红球，个白球（，且）；乙的箱子里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从自己的箱子里任取2个球，乙从自己的箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色都不相同，则甲获胜．
(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？并求甲获胜的概率的最大值. (2) 当甲获胜的概率取得最大值时，求取出的3个球中红球个数的分布列．
福建高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知复数
，
，则z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
，对应的点在第一象限 【考点】复数运算
点评：复数运算中常用到，复数
对应的点为
2.已知复数，则它的模
( )
A ．
B ．
C ．
D ． 11
【解析】复数
【考点】复数的模
点评：复数的模为，题目简单，基本公式的考查
3.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（）种.
A．24B．48C．64D．81
【答案】C
【解析】每个旅游团只能任选其中一条，则每个团有4种选择，按分步计数原理可知总的选法种数为
【考点】分步计数原理
点评：分步计数原理适用于完成一件事需多个步骤，完成该事总的方法数为各步方法数的乘积
4.设随机变量的分布列为，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
【考点】分布列
点评：分布列中各随机变量值概率和为1，首先依次求得值
5.根据定积分的几何意义，计算的结果是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，整理得表示以为圆心，半径为2的圆在x轴上方
的部分，集合定积分的几何意义可知的值为直线与围成的图形的面积，
结合图形可知面积为
【考点】定积分
点评：定积分的计算思路一：找原函数；思路二：利用几何意义，若函数的图像在x轴上方，则
的值等于与所围成的图形的面积
6.已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()
A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0
【答案】D
【解析】，
【考点】不等式性质
点评：本题还可利用反证法的思路证明判定，反证法大致步骤：假设要判定的结论不成立，即结论反面成立，推得与已知或定理等产生矛盾，从而否定假设说明结论成立
7.现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（）A．16B．18C．24D．32
【解析】将剩余的4个座位看成一个，则问题转化为4个座位坐3个同学，列式为
【考点】排列问题
点评：排列时遇到元素相邻问题了，采用捆绑法，暂时将相邻元素看做一个元素对待，在此基础上对元素排序安排8.设，那么的值为（）
A．－B．－C．－D．—1
【答案】B
【解析】等式中令得，令得
由两式可得
【考点】二项式定理
点评：二项展开式中各项系数和，偶数项系数和，奇数项系数和问题常通过特殊赋值法求解，常用到的赋值
等
9.已知位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点（4，2）的概率是 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】质点从原点到点（4，2）需要向右平移4次，向上平移2次，每一次向右平移的概率均为
所以可看作6次独立重复试验有4次发生向右平移，代入公式可得
【考点】独立重复试验
点评：求解本题的关键在于将题目所描述的问题情境与独立重复试验联系起来，这一点学生不易想到
10.甲乙两队进行排球比赛，已知每一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．采用三局两胜制比赛，即先胜两
局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】比赛两局甲获胜：；比赛3局甲获胜,则前两句甲胜其中一局，第三局甲胜：
，所以甲获胜的概率
【考点】独立重复试验与相互独立事件同时发生
点评：正确求解本题的首要条件是分析清楚甲获胜的方案，特别是比赛3局时，假在前两局只能胜1局
二、填空题
1.已知是虚数单位，若复数 ()是纯虚数，则= .
【答案】
【解析】复数 ()是纯虚数
【考点】复数
点评：复数中，当时是纯虚数，复数计算题中
2.计算 .
【答案】
【解析】
【考点】定积分
点评：定积分计算公式：若，则
3.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在
另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
【答案】
【解析】平面图形中重叠部分面积为边长一半的平方，类比到立体中重叠部分为边长一半的立方，即
【考点】归纳类比
点评：求解此类题目首先要根据已知条件给定的信息得到其规律，对比已知和所求找到其类似的方面进行类比及性质的迁移
4.若一个家庭中有三个小孩，假定生男生女是等可能的. 已知这个家庭有一个女孩，则另两个都是男孩的概率等
于 .
【答案】
【解析】设小孩是男孩为事件A，小孩是女孩为事件B，则所有的结果构成情况依次为
共8种，满足条件有一个女孩的有7种，其中令两个是男孩的有3种，所以概率为
【考点】条件概率
点评：在事件A发生的条件下事件B发生的概率为
5.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，已知第行有个数，两端的数均为，并且相邻两行数之间有一定的关系，则第8行第4个数为________
【答案】
【解析】每行都取倒数，各行得到的整数从第三行起：第三行都除以3后为的各项系数，第四行都除以4后为的各项系数，第五行都除以5后为的各项系数，依次规律，第八行都除以8后为的各项系数，先求的展开式第四项系数,乘以8得280，取倒数得
【考点】归纳推理
点评：此类题目首先要由已知数据观察出一般规律，然后依据规律推算出所求项的值，本题寻找规律有一定的难度
三、解答题
1.求由曲线，所围成的封闭图形的面积
【答案】
【解析】如图,先求出两者的交点的横坐标， 4分
8分
13分
【考点】定积分及几何意义的考查
点评：定积分的几何意义：若函数的图像在x轴上方，则的值等于与
所围成的图形的面积，因此本题先要将曲线图形做出来，看其是否在x轴上方
2.已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1) 求的值.
(2) 这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
【答案】(1)9 (2)常数项为
【解析】 5分
，于是第7项是常数项, 10分
常数项为. 13分
【考点】二项式定理
点评：二项式系数依次为，求展开式中的某一项首先是求出通项常数项即x的次数
为0的项
3.已知数列中，，（）.
（1）计算，，；
（2）猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明.
【答案】（1）（2）证明：当时，结论显然成立，假设当
时，结论成立，即，当时，，所以当时，等式成立，由（1）（2）知，对一切自然数n都成立
【解析】（1） 3分
（2）猜想 6分
证明：（1）当时，结论显然成立. 8分
（2）假设当时，结论成立，即
那么，当时，
即当时，等式成立. 12分
由（1）（2）知，对一切自然数n都成立. 13分
【考点】归纳推理与数学归纳法
点评：数学归纳法用来证明与正整数有关的题目，其步骤：1，证明n取最小值时结论成立，2，假设时命题成立，借此证明时命题成立，由1,2两步得证命题成立
4.用0，1，2， 3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？
【答案】（1）156（2）216（3）270
【解析】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有个；第二类：2或4在个位时，有个；
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个． 4分
（2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个；个位数上的数字是5的五位数有个．故所求五位数的个数共有个． 8分
（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如14□□，15□□，共有个；第三类：形如134□，135□，共有个；
所以，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 13分
【考点】排列问题
点评：本题中排数问题首先考虑特殊位置，如个位，最高位。

在求解排列组合问题是当遇到特殊元素特殊位置的时候一般优先考虑，当元素相邻时采用捆绑法，当元素不相邻时采用插空法
5.两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，
（Ⅰ）两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标概率是多少？
（Ⅱ）两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
（Ⅲ）两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99％？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）超过
【解析】（Ⅰ）共三种情况：乙中靶甲不中；甲中靶乙不中；
甲乙全。

∴概率是. 4分
（Ⅱ）两类情况:
共击中3次；
共击中4次，
． 10分
（III），超过. 14分
【考点】概率问题
点评：本题第一问考查的是相互独立事件同时发生的概率，第二问考查的是相互独立事件同时发生与独立重复试验相结合的概率，概率题目当直接分情况考虑较复杂时可考虑其对立事件
6.甲乙两人各有一个箱子，甲的箱子里面放有个红球，个白球（，且）；乙的箱子里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从自己的箱子里任取2个球，乙从自己的箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色都不相同，则甲获胜．
(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？并求甲获胜的概率的最大值.
(2) 当甲获胜的概率取得最大值时，求取出的3个球中红球个数的分布列．
【答案】(1) 甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大. 他获胜的概率的最大值为 (2)
【解析】(1)要想使取出的3个球颜色都不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是，即甲获胜的概率为，由，且，所以，当时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大. 他获胜的概率的最大值为
. 7分
(2)ξ的取值为0，1，2，3.
，，
，，
ξ的分布列为
ξ0123
【考点】概率及分布列
点评：第一问求概率最值问题结合了不等式，学生不易想到，第二问求分布列的题目主要分3步：1，找到随机变量可以取得值，2，求出各随机变量对应的概率，3，将上述数据汇总成分布列。