2021年高一数学暑假作业解三角形含解析沪教版

解三角形
一、单项选择题
1．在△ABC 中，“sin sin A B >〞是“A B >〞的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【详解】试题分析：由正弦定理
sin sin a b k A B ==，得sin ,sin a b A B k k ==，由sin sin A B >得a b
k k
>，即a b >，由大边对大角得A B >；当A B >得a b >，即a b
k k
>，由正弦定理得sin sin A B >，因此
“sin sin A B >〞是“A B >〞的充要条件，故答案为C. 考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.
2．ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，30,45A B ==，如此a b
=
A
．2C ．23
【答案】B
【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理知，sin sin a b A B
=,
即
sin sin30sin sin 452
a A
b B ︒===
︒， 应当选：B
【点睛】此题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.
3．在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边的长，假如2222020a b c +=，如此2tan tan tan (tan tan )
A B
C A B ⋅+的
值为
A ．1
B ．2018
C ．2019
D ．2020
【答案】C
【分析】先利用商数关系将2tan tan tan (tan tan )
A B C A B ⋅+，转化为sin sin 2
cos cos sin sin sin cos cos cos A B
A B
C A B C A B ⋅
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，再通分结合两角和的
正弦公式得到2
2sin sin cos sin A B C
C
，再利用正弦定理将角转化为边，然后利用余弦定理结合2222020a b c +=求解. 【详解】
sin sin 2
2tan tan cos cos sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos A B
A B A B C A B C A B C A B ⋅
⋅=+⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
， 2sin sin cos sin (sin cos cos sin )A B C
C A B A B =+ ，
22sin sin cos sin A B C
C
=
，
22222
2cos 2019ab C a b c c c
+-===. 应当选：C.
【点睛】此题主要考查同角三角函数根本关系式，正弦定理，余弦定理以与两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题
4．在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=，如此C =______. 【答案】30或150
【分析】先由三角形面积公式，得到1
sin 122
∆=
=ABC S ab C ，求出sin C ，即可得出结果. 【详解】因为在ABC 中6a =，8b =，12ABC S ∆=， 所以1sin 122∆=
=ABC S ab C ，因此241sin 682
==⋅C ，
所以C =30或150. 故答案为30或150
【点睛】此题主要考查三角形面积公式的应用，熟记公式即可，属于根底题型. 5．在ABC 中，假如222sin sin sin A B C =+，如此这个三角形一定为______三角形. 【答案】直角
【分析】由正弦定理得到222a b c =+，即可得出结果. 【详解】因为在ABC 中，222sin sin sin A B C =+， 由正弦定理可得：222a b c =+，满足勾股定理， 因此，该三角形是直角三角形. 故答案为直角
【点睛】此题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于根底题型.
6．在ABC 中，假如a =6b =，60A =︒，如此B =______. 【答案】30
【分析】先由正弦定理求出sin B ，再由大边对大角，即可得出结果.
【详解】因为在ABC 中，a =6b =，60A =︒，
由正弦定理可得：
sin sin a b A B =，所以1
sin sin 22===b B A a ， 又a b >，所以A B >，因此30B =︒. 故答案为30
【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理以与三角形的性质即可，属于根底题型. 7．在ABC 中，假如30A =︒，120B =︒，12b =，如此a =______. 【答案】
【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.
【详解】因为在ABC 中，30A =︒，120B =︒，12b =，
由正弦定理可得：sin sin a b
A B
=
，所以
1
12sin sin ⨯===b A a B
故答案为【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于根底题型.
8．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，假如ABC ∆
，且A ,B ,C 成等差数列，如此ac 最小值为______． 【答案】4
【分析】先根据A ,B ,C 成等差数列得到60B =︒，再根据余弦定理得到,,a b c 满足的等式关系，而由面积可得ac b =，利用根本不等式可求ac 的最小值.
【详解】因为A ,B ,C 成等差数列，180A B C ++=︒，故60B =︒. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 由根本不等式可以得到2b ac ≥，当且仅当a c =时等号成立.
因为11sin sin
2223
S ac B ac π=
==，所以2ac b =， 所以22
4
a c ac ≥即4ac ≥，当且仅当2a c ==时等号成立.
故填4.
【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用适宜的根本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.
三、解答题
9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a b c b
c a b c
-+=+-. 〔1〕求角A ；
〔2〕假如ABC 的外接圆半径为1，求ABC 的面积S 的最大值．
【答案】(1) 3A π=
；(2) 【分析】〔1〕化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A .
〔2〕根据正弦定理求出a ，根据余弦定理结合根本不等式以与三角形的面积公式进展求解即可．
【详解】解：〔1〕由a b c b
c a b c
-+=+-化简得222b c a bc +-=， 由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=
得1
cos 22
bc A bc =
= 又因为0A π<<， 所以3
A π=
.
〔2〕由正弦定理得
22sin 2sin sin 3
a R a R A A π
=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+--=， 当且仅当b c =时取等号．
故11sin 3222S bc A =
⨯⨯=
〔b c =时取等号〕．
即ABC 面积S 【点睛】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，根本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于根底题．
10．ABC 的外接圆半径是2，假如c =6
A π
=，求边长b .
【答案】2b =或4b =
【分析】先正弦定理得到4sin =c C ，求出3
C π=，或23C π=，进而可得出2B π=，或6B π=，从而可求
出结果.
【详解】因为ABC 的外接圆半径是2，c =
6
A π
=，
所以
24sin ==c
r C
〔其中r 为外接圆半径〕，
即sin C =，所以3C π=，或23C π=，
因此2
B π
=
，或6
B π
=
，
所以2sin 4==b r B 或2b =.
【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 11．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35
． 〔1〕求b ； 〔2〕求∠A ．
【答案】〔1〕5b =；〔2〕∠A ＝120°. 【分析】〔1〕利用正弦定理边角互化直接求解 〔2〕利用余弦定理直接求解 【详解】〔1〕由正弦定理得
sin b B ＝sin c C
可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533
⨯＝5． 〔2〕由余弦定理得
cos A ＝2222c b a c b
+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为0180A << ，
所以∠A ＝120°．
【点睛】此题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，准确计算是关键，属于根底试题．
12．在ABC 中，
b =60A =︒，75C =°，求边长a 和ABC 的面积. 【答案】a =3S =
【分析】先由180B A C =︒--求出B ；再由正弦定理求出sin sin ==b A
a B
可求出结果.
【详解】因为在ABC 中，
b =60A =︒，75C =°， 所以18045=︒--=︒B A C ；
由正弦定理可得：sin sin a b
A B
=，所以sin sin =
=b A a B
所以11sin 3224
=
=⋅=S ab C 【点睛】此题主要考查解三角形，熟记正弦定理以与三角形面积公式即可，属于常考题型. 13．在ABC ∆中，假如3C B =，求c
b
的取值X 围. 【答案】()1,3
【分析】利用正弦定理，把边化角，结合二倍角公式，可得结果. 【详解】由正弦定理可得
sin sin c C b B =sin 3sin B
B
=
所以
c b sin 2cos cos 2sin sin B B B B B += 所以c
b
22cos cos 2B B =+24cos 1B =-
因为3,180C B A B C ︒
=++=，
所以045B ︒︒<<cos 1B <<， 因此214cos 13B <-<， 即13c b <
<，故c
b
的取值X 围是()1,3. 【点睛】此题主要考查正弦定理的应用，还考查了二倍角公式，属中档题.
14．在△ABC 中，假如22tan tan a A
b B
=，试判断△ABC 的形状．
【答案】△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到sin 2sin 2A B =，解得A B =或2
A B π
=
-，从而判断△
ABC 的形状.
【详解】由正弦定理，得22
sin tan sin tan A A
B B =， 即22sin sin cos ,sin 0,sin 0sin cos sin A A B A B B A B
=⋅>>
sin cos sin cos A A B B ∴=，sin 2sin 2A B =．
∴222A k B π=+，或222()A k B k Z ππ=+-∈． ∵0,
0,0A B k ππ<<<<∴=，如此A B =或2
A B π
=
-．
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
【点睛】此题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题.。