人教高中数学必修一A版《指数》指数函数与对数函数说课复习(指数幂及运算)

栏目导航
2．已知 a＋ 1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？
提示：设 a＋ 1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝
n，则n＝m2－2，∴m＝
n＋2.即
a＋
1＝ a
n＋2.
栏目导航
【例 3】 已知 a12＋a－12＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
第四章 指数函数与对数函数
根式的化简与求值的思路及注意点
4 3
栏目导航
利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值：
栏目导航
栏目导航
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然 后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母 又含有负指数.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的_n__次__方__根____，其中 定义
n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0 a＜0
x＞0 x＜0
x 仅有一个 值，记为__n_a__
性质 n 是偶数
a＞0
x 有两个值，且互为
答案：m－53
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
计算(π－3)0＋3－1×21412的结果为________．
解析：原式＝1＋13×32＝1＋12＝32.
答案：3
第四章 指数函数与对数函数
根式的化简与求值
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
栏目导航
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝ 1．下列运算结果中，正确的是 －a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若
() A．a2a3＝a5
成立，需要满足a≠1，故选A.]
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
栏目导航
2．425等于(
)
A．25
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
求下列各式的值． (1) 3 （－2）3； (2) 4 （－3）2； (3) 8 （3－π）8； (4) x2－2xy＋y2＋7 （y－x）7.
第四章 指数函数与对数函数
【解】 (1) 3 （－2）3＝－2.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
根式与分数指数幂的互化
【例 1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1) a a(a>0)；(2) 1 ； 3 x5 x22
(3)4
b－23－23(b>0)．
栏目导航
[解]
(1)原式＝
a·a12＝
a ＝ a ＝a . 3 2
3212
3 4
(2)原式＝ 3
1＝ x·x252 3
叫做
_被__开___方__数__．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
①(n a)n＝__a___．
a
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨
n
an与(n
a)n 的区别
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
[思路点拨]
a12＋a－12＝4 ―两―边―平―方→ 得a＋a－1的值 ―两―边―平―方→
得a2＋a－2的值
[解] (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
栏目导航
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值． [解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8 3，即a－a－1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值． [解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.
B.5 16
C.
1
45
D.5 4
B [425＝5 42＝5 16，故选B.]
栏目导航
3．已知 a>0，则 a－23等于( )
A. a3
B. 1 3 a2
C.
1 a3
D．－3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
栏目导航
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]
81 的 4 次方根是( )
A．2
B．±2
C．3 答案：D
D．±3
1861－41的值是(
)
2
3
A.3
B.2
C.841
D．－841
第四章 指数函数与对数函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
第四章 指数函数与对数函数
根式3 m－5化为分数指数幂为________．
栏目导航
2．(1)计算：2530＋2－2×241－12－(0.01)0.5；
3 (2)化简：
7
a2
a－3÷
3 a－8·3 a15÷
3 a－3· a－1(a>0)．
栏目导航
栏目导航
指数幂运算中的条件求值 [探究问题] 1.a＋1a2 和a－1a2 存在怎样的等量关系？ 提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.
n
的
奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．
n (2)(
a)n
是实数
a
的
n
次方根的
n
次幂，其中实数
a
的取值由
n
的
奇偶决定．其算法是对 a 先开方，后乘方(都是 n 次)，结果恒等于
a.
第四章 指数函数与对数函数
3．分数指数幂的意义
正分数 指数幂
n m m 规定：a ＝___a__ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1) n
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝_n__a_m_(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数指 数幂
负分数指数幂 规定：a－mn＝a1mn＝__n_1_a_m_ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0 的分数指数 0 的正分数指数幂等于_0_，
幂
0 的负分数指数幂_没__有_意义
栏目导航
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131.
(2) a－4b23 ab2＝ a－4b2·ab213
＝
a－4b2a13b23＝
a b －131
8 3
＝a b . －161
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利 器”．
栏目导航
当堂达标 固双基
栏目导航
1．思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
(2)523＝ 53.(
)
(3)分数指数幂与根式可以相互
转化，如4 a2＝a12.(
)
(4)amn可以理解为mn 个 a.(
核心素养 数学抽象
数学运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
利用指数幂的性质化 理解指数幂的含义及其
简求值
运算性质
会根据已知条件，利用
条件求值问题
指数幂的运算性质、 根式的性质进行相关求
值运算
核心素养 数学运算
数学运算
第四章 指数函数与对数函数
问题导学
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
第四章 指数函数与对数函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当 n∈N*时，(n －3)n 有意义．( × ) (2) （π－4）2＝4－π.( √ ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( √ ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( × )
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第2课时 指数幂及运算
课件
学习目标
核心素养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式 1.通过分数指数幂、运算性质的推
与分数指数幂的互化．(重点、难点) 导，培养逻辑推理素养．
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能 2．借助指数幂的运算性质对代数式
对代数式进行化简或求值．(重点) 化简或求值，培养数学运算素养.
n
相反数，记为_±___a_
a＜0
x 在实数范围内不存在
■名师点拨
第四章 指数函数与对数函数
Байду номын сангаас
0 的任何次方根都是 0，即n 0＝0.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
2．根式
n (1)定义：式子___a__叫做根式，这里
n
叫做__根__指__数____，a
■名师点拨
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
分数指数幂 amn不可以理解为mn 个 a 相乘．
4．指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋_s_ (a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝__a_rs__ (a＞0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝_a_r_b_r _ (a＞0，b＞0，r∈R)．
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
分数 指数
幂
负分数 指数幂
1 规定：a－mn＝__a_m_n _＝ 1
n am
(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0__，0 的负分数指数
第四章 指数函数与对数函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
(2) 4 （－3）2＝4 32＝ 3.
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(3) 8 （3－π）8＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝ （x－y）2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x＜y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
)
栏目导航
2．把根式 a a化成分数指数幂
D [由题意可知a≥0，故排除
是( )
A、B、C选项，选D.]
A．(－a)
3 2
B．－(－a)32
C．－a32
D．a32
栏目导航
3．已知x12＋x－12＝5，则x2＋x 1的
值为( )
A．5
B．23
B [∵x12＋x－12＝5，∴x＋x－1＝ 23，即x2＋x 1＝23.]
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
预习教材 P104－P109，并思考以下问题：
1．n 次方根是怎样定义的？
2．根式的定义是什么？它有哪些性质？
3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
4．有理指数幂有哪些运算性质？
第四章 指数函数与对数函数
1．n 次方根
课件
课件
课件
栏目导航
解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或 先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入 法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
栏目导航
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方 便使用同底数幂的运算律．
栏目导航
思考：在分数指数幂与根式的互化公式
m
an＝
n
am中，为什么必须规定
a>0?
提示：①若
a＝0,0
的正分数指数幂恒等于
0，即n
m
am＝an＝0，无研究
价值．
②若
m
a<0，an＝
n
3
am不一定成立，如(－2)2＝
2
－23无意义，故为了避
免上述情况规定了 a>0.
栏目导航
2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数 ．有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1 1 1 1 －35
＝3 ＝ x ＝x ＝x . 4
9
9513
3 5
x·x5 x5
(3)原式＝ b ＝b ＝b .
－2314－23
－23×14×－23
1 9
栏目导航
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 数的分子．
分数指数的分母，被开方数(式)的指数
分数指
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题．
C．25
D．27
栏目导航
栏目导航
栏目导航
Thank you for watching !
4.1 指 数
第四章 指数函数与对数函数