《动能和动能定理》 讲义

《动能和动能定理》讲义
一、动能
动能是物体由于运动而具有的能量。

我们在日常生活中可以直观地
感受到，运动速度越快的物体，其造成的影响或产生的效果往往越大。

比如一辆高速行驶的汽车，要比缓慢行驶的汽车更具冲击力。

那么，动能的大小究竟与哪些因素有关呢？通过大量的实验和理论
研究，我们发现动能与物体的质量和速度的平方成正比。

用公式来表
示就是：＄E_{k} ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，其中$E_{k}＄表示动能，＄m$表示物体的质量，＄v$表示物体的速度。

从这个公式可以看出，质量越大、速度越大，物体的动能就越大。

例如，一个质量较大的铅球和一个质量较小的乒乓球，以相同的速度
运动，铅球的动能显然要大得多；而如果让铅球和乒乓球的质量相同，但铅球运动速度远大于乒乓球，那么铅球的动能也会大很多。

二、动能定理
有了对动能的理解，接下来我们引入动能定理。

动能定理描述了合
外力对物体做功与物体动能变化之间的关系。

当一个物体受到多个力的作用时，这些力对物体做功的总和就等于
物体动能的变化量。

用公式表示为：＄W_{合} ＝＼Delta E_{k}＄，
其中$W_{合}＄表示合外力对物体做的功，＄＼Delta E_{k}＄表示物
体动能的变化量。

这里的“功”是一个重要的物理概念。

如果一个力作用在物体上，并
且物体在这个力的方向上发生了位移，我们就说这个力对物体做了功。

功的大小等于力与在力的方向上移动的距离的乘积。

比如，一个水平方向的恒力$F$推动一个质量为$m$的物体在水平面上移动了一段距离$s$，那么这个力做的功就是$W ＝ Fs$。

如果物体受到的力不是恒力，或者物体的运动轨迹是曲线，那么计
算功就会相对复杂一些，可能需要通过积分等数学方法来求解。

再回到动能定理，我们来具体分析一下。

假如一个物体开始时的速
度为$v_{1}＄，经过一段时间后速度变为$v_{2}＄，它的质量为$m$，
在此过程中合外力对它做的功为$W_{合}＄。

根据动能的表达式，物体开始时的动能为$E_{k1} ＝＼frac{1}
｛2}mv_{1}＾｛2}＄，结束时的动能为$E_{k2} ＝＼frac{1}
｛2}mv_{2}＾｛2}＄。

而动能定理告诉我们，合外力做的功$W_{合} ＝ E_{k2} E_{k1} ＝＼frac{1}｛2}mv_{2}＾｛2} ＼frac{1}｛2}mv_{1}＾｛2}＄。

这意味着，合外力做功的过程，实际上就是物体动能变化的过程。

如果合外力对物体做正功，物体的动能就增加；如果合外力对物体做
负功，物体的动能就减少。

三、动能定理的应用
动能定理在解决物理问题时有广泛的应用。

首先，对于一些复杂的多过程问题，运用动能定理可以简化计算。

因为它只关注初末状态的动能和整个过程中合外力做的功，而不需要分析中间过程中力的变化和运动细节。

例如，一个物体在粗糙水平面上先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，最后停止。

如果我们要计算整个过程中摩擦力做的功，直接用动能定理，求出初末状态的动能差，就能得到摩擦力做功的大小。

其次，动能定理在解决变力做功问题时也非常有用。

对于一些力的大小或方向随时间或位置变化的情况，直接计算力做功可能很困难，但通过分析动能的变化，就能间接求出变力做的功。

比如，一个弹簧连接着一个物体，物体在弹簧的作用下运动，弹簧的弹力是一个变力。

我们可以根据物体初末状态的动能，利用动能定理求出弹簧弹力做的功。

再者，动能定理还能帮助我们分析一些能量转化的问题。

在很多实际情况中，动能会与其他形式的能量相互转化，通过动能定理可以清晰地了解这些能量转化的关系。

比如，一个物体从高处自由下落，在下落过程中，重力势能逐渐转化为动能。

利用动能定理，我们可以准确地分析出重力势能减少了多少，动能增加了多少。

四、实例分析
为了更好地理解动能定理，我们来看几个具体的例子。

例 1：一个质量为$2kg$的物体，在水平拉力$F ＝ 10N$的作用下，沿水平地面向右运动了$5m$，物体与地面间的摩擦力为$4N$。

求物体的末速度。

首先分析物体受到的合力：水平方向上，拉力$F$向右，摩擦力
$f$向左，合力$F_{合} ＝ F f ＝ 10 4 ＝ 6N$。

合力做的功$W_{合} ＝ F_{合}s ＝ 6×5 ＝ 30J$。

物体初速度为 0，根据动能定理$W_{合} ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，可得：
＄30 ＝＼frac{1}｛2}×2×v^｛2}＄
解得$v ＝＼sqrt{30}m/s$
例 2：一个质量为$5kg$的物体从高处自由下落，经过$3s$落地。

求物体下落的高度和落地时的速度。

物体下落过程中，只受到重力作用，重力做功$W_{G} ＝ mgh$。

物体初速度为 0，落地时的速度$v ＝ gt ＝ 10×3 ＝ 30m/s$。

根据动能定理$mgh ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，可得：
＄h ＝＼frac{v^｛2}｝｛2g} ＝＼frac{30^｛2}｝｛2×10} ＝ 45m$
五、总结
动能和动能定理是物理学中非常重要的概念和规律。

动能描述了物
体由于运动而具有的能量，其大小与物体的质量和速度的平方成正比。

动能定理则揭示了合外力做功与物体动能变化之间的定量关系。

掌握动能和动能定理，不仅有助于我们解决各种力学问题，还能帮
助我们更深入地理解能量的转化和守恒。

在实际应用中，我们要善于
分析物体的受力情况和运动过程，灵活运用动能定理，从而更简便、
准确地得出问题的答案。

希望通过这篇讲义，大家对动能和动能定理有了更清晰、更深入的
理解。