2018年秋高中数学 课时分层作业5 函数的单调性与导数 新人教A版选修2-2

课时分层作业(五) 函数的单调性与导数
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图1­3­6是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是
( )
图1­3­6
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C[由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
2．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )
【导学号：31062041】
B．(0，e－2)
D．(e2，＋∞)
(0，＋∞)．
2，
(0，e－2)，故选B.]
1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，3)
B[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.]
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝x e2
C ．y ＝x 3
－x
D ．y ＝ln x －x
B [显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2
，因e 2
为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2
在(0，＋∞)内为增函数；
对于C ，y ′＝3x 2
－1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －33， 故函数在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33，＋∞上为增函数， 在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－
33，33上为减函数； 对于D ，y ′＝1
x
－1(x ＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数，故选B.]
5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
【导学号：31062042】
A B C D
D [对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )＜0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )＞0.因此，选项A 可能正确．
同理，选项B 、C 也可能正确．
对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与
C 1不相符．因此，选项
D 不可能正确．]
二、填空题
6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________.
[解析] 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π
3
<x <π，所以
函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π.
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π
7．函数f (x )＝2x 3－9x 2
＋12x ＋1的单调减区间是________.
【导学号：31062043】
[解析] f ′(x )＝6x 2
－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2
－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2) 8．已知函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2
在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． [解析] f ′(x )＝
2a －1
x ＋2
，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等
式得a ≤12，但当a ＝1
2
时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，12.
[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12
三、解答题
9．已知函数f (x )＝(ax 2
＋x －1)e x
，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)若a ＝－1，求f (x )的单调区间． [解] f ′(x )＝(ax ＋2a ＋1)x e x
.
(1)若a ＝1，则f ′(x )＝(x ＋3)x e x ，f (x )＝(x 2＋x －1)e x
， 所以f ′(x )＝4e ，f (1)＝e.
所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)即4e x －y －3e ＝0. (2)若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)x e x
. 令f ′(x )＝0解x 1＝－1，x 2＝0. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0；
所以f (x )的指区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
10．已知二次函数h (x )＝ax 2
＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图1­3­7，f (x )＝6ln x ＋h (x )．
图1­3­7
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )在区间(1，m ＋1
2
)上是单调函数，求实数m 的取值范围.
【导学号：31062044】
[解] (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a ＝2，b ＝－8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－8，
∴h (x )＝x 2
－8x ＋2，h ′(x )＝2x －8， ∴f (x )＝6ln x ＋x 2
－8x ＋2. (2)∵f ′(x )＝6
x
＋2x －8 x －
x －
x
(x ∴当x 变化时，f ′(x )，
[能力提升练]
1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.
∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1.]
2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )
【导学号：31062045】
A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) C [因为⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤f x g x ′＝f
x g x －f x g
x
g 2x
.又因为f ′(x )g (x )－
f (x )
g ′(x )<0，所以f x g x 在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f a g a >f x g x >f b
g b
，
又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.]
3．若函数y ＝－43
x 3
＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．
[解析] 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2
＋b ＝0有两个不相等的
实数根，所以b >0.
[答案] (0，＋∞)
4．若函数f (x )＝2x 2
－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．
[解析] 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2
－1
x
.由f ′(x )＞0，
得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜3
2，又
因为(k －1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜3
2
.
[答案] ⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫1，32
5．(1)已知函数f (x )＝ax e kx
－1，g (x )＝ln x ＋kx .当a ＝1时，若f (x )在(1，＋∞)上为减函数，g (x )在(0,1)上为增函数，求实数k 的值；
(2)已知函数f (x )＝x ＋a x
－2ln x ，a ∈R ，讨论函数f (x )的单调区间.
【导学号：31062046】
[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x e kx
－1， ∴f ′(x )＝(kx ＋1)e kx
，g ′(x )＝1x
＋k .
∵f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 则∀x ＞1，f ′(x )≤0⇔k ≤－1
x
，
∴k ≤－1.
∵g (x )在(0,1)上为增函数， 则∀x ∈(0,1)，g ′(x )≥0⇔k ≥－1
x
，
∴k ≥－1. 综上所述，k ＝－1.
(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
∴f ′(x )＝1－a x 2－2x ＝x 2－2x －a
x 2
.
①当Δ＝4＋4a ≤0，即a ≤－1时， 得x 2
－2x －a ≥0， 则f ′(x )≥0.
，＋∞)上单调递增． 时，f ′(x )＜0，当x ∈(1＋1＋a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，
∴函数f (x )在区间(0,1＋1＋a )上单调递减， 在区间(1＋1＋a ，＋∞)上单调递增.。