2020届贵州省遵义第二教育集团高三上学期第一次大联考数学(理)试题(解析版)

2020届贵州省遵义第二教育集团高三上学期第一次大联考数学（理）试题
一、单选题 1．设集合2|12x A x x ⎧⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
，{}|128x B x =<<则 A B 等于（ ） A ．()2,3 B ．()3.3-
C ．()0,3
D ．()1,3
【答案】A
【解析】先解对应不等式，化简集合A 与集合B ，再求交集，即可得出结果. 【详解】
因为{2210222x x A x A x
x x x x ⎧⎫⎧⎫+====<-⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
或}2x >， {}{}|128|03=<<=<<x B x x x ，
因此{}
23A B x x ⋂=<<. 故选：A 【点睛】
本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念，以及不等式的解法即可，属于基础题型. 2．已知i 为虚数单位,复数z 满足()11z i i -=+,则z 的共轭复数是（ ） A ．1 B ．-1
C ．i
D ．-i
【答案】D
【解析】根据复数除法的运算法则可以求出z ,最后根据共轭复数的定义求出z 的共轭复数. 【详解】
()2
1(1)(1)12111(1)(1)2
i i i i i z i i z i z i i i i ++⋅+++-=+⇒====⇒=---⋅+.
故选：D 【点睛】
本题考查了复数的除法运算法则,考查了共轭复数的概念,考查了数学运算能力. 3．已知双曲线 C 的渐近线方程为2y x =±,且经过点()2,2，则 C 的方程为（ ）
A ．22
1312
x y -=
B ．221123
y x -= C ．22
1312y x -=
D ．22
1123
y x -=
【答案】A
【解析】先由双曲线的渐近线方程，设该双曲线的方程为：2
2
(0)4
-=≠y x m m ，定点
坐标代入，求出3m =，即可得到双曲线方程. 【详解】
因为双曲线 C 的渐近线方程为2y x =±，
所以可设该双曲线的方程为：22
(0)4
-=≠y x m m ，
又该双曲线过点()2,2，所以2
2
2234
-==m ，
因此22
34-=y x ，即22
1312
x y -=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查由双曲线的渐近线及定点求双曲线方程，熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，
l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
【考点】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
5．在8
12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
二项展开式中3x 的系数为m ,则()12
x mx dx +=⎰（ ）
A ．
176
B ．
206
C ．
236
D ．
266
【答案】C
【解析】根据二项式的通项公式结合已知可以求出m ,最后根据微积分基本定理可以计算出定积分的值. 【详解】
二项式8
12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的通项公式为：818811()()22r r r r
r r r x T C C x -+=⋅⋅=⋅⋅.因为二项展开式中
3x 的系数为m ,所以有3
3
81
()72
m C =⋅=.
()()11
2
2
3200
11171723
70032326x mx dx x x dx x x +=+=+=+=⎰⎰. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式通项公式的应用,考查了微积分基本定理,考查了数学运算能力. 6．已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A ．
92
π
B ．9π
C ．8π
D ．4π
【答案】A
【解析】先由三视图确定该几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，底面为直角三角形，得到该三棱锥的外接球即是长为2，宽为1，高为2的长方体的外接球，求出外接球直径，再由球的体积公式，即可得出结果. 【详解】
由几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，底面为直角三角形， 因此，该三棱锥的外接球即是长为2，宽为1，高为2的长方体的外接球，
3=，
所以，其外接球的体积为3
439
322
ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.
故选：A 【点睛】
本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记几何体的结构特征，以及球的体积公式即可，属于常考题型.
7．已知点(,)x y 是区域4
211x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
内任意一点，且z ax y =+仅在()3,1处取得最大值，
则a 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．1,(1,)2⎛⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值． 【详解】
解：画出4211x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
可行域如图所示，
其中A （1，0），B （3，1），C （1，3），
若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，1）取得最大值， 由图知，直线z ＝ax +y 的斜率小于直线x+y ＝4的斜率， 即﹣a ＜﹣1， 解得a ∈（1，+∞）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．
8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结
果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被
录用了 【答案】C
【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，
据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了. 本题选择C 选项.
9．已知函数113()sin()56f x x π=+
，把函数()y f x =的图象向右平移103
π
个单位长度后得函数()y g x =的图象，则下面结论正确的是（ ）
A ．函数()y g x =的最小正周期为5π
B ．函数()y g x =的图象关于直线4
x π
=
对称
C ．函数()y g x =在区间[]2ππ，
上是增函数 D ．函数()y g x =是奇函数 【答案】C
【解析】先由题意，得到1
()cos 5
=-g x x ，根据余弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
将函数113()sin()56f x x π=+的图象向右平移103
π
个单位长度后得函数()y g x =的图象，
所以103
1131
31()sin sin cos 565
25πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-
+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x ， 因此其最小正周期为
21015
π
π=
=T ，A 错； 由
1
5
π=x k 得5,π=∈x k k Z ，即函数()y g x =的对称轴为5,π=∈x k k Z ，B 错； 由1
225
πππ<<+k x k ，k Z ∈得10510πππ<<+k x k ，k Z ∈，
即函数()y g x =的单调递增区间为：[]
10,510,πππ+∈k k k Z ，当0k =时，区间为
[]0,5π，故C 正确；
又11()cos cos 55⎛⎫
-=--=- ⎪
⎝⎭
g x x x ，所以函数()y g x =是偶函数，D 错. 故选：C 【点睛】
本题主要考查判断三角函数平移后的性质，熟记余弦函数性质即可，属于常考题型. 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝，＝2，且S △ABC
＝
， 则b 的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】C
【解析】试题分析：根据正弦定理可得
,
.
在
中,
,
.
,
,
.
,
.故C 正确.
【考点】1正弦定理;2余弦定理.
11．如图，12F F 、分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的
直线l 与C 的左、右两 支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．4
B
C D
【答案】B 【解析】
2ABF 为等边三角形，不妨设22AB BF AF m ===
A 为双曲线上一点，12112F A F A F A A
B F B a -=-==
B 为双曲线上一点,212122,4,2BF BF a BF a F F c -===
由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在
12F BF 中运用余弦定理得：
2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒
227c a = 27e =
,e ∴=故答案选B
点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120︒，再利用余弦定理计算出离心率。

12．已知函数()()1ln ,0
,0x x x f x x x e -⎧-<⎪
=⎨≥⎪⎩
，若方程()()()210f x mf x m m +-+=⎡⎤⎣
⎦有四个不等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．415
m -≤<
B ．1m ≤-或1m >
C ．1m =-或1m >
D ．1m =-或01m <<
【答案】D
【解析】先对函数()1
x x f x e -=
求导，用导数的方法判断其在0x ≥上的单调性，作出
函数()f x 的大致图像，令()t f x =，根据图像，得到方程()t f x =解的个数情况，以及其对应的t 的范围，再由题意得到方程()2
10+-+=t mt m m 必有两个不等的实根，
根本判别式大于零，得到m 的范围，再设这两个根为1t ，2t ，且12t t <，由题意，得到
1201t t =⎧⎨
=⎩或12001t t <⎧⎨<<⎩或1201
1
t t <<⎧⎨>⎩，进而可得出结果. 【详解】
由题意，当0x ≥时，()1x x
f x e -=，所以()
11
2
111()----=
--'=
x x x x e e x x e e x f ，
由()0f x '>得1x <；由()0f x '<得1x >， 所以函数()1
x x f x e
-=
在[)0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
作出函数()()1
ln ,0,0x x x f x x x e -⎧-<⎪
=⎨≥⎪⎩
大致图像如下：
令()t f x =，由图像可得：
当0t <或1t >时，方程()t f x =有1个解； 当0t =或1t =时，方程()t f x =有2个解； 当01t <<时，方程()t f x =有3个解；
若方程()()()2
10f x mf x m m +-+=⎡⎤⎣⎦有四个不等的实数根， 则方程()2
10+-+=t mt m m 必有两个不等的实根，
所以()2
410∆=++>m m m ，解得：0m >或4
5
<-
m ， 不妨设这两个根为1t ，2t ，且12t t <，
则1201t t =⎧⎨=⎩或12001t t <⎧⎨<<⎩或12
011t t <<⎧⎨>⎩，
令()2
()1=+-+g t t mt m m ，
则(1)01(1)0m m m m m +=⎧⎨
+-+=⎩或(1)01(1)0m m m m m +>⎧⎨+-+>⎩或(1)0
1(1)0m m m m m +<⎧⎨+-+<⎩
，
解得：01m <<或1m =-. 故选：D 【点睛】
本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，熟记导数的方法判断函数的大致形状，根据数形结合的方法，即可求解，属于常考题型.
二、填空题
13．已知向量
，夹角为，且
，
；则
______．
【答案】
【解析】把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程
可得． 【详解】 ∵，
∴
=
=10，
代入数据可得4×1+4×1××+=10，
化简可得+﹣6=0，
解得
=
，或﹣3（负数舍去）
故答案为：
【点睛】
本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题．
14．已知曲线()3
ln f x ax x =+在()()
1,1f 处的切线的斜率为2，则实数a 的取值是
__________． 【答案】
1
3
【解析】f′（x ）=3ax 2
+
1x
， 则f′（1）=3a+1=2，解得：a=13
， 故答案为：
13
． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点
0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切
线方程为000()()y y f x x x '-=-．（2）已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决． 15．已知是第四象限，且，则__________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
由于是第四象限角，则
，所以，从而
，应填答案。

16．若函数113
2
()32
x x
e e
f x x x ---=-+，则
12(
)()20202020f f ++⋯40384039()()20202020
f f ++=______． 【答案】8078-
【解析】根据题意，求出()(2)4+-=-f x f x ，由倒序相加法，即可求出结果． 【详解】
因为113
2
()32
x x e e f x x x ---=-+，
所以
2112113
2
32
(2)(2)3(2)(2)3(2)22
---+-----=---+=---+
x x x x e e e e f x x x x x ， 因此3232
()(2)3(2)3(2)4+-=-+---=-f x f x x x x x ； 记1240384039
()()()()2020202020202020
=++⋯++M f f f f ， 则
14039240384038
22()()()()()()20202020202020202020
2020⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⋯++⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦M f f f f f f
4039114039()()4039()()4039(4)202020202020
2020⎡⎤⎡
⎤++=+=⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦f f f f ，
因此8078=-M . 故答案为：8078- 【点睛】
本题主要考查倒序相加法求和，灵活运用倒序相加法即可，属于常考题型．
三、解答题
17．已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{
n a 满足123b a =，
157b a +=
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.
【答案】（Ⅰ）1n a n =+,1
12n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭
=；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）根据1n n n b S S -=-，整理可得11
2
n n b b -=
，从而可知{}n b 为等比数列，将1n =代入2n n S b +=可求得1b ，根据等比数列通项公式求出n b ；将123b a =，
157b a +=化为1a 和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得n a ；（Ⅱ）
利用错位相减法求解出12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-，由
3
02n
n +>可证得结论. 【详解】 （Ⅰ）
2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=
当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：11
2
n n b b -=
∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 1
12n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
设等差数列{}n a 的公差为d
123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：12
1a d =⎧⎨
=⎩
()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+
（Ⅱ）证明：设()2
12231111231222n
n n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
3
1
11112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
两式相减可得：
()()231
1
1111111111421111122222212
n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎝
⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-133
22
n n ++=
- 3
32n n n T +=-
即122313
32n n n
n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-
3
02
n n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.
18．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X 表示抽取的是精品果的数量,求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】(1)
96625
；(2)分布列见解析，6
5.
【解析】(1)先求出从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件的概率,通过题意可知现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X 服从二项分布,利用二项分布的概率公式可以求出从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率；
(2)通过分层抽样的方法可以求出从100个水果中抽取10个,精品果、非精品果的个数,由题意可知：X 服从超几何分布,这样可以根据超几何分布的公式列出X 的分布列,再根据数学期望的计算公式求出()E X . 【详解】
(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A ,则201
()1005
P A =
=, 现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X ,则1~(4,)5X B ,
所以恰好抽到2个礼品果的概率为222
44196(2)C ()()55625
P X ===
. (2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个, 现从中抽取3个,则精品果的数量X 服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,
则3
63
101
(0)6C P X C ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 12643103(2)10C C P X C ===；343101
(3)30
C P X C ===，
所以X 的分布列如下：
11316
()01236210305
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题考查了二项分布、超几何分布,考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算,考查了数学运算能力和阅读能力.
19．在四棱锥P -ABCD 中，四边形
ABCD 是直角梯形,,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面
ABCD ,4AB =,2,AD CD PC CD ==>,E 是PB 的中点.
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PB 与平面ACE 所成角的正弦值为
3
,求二面角P AC E --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；【解析】
(1)在直角梯形ABCD 中,利用勾股定理可以证明出AC BC ⊥,再利用线面垂直的性质定理可以证明出AC PC ⊥,这样可以利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定
理可以证明出平面EAC ⊥平面PBC ；
(2)设AB 的中点为O ,以C 为空间直角坐标系原点，以,,,DC CO CP 所在的直线分别为
,,x y z 轴,写出各点的坐标,根据空间向量数量积公式,通过PB 与平面ACE 所成角的正
弦值为
3
,可以求出点P 的坐标,最后再利用空间向量数量积公式可以求出二面角P AC E --的余弦值.
【详解】
(1) 设AB 的中点为O ,如图所示,因为,//,AB AD AB CD ⊥4AB =,2,AD CD ==所以
2CO =
,CB CA ====,因为
222+CB CA AB =,所以AC BC ⊥,又因为PC ⊥底面ABCD ,而CA ⊂底面ABCD ,所
以AC PC ⊥,
而,,PC BC C PC BC ⊥=⊂平面PBC ,所以AC ⊥平面PBC ,而CA ⊂平面EAC ,所以平面EAC ⊥平面PBC ；
(2) 以C 为空间直角坐标系原点，以,,,DC CO CP 所在的直线分别为,,x y z 轴,如上图所示：设2AP a =,因此有：
(0,0,2),(2,2,0),(1,1,),(2,2,0),(0,0,0)P a B E a A C -, (2,2,0),(1,1,),(2,2,2),CA CE a PB a =-==-
设平面ACE 的法向量为：111(,,)m x y z =.
111112+2=02
(1,1,)++=0
x y m CA m x y az a m CE -⎧⎧⊥⇒⇒=-⎨
⎨⊥⎩⎩,
因为PB 与平面ACE
所成角的正弦值为
3
,所以
2233m PB m PB
a =⇒⋅⋅=⇒=,所以
(1,1,1)m =-.
设平面ACP 的法向量为222(,,)n x y z =,(2,2,0),(2,2,4),CA PA =-=--
222222+2=0
(1,1,0)2+24=0x y n CA n x y z n PA -⎧⎧⊥⇒⇒=⎨
⎨--⊥⎩
⎩. 设二面角P AC E --的平面角为θ.
2cos 3
1m n m n
θ=
=
=
+⋅⋅. 【点睛】
本题考查了面面垂直的判定,考查了利用空间向量数量积求二面角问题,考查了数学运算能力.
20．已知圆()2
2
1
:116F x y +-=
，动圆M 与圆F 外切，且与直线34
y =-相切，该动圆圆心M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程
（2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 的切线与1y =-交于点N ，求ABN ∆面积的最小值. 【答案】（1）2
4x y =；（2）4.
【解析】（1）先设(),M x y ，动圆半径为r ，根据题意，列出等量关系，化简整理，即可得出曲线方程；
（2）设()()1122,
,,A x y B x y ，依题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：
1y kx =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及弦长公式，表示出AB ，再
表示出过点A 点的切线方程，求出点()2,1N k -，根据点到直线距离公式，以及三角形面积公式，得到1
2
∆=⋅=ABN S AB d .
【详解】
（1）设(),M x y ，动圆半径为r ，因为动圆M 与圆()2
2
1
:116
F x y +-=
外切，
所以14
=+
MF r ， 又动圆M 与直线34
y =-
相切，所以由题意可得：3
4+=y r ，
即1=+MF y ，即()()2
2
211+-=+x y y ，整理得：24x y =； 所以抛物线C 的方程为2
4x y =.
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，依题意可知，直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为：1y kx =+，
联立24,
1,
x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得，2440x kx --=.
则12124,4x x k x x +==-.
所以
12AB x =-=
()241k ==+.
由24
x y =，得2x y '
=，
所以过A 点的切线方程为()1112x y y x x -=-， 又2
114
x y =，
所以切线方程可化为21124x x y x =⋅-
.令1y =-，可得2
11111
14222
x y x k x x --==⋅=, 所以点()2,1N k -,
所以点N 到直线l
的距离d =
所以
1
42
∆=
⋅=≥ABN S AB d ，当0k =时，等号成立
所以ABN ∆面积的最小值为4. 【点睛】
本题主要考查求轨迹方程，以及抛物线中三角形面积的最值问题，熟记求轨迹方程的一般步骤，以及抛物线的简单性质等即可，属于常考题型. 21．已知函数2()(3)(2)2
x
a
f x x e x =-+
+ .
（1）求1a =时，()f x 的单调区间；
（2）若存在0(0,2)x ∈，使得对任意的[]
0,2x ∈，都有0()()f x f x ≥，求a 的取值范
围，并证明2
0()1e f x -≤≤-.
【答案】（1）()f x 在(),0-∞为减函数，()0,∞+为增函数；（2）01a <<，证明见解析
【解析】（1）由1a =得()()()2
1322
x
f x x e x =-+
+，对函数求导，得到()()()'22x f x x e x =-++， 令()()()22=-++x g x x e x ，用导数法方法判断其单
调性，求出()f x '在R 上为增函数，再由()00f '=，即可求出结果；
（2）先对函数求导，得到()()()()()2'2222x x
x e f x x e a x x a x ⎡⎤
-=-++=++⎢
⎥+⎣⎦
，根据题意，得到()0f x 为()f x 在()0,2的极小值点，故()0'0f x =，设
()
()22
x x e h x a x -=++，对函数求导，根据函数单调性，得到()0
0022
x x e a x -=-
+，推出
()()02
0001222=--+x f x e x x ，再令()()
21222
t F t e t t =--+，用导数的方法求出
其单调性，进而可得出结果. 【详解】
（1）当1a =时，()()()2
1322
x
f x x e x =-+
+， ()()()22'=-++x f x x e x ，
令()()()22=-++x
g x x e x ，则()()11'=-+x
g x x e ，
所以()''=x
g x xe ，由()0g x ''>得0x >；由()0g x ''<得0x <，
即函数()()11'=-+x
g x x e 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
因此()(0)0''≥=g x g ，所以()()()22=-++x
g x x e x 在R 上单调递增；
即()f x '在R 上为增函数. 又因为()00f '=，
所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>； 故()f x 在(),0-∞为减函数，()0,∞+为增函数.
(2) ()()()()()22222⎡⎤
-'=-++=++⎢
⎥+⎣⎦
x x
x e f x x e a x x a x ， 因为()()0f x f x ≥对任意的()0,2x ∈恒成立，所以()0f x 为()f x 在()0,2的极小值点，故()00f x '=①. 设()
()22
x x e h x a x -=++，则当()0,2x ∈ 时，()()
22
02'=
>+x
x e h x x ，
所以()h x 在()0,2上为增函数，而()01h a =-，()2h a =.
由①可知()()000,0,2h x x =∈，从而10
0a a -<⎧⎨
>⎩
，故01a <<. 又由()
()0
000202
x x e h x a x -=
+=+，即
()0
0022
x x e a x -=-
+，
所以()()()()0
0200000213222
x x
x e f x x e x x -=--+⨯
+ ()
02
001222
x e x x =--+.
令()()
21222t F t e t t =--+，其中()0,2t ∈，则()2102
'=-<t
F t t e ，()F t 为()
0,2上的减函数，
故()()()20F F t F <<，而()()2
01,2F F e =-=-，
所以()2
01e f x -≤≤-.
【点睛】
本题主要考查求函数的单调区间，以及用导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），M 为
1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．
（1）求曲线2C 的直角坐标方程；
（2）在以为O 极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
πθ=与1C 的异于极点
的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .
【答案】(1) 22
(4)16x y +-=；
(2) ||AB =
【解析】(1)先设出点P 的坐标,然后根据点M 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的参数方程，再将参数方程化为普通方程; (2)根据(1)求出曲线1C ,2C 的极坐标方程,分别求出射线3
πθ=
与1C 的交点A 的极径为
1ρ,以及射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求.
【详解】
解:（1）设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由于M 点在1C 上，
所以22cos 2
22sin 2
x
y αα
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨
=+⎩ 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数）
所以曲线2C 的方程为2
2
(4)16x y +-=
（2）因为曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩
所以曲线1C 的普通方程为2
2
(2)4x y +-=，则2
2
40x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ= 同理可得曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ= 射线3
πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3
π
ρ= 射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=
所以21||AB ρρ=-=【点睛】
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()()22f x x x m m R =+--+∈
()1若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；
()2若函数()()g x f x x =-有三个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 12x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩⎭
(2) 22m -<<
【解析】（1）把1m =代入()f x ，对()f x 分类讨论，然后得到每段x 的相应范围，得到解集.
（2）()()g x f x x =-有三个零点，即()y f x =和y x =有三个交点，()f x 分三段，而且只能每段与y x =有一个交点.从而得到m 的范围，再取交集得到结果. 【详解】
解：()1当1m =时()()()()
232221
25x f x x x x ⎧<--⎪
=-≤≤+⎨⎪>⎩
()0,f x >
∴当2x <-时，x ∈∅；
当22x -≤≤时，210x +>得12x >-，所以1
22
x -<≤ 当2x >时，()0f x >恒成立，
∴不等式的解集为12x x ⎧
⎫≥-⎨⎬⎩
⎭
()2若函数()()g x f x x =-有三个零点，只须：
()()
()()
4
222242m x f x x m
x m x ⎧-<-⎪
=+-≤≤⎨⎪+>⎩
与y x =有三个交点即可. 即()f x 每一段与y x =各有一个交点.
当2x <-时，4m x -=，即4m x =+，所以2m <； 当22x -≤≤时，2x m x +=，即m x =，所以22m -≤≤； 当2x >时，4m x +=，即4m x =-，所以2m >-； 所以综上所述m 的范围是22m -<< 【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，零点与交点之间的转化，分类讨论的思想.属于中档题.
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