北师大版(2019)数学-选择性必修第一册-第三章 空间向量与立体几何-3

侧棱与底面垂直,CA=CB=1，∠BCA= ，
2
棱AA' = 2,点M,N分别是A'B'和A'A的中点.
(2)求cos<′ · ′>的值；
(2)解 由题意，得B(0,1,0),C(0,0,0),A'(1,0,2),B'(0,1,2).
因为′=(1,-1,2),′=(0,1,2),
所以 |′| = 12 + (−1)2 +22 = 6,

=
12+12+12
12 +12 +12 22 +22 +22
.
例3 已知空间三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),求线段AB的长和
∠BAC的大小.
解 因为奇=(2,1,1),=(1,0,1),
所以|AB| =||= 22 + 12 + 12 = 6 ,
与夹角.
两个向量的夹角
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取一点 O,作 OA a , OB b ,则角
AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作:
a, b
.
A
a
a
⑴范围: 0 ≤ a , b ≤
⑵ a , b＝ b, a
⑶如果 a , b

2
O
b
B
b
,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
两个向量的夹角
已知空间两个非零向量 a 、b ,则 a , b 叫做 a 、b 的夹角.
即 cos a , b
ab
a b
.
1.掌握空间向量长度的坐标表示，能根据坐标求线段的长度，
两点间的距离公式.2.掌握空间向量夹角的坐标表示，能根据
坐标解决夹角问题，证明垂直.
||= 12 + 02 + 12 = 2,
· =2×1 + 1×0+1×1 = 3,
例3 已知空间三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),求线段AB的长和
∠BAC的大小.
cos< · >=
·

=
3
3
= .
6× 2 2
又因为两个向量的夹角取值范围为[0,π],
(3)求证:′⊥′.
⑴解 如图3-28(2),以点C为原点，CA,CB,CC'所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意，得B(0,1,0),N(1,0,l).
则
BN=(1,-1,1),|BN|= 12 + (−1)2 +12 = 3.
例4 如图3-28(1),三棱柱ABC-A'B'C'中，
例4 如图3-28(1),三棱柱ABC-A'B'C'中，

侧棱与底面垂直,CA=CB=1，∠BCA= ，
2
棱AA' = 2,点M,N分别是A'B'和A'A的中点.
(2)求cos<′ · ′>的值；
|′|= 02 + 12 + 22 = 5,
cos<′ · ′>=
′·′
′ ′
1.由空间向量的坐标运算规律,得出向量长度与夹角的坐标表示，培
养逻辑推理素养.2.掌握长度和夹角的计算,培养数学运算素养.
探究点1
空间向量长度与夹角的坐标表示
设向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，根据空间向量运算的坐标表
示可以得到以下结论:
(1) |a| = ∙ = 12 + 12 + 12 .
b
0， ，
0，0，
a
b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F
2 2 ，G
2，
2
b
b
－a，0，
－a，0，
→
→
→
EF＝
2 ，AG＝
2 ，BC＝(－a，0，0)．
→
(1)|EF|＝
2
b
－a2＋02＋ ＝
4
→ ·BC
→
AG
→ →
(2)cos〈AG，
BC〉＝ → → ＝
|AG|·|BC|
3.2
第2课时
空间向量运算的坐标表示及应用
空间向量长度与夹角的坐标表示
空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一
种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的
分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间向量的长度
与夹角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间向量的长度
=
故cos<′ · ′>的值为
′ · ′=1×0+(-1)×1 + 2×2 = 3,
3
30
= .
6× 5 10
30
.
10
例4 如图3-28(1),三棱柱ABC-A'B'C'中，

侧棱与底面垂直,CA=CB=1，∠BCA= ，
2
棱AA' = 2,点M,N分别是A'B'和A'A的中点.
如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD⊥底
面 ABCD，E，F，G 分别为 AB，SC，SD 的中点．若 AB＝a，SD＝b．
→ |；
(1)求|EF
→ →
(2)求 cos〈AG，
BC〉
．
解 如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，则 A(a，0，0)，S(0，0，
a b
所以∠BAC=< · >

= .
6
即线段AB的长为 6,∠BAC=< · >

= .
6
例4 如图3-28(1),三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直,CA=CB=1，

∠BCA= ，棱AA'
2
= 2,点M,N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 ;
(2)求cos<′ · ′>的值；
(3)求证:′⊥′.
(3)证明 由题意，得 A'(1,0,2),
因为
′=(-1,1,-2),
所以 ′ ·
B(0,1,0), C'(0,0,2),
11
M( , ,2)
22
11
′=( , ,0),
22
1
1
′=(-1)× +1×
2
2
+ (-2)×0=0,即′⊥′.
变式训练
若点A(1 ,1 ,1 ,),B(2 ,2 , 2 ,),则
= = (2 − 1 )2 +(2 − 1 )2 +(2 − 1 )2 .
设向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，根据空间向量运算的坐标表
示可以得到以下结论:
(2)cos<a,b>= Nhomakorabea∙
4a2＋b2
．
2
a2
2a
．
2 ＝
b
2
2
4a ＋b
a2＋ ·a
4
1．在空间直角坐标系 O-xyz 中，i、j、k 分别是 x 轴、y 轴、z 轴正
方向上的单位向量，设 a 为非零向量，且〈a，i〉＝45°，
〈a，j〉＝60°，
则〈a，k〉＝( C )
A．60°
C．60°或 120°