丹高高二立体几何期末复习

立体几何与空间向量期末复习
一、知识梳理：
1、有关判定定理、性质定理（见书本）
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式：
有关表（侧）面积与体积公式：
（1）柱体：体积：V =S 底h （2）锥体： 体积： V =3
1
S 底h ； （3）台体：略 （4）球体：①表面积：S =24R π； ②体积：V =
3
3
4R π． 3、数量积及坐标运算
（1）两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. （2
4、空间角与距离的运算
直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，平面βα,的法向量分别为21,n n
，则： （1）.设直线21,l l 所成的角为]2
,
0[π
θ∈，则：|,cos |cos 21〉〈=e e
θ
（2）．设直线1l 与平面α所成的角为]2
,
0[π
θ∈，则：|,cos |sin 11〉〈=n e
θ
（3）．设平面βα,所成的二面角的大小为],0[πθ∈则： ①若]2,
0[π
θ∈，|,cos |cos 21〉〈=n n θ ②若],2
(ππθ∈，|,cos |cos 21〉〈-=n n
θ （4）空间的距离运算
二、基础训练
1、母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4
3π，则该圆锥的体积为 ．
2、圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ．
3、已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： ①若,//n m n α
β=，则//,//m m αβ； ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；
③若//,m m n α⊥，则n α⊥； ④若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有真命题
的序号是 ．
4、已知l 、m 、n 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题： ①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ； ②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α； ③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γ. 其中真命题是_____________．(填序号)
5．如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，
M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -体积为 ．
6、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中， 则A 到平面1A BD 的距离为 三、典型例题
例1．已知四棱锥S - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，
侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，M 为SB 的中点． （1）求证：CM ∥平面SAE ； （2）求证：SE ⊥平面SAB ； （3）求三棱锥S - AED 的体积．
例2、如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60°，且F A =FC ，AB =2，AC 与BD 交于点O.(1)求证:FO ⊥平面ABCD ； (2)求AF 与平面BFC 所成角的正弦值.
A B C D E S M
( 第5
A
B
C
A
B 1
C
M
=，
例3、如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为4的等边三角形，PA AC
==，点E为BC的中点，平面BDC⊥平面ABC．BD CD
==PC PB
DE平面PAC
（1）求证：//
--为直二面角？若存在，试指出点（2）线段BC上是否存在一点T，使得二面角T DA B
T的位置；若不存在，请说明理由．
课后作业
1、已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).则以向量AB，AC为一组邻
边的平行四边形的面积S＝．
2、设P，A，B，C是球O表面上的四个点，P A，PB，PC两两垂直，且P A＝PB＝1，
PC＝2，则球O的表面积是________．
3、词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为
“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC，其中P A⊥平面ABC，P A=AC=1，BC，则四面体P ABC的外接球的表面积为________.
4、底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2．
5、若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．
6、已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD = 2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C-ABD的体积为．
7、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1 ­ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点，O 是AC 1 的中点． （1）求证: //OD 平面11
ABB A
（2）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；
（3）求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
8、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥，4PA AD ==，
//BC AD ，AB AD ⊥，2AB BC ==，()01PE PC λλ=≤＜．
（1）若1
2
λ=
，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，若234
cos 17
θ=，求λ的值．。