泛函分析第4章 内积空间

第四章 内积空间之杨若古兰创作
在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到普通线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念.但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的成绩.这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的.我们晓得，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，是以在本章我们引入了普通的内积空间的概念. 4.1 内积空间的基本概念
首先回忆几何空间
3
R 中向量内积的概念.设123(,,)
x t t t =，
123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为ϕ
，由解析几何常识可得
其中，
13
2
2
1
()
k k x t ==∑，
13
22
1()k k y s ==∑
令
3
1,k k
k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证实它有如下性质：
（1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥∀∈=⇔=且
（2）3,,,,;x y y x x y R =∀∈
（3）
3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+∀∈
（4）3,,,,,.x y
x y R x y R λλλ=∀∈∀∈
注：由定义可得
x =
量的内积有关.利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等次要几何成绩.
此刻我们引入普通的内积空间的概念.
【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有唯一F 中数与之对应，记为
,x y
，而且满足如下
性质：
（1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥∀∈=⇔=且
（2）,,,,;x y y x x y X =∀∈
（3）
121212,,,,,,;x x y x y x y x x y X +=+∀∈
（4）,,,,,;x y x y F x y X λλλ=∀∈∀∈
则称
,x y
为x 与y 的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当F
为实数域R （或复数域C ），叫X 为实（或复）内积空间.
注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的.
由性质（2）与性质（4）可推知,,x y
x y
λλ=.因而当X 为内积空
间时，内积关于第二个变元也是线性的.而常称,,x y x y
λλ=为共轭
齐次性，是以在X 为赋内积空间时，内积是共轭线性的.
今后讨论中不加注明时，恒设X 为复内积空间.
【引理 4.1】（Schwaraz 不等式） 设X 为内积空间，对任意x ，
y X ∈，成立不等式
证实：若y θ=，则任x X ∈，有,0x θ=，则明显不等式成立.此刻
设y θ≠，则F λ∀∈，有
取,,x y y y
λ=-代入上式可得
2
,,0,x y x x y y
-
≥，由此可得
证毕.
【定理 4.1】 设
X 为内积空间，对任x X ∈，令
x =x
是
x 的范数.
证实：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）.事实上
故有
x y x y
+=+.证毕.
注：常称
x =
成为一个赋范线性空间.在此意义下，第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间.特别当内积空间X 按由内积导出的范数齐备的，称X 为Hilbert 空间.
以下介绍几个经常使用的Hilbert 空间的例子.
n
F 暗示（实或复）Euclid 空间，对于
12(,,,)
n x t t t =，
12(,,
,)n n y s s s F =∈，类似于几何空间3R 中向量的内积定义，令
不难验证n F 成为一个Euclid 空间. 例 4.22
2
121
{(,,
,):,,1,2,}n
n n n i l
x t t t t t F n ===<∞∈=∑，当12(,,
,)n x t t t =，
212(,,
,)n y s s s l =∈时，令
容易证实2l 成为内积空间.以下证实2l 为Hilbert 空间.任取
Cauchy 列n x =
()()
()
212(,,
,)n n n n t t t l ∈，则对任0,,N ε>∃当,n m N >时，有
因此有
故数列
()21{}n k n t l F
∞
=∈⊂是
Cauchy
列，因数域
F
齐备，则存在
(1,2,)k s F k ∈=，使
()lim n k k n t s →∞
=，令12(,,)x s s =，则任1,2,
k =，当,n m N >时，有
则令m →∞，对每个n N ≥及任1,2,k =，有 因此，亦有12
()
2
1()n i
i i t
s ε∞
=-≤∑，只需n N
≥，所以2n x x l -∈，留意2l 是线
性空间，则x =
2()n n x x x l -+∈，且n m x x ε-<，n N ≥，这即标明n x 在2l 中收敛，故2
l 为Hilbert 空间.
例 4.32(),L E E 为无限或无量区间，对任2()x L E ∈，定义内积
这里2()L E 中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证
2()L E 是内积空间.此刻证实2()L E 是
Hilbert 空间.
设2()n x L E ∈为Cauchy 列，则对每个1,2,k =，存在天然数k n ，有 对任无限区间,e E me ⊂<∞，由Holder 不等式，有 式中，me 为e 的长度.
故级数1
1
()()k
k n n
k E
x t x t dt +∞
=-∑⎰收敛，因而由Levi 引理（见第一章）我们
有
从而知1
1
()()
k
k n n
k x t x t +∞
=-∑是集e 上可积函数，则比在e 上为处处无限函
数，即级数在e 上几乎处处收敛，而e 为E 中任意无限区间，则级数
11
()()
k
k n n k x
t x t +∞
=-∑在
E
上几乎处处收敛，因此级数
12132()(()())(()())n n n n n x t x t x t x t x t +-+-+
在E 上几乎处处收敛，亦即函数()
k
n x t 在E 上几乎处处收敛于函数()x t .
此刻证实2()x L x ∈，且lim
0n n x x →∞
-=.
对任意0ε>，因为{}x 2()L x 中Cauchy 列，则存在N ，当,k n n N >时，
有
1()()k k n n x t x t ε+-<，即
令k →∞，利用第一章Lebesgue 积分的性质，得到 即
k n n x x ε
-<，且2()k n
n x x L E -∈，是以2()()n n x x x x L E =--∈.是以Cauchy
列n x 在2()L E 中收敛，故2()L E 是Hilbert 空间.
（1） 内积的连续性.设lim ,lim n n n n x x y y →∞
→∞
==，则有
证实：由Schwarz 不等式，得 因收敛n y 有界.证毕.
（2） 极化恒等式.对内积空间X
中元素x 与y ，成立
证实可直接应用范数的定义和内积的性质得到.留给读者作为练习.
注：当X 为实数内积空间时，则极化恒等式为
（3） 中线公式.对内积空间X
中元素x 与y ，成立
证实： 证毕.
注：也常称中线公式为平行四边形公式.因在平面2R 中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和.另外，可以证实中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质，即当X 为赋范线性空间时，若对其中任何元素x 与y 关于范数成立中线公式，则必在X 中可定义内积
,x y
，使范数可由此内积导出.也就是一
个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式.是以，内积空间是一类特殊的赋范线性空间.
例如，当1p ≥且2p ≠时，p l 不是内积空间.因为，取(1,1,0,0,
)x =，
(1,1,0,0,)p
y l =-∈，则1/22x y ==，且2x y x y +=-=，明显不满足中
线公式.
又例如，[,]C a b 按范数
max ()
a t b
x x t ≤≤=不是内积空间.这只需取()1x t =，
[,]t a b ∀∈及()t a
y t b a
-=
-，[,]t a b ∀∈，则1x y ==，且2,1x y x y +=-=，明显
不满足中线公式.
再例如，[,]p L a b 当1p ≥且2p ≠时，也不是一个内积空间.
1. 证实：Schwarz 不等式中等号成立x ⇔与y 线性相干.
2. 设X
为实内积空间，,x y X ∈，若x y
=，证实：,0x y x y +-=.若
2X R =，所证实事实有什么几何意义？
3. 设X 为内积空间，,u v X ∈，若对任何x X ∈，有
,,x u x v
=，试证
实u v =.
4. 设X
为Hilbert 空间，,n x x X ∈，求证()n x x n →→∞的充要条件是n x x
→，且
,,()n x x x x n =→∞. 5. 验证极化恒等式. 6. 设12{,,
}n e e e 是n 维线性空间X
的一组基，对于,x y X ∈，有唯一
暗示
1
1
,n
n
k k k k k k x t e y s e ====∑∑，其中,,1,2,
k k t s F k n ∈=，求证,x y 是X 上一个内积的
充要条件是存在正定矩阵()ij n n A a ⨯=，成立 4.2 内积空间中元素的直交与直交分解 直交及其性质
仿照2R 中两个向量的直交概念，我们有如下定义.
【定义 4.2】 设X 是内积空间，,x y X ∈，若
,0x y =，称x 与y 直
交，记为x y ⊥.设,x X M X ∈⊂，若x 与M 每个元素直交时，则称x 与M 直交，记为x M ⊥.又N X ⊂，若,x M y N ∈∈，都有x y ⊥，则称M 与N 直交，记为N M ⊥.设M X ⊂，记{:}M x X x M ⊥=∈⊥,则称M ⊥为M 的直交补.
由以上定义，可得如下简明事实（性质）：
（1） 零元素θ与X
中每个元素x 直交.
（2） 若x y ⊥，则y x ⊥. （3） x M x θ⊥⇔=. （4） 若M N X ⊂⊂，则N M ⊥⊥⊂.
（5） 任M X
⊂，若M θ∉，则M
M φ⊥=；若M
θ∈，则{}M M θ⊥=.
此外我们还有一下几条有效性质：
（6） 若()n x x n →→∞，且n x y ⊥，则x y ⊥.
这是因为
,lim ,0n n x y x y →∞
==.
（7） 若,x y X ∈，且x y ⊥，则成立勾股公式
22
22
x y x y
x y
++-=+.
这个性质留给读者本人验证.
（8） 对任M X
⊂，则M ⊥是X 的闭子空间.
事实上，任意12,x x M ⊥∈，则对每个y M ∈，有1x y ⊥，2x y ⊥，因而有
1212,,,0x x y x y x y +=+=，故12x x M ⊥+∈；又任意x M ⊥∈，F λ∈，则
任意y M ∈，有,,0x y x y λλ==，故x M λ⊥∈，是以M ⊥成为X
的线性质
空间.此刻证实M ⊥是闭集.若()M φ⊥'=，则M ⊥为闭集，当()M φ⊥'=，任取
()x M ⊥'
∈，则存在
n x M ⊥
∈，有lim n n x x →∞
=.对任意y M
∈，利用事实
（6），有
则x y ⊥，因而推得x M ⊥，即x M ⊥⊥，是以M ⊥为闭集.证毕.
（9） 设M X
⊂为非空集，则()
spanM M ⊥
⊥=.
事实上，因()M spanM ⊂，则()
spanM M ⊥
⊥⊂.另外，对任意x M ⊥∈，任意
取()()
()y spanM spanM spanM '∈=，若()y spanM ⊂，则y 是M 中无限个元
素12,,n x x x 的线性组合，即
因而
1
,,0n
i i i y x x x λ===∑，即x y ⊥.
而当()y spanM '⊂，则存在元素n y spanM ⊂，有lim n n y y →∞
=，由以上证实知n y x ⊥，因而由性质（6）得知y x ⊥.综上所说，()x spanM ⊥
∈，故
()
M spanM ⊥
⊥
∈.证毕.
直交投影及变分引理
仿照2R 中向量在座标轴上投影的概念引入以下定义.
【定义 4.3】 设M 是内积空间的一个线性质空间，x X ∈，若存在0x M ∈，z M ⊥∈，使成立0x x z =+，则称0x 为x 在M 上的直交投影（可简称为投影）.
注：普通情况，某个元素x 在X 的某个空间M 上纷歧定存在投影.但当投影存在时，则可证实投影的唯一性.因为若0x 及1x 都是x 在
M
上的投影，则由定义有
z x x =-，
11z x x M ⊥
=-∈，因而
01{}x x z z M
M θ⊥-=-∈=，故01x x =.
对于2R ，任向量12(,)x t t =在x 轴（即子空间{(,0):}M t t R =∈）上有投影为01(,0)x t =.而且晓得点12(,)x t t =到x 轴上每个点的距离最小者为
02
x x t -=.这类景象如何在普通的（特别是无穷维）内积空间中表示
是个须要探讨的成绩.为此，我们首先给出次要概念.
【定义 4.4】 设X 是度量空间，M 是X 中非空子集，x X ∈，则
称inf (,)y M
x y ρ∈为x 到集M 的距离，记为(,)x M ρ.若存在某0x M ∈，使0(,)(,)x x x M ρρ=，则称0x 为x 在M
中最好迫近元.
注：普通情况下，某元x X ∈，在某集M X ⊂中纷歧定存在最好
迫近元.而且在最好迫近元存在时也纷歧定唯一.是以，最好迫近元的存在性及唯一性成为迫近理论中一个次要研讨方向.
在此我们仅介绍一个在微分方程，古代控制论等学科都有次要利用的基本结果.
【定理 4.2】（极小化向量定理） 设M 是Hilbert 空间X 中的凸闭集，则任意x X ∈，必有M 中唯一存在最好迫近元.
证实：令inf
(,)y M
d x y x M ρ∈=-=，则存在n x M ∈，使lim n n x x d →∞
-=.因M
是凸集，则1()2
n m x x M +∈，因而必有
1
()2
n m x x x d -+≥. 在中线公式中以n x x -代换x ，以m x x -代换y ，则有
是以n x 是齐备内积空间X 中Cauchy 列，则存在0x X ∈，使0lim n n x x →∞
=.因M 是闭集，则0x M ∈，而且有
这证实了最好迫近元的存在性.
此刻证实唯一性.设0y M ∈也是x 的最好迫近元.还是由中线公式得 故
000x y -=，即00x y =.证实.
我们通常也称此定理为变分引理.因为子空间必定是凸集，并留意定理的证实过程，则定理条件改为M 是内积空间X 中齐备的子空间时，定理结论仍成立. 投影定理
【定理 4.3】（投影定理） 设M 是内积空间X 的齐备线性质空间，则任意
x X
∈，必在
M
中唯一存在投影.即必唯一存在
0,x M z M ⊥∈∈，使0x x z =+.
证实：由题设，根据极小化向量定理，x 在M 中存在最好迫近
元0x ，记为
任取复数,y M λ∈，则0x y M λ+∈，且有 当y θ≠时，取02
(,)
x x y y
λ-=代入上式，得
因而推得
0,0
x x y -=，再留意y θ
=，此式同样成立，因此
0x x M ⊥-∈.令0z x x =-，即有0x x z =+.投影的存在性得证.
投影的唯一性已由定义4.3的注得证.证毕.
注：（1）X 为hilbert 空间时，则对任闭集子空间M X ⊂投影定理成立.
（2）表达式0
x x
z =+也常称为元素x 的直交分解，故投影定理也
叫做直交分解定理，是2R 中向量的直交分解的推广.因为在普通赋范线性空间中没有直交概念，是以不克不及讨论直交分解的成绩.
（3）对于hilbert 空间X 及子闭空间M ，在投影定理条件下有 即X 暗示为两个直交子空间的直和，常称X 为M 与M ⊥的直交和，或直交分解.
投影定理在内积空间理论中是极为次要的基本定理.因为投影
0x M ∈，就是元素x X
∈在子空间M 中的最好迫近元，是以在古代迫
近论，概率论和控制论中很多成绩都可以抽象为如下的数学成绩.
设
X
是内积空间，且
12,,,,n x x x x X
∈，问是否存在
n
个数
12,n λλλ，，，使得
1
inf n
i i y M
i x x x y
λ∈=-=-∑，其中12{,,
,}n M span x x x =.而且普通假设12,,,,n x x x x 线
性有关.
因为M 是一个n 维赋范线性空间，故M 齐备，则由投影定理，对于x X ∈，必唯一存在01n
i i i x x M λ==∈∑，使
0inf y M
x x x y ∈-=-.
此刻我们给出求解0x 的方法，因,1i x M i n ∈≤≤，则由投影定理，我们有
即得线性方程组
记其系数行列式为n ∆.因为方程组已知有唯一解，故0n ∆≠，而且可计算出,1i i n λ≤≤.
最初，我们再给出投影定理的两个推论.
【推论 4.1】 设M 是Hilbert 内积空间X 的真闭线性质空间，则
M ⊥中必有非零元素.
证实：由题设M
X
≠，则存在x X M ∈-.由投影定理得知，存在
0x M ∈，x M ⊥∈，使得0x x z =+，因而必z θ≠，否则0x x M
=∈，与之矛盾.
证毕.
【推论 4.2】 设M 是Hilbert 内积空间X 的真闭线性质空间，则
()M M ⊥⊥=.特别当{}M θ⊥=，则M
在X 中稠密.
证实：由性质（8），()M ⊥⊥是X 中真闭线性质空间，因X 齐备，则()M ⊥⊥齐备.明显，有()M M ⊥⊥⊂，因而()M M ⊥⊥⊂.同样得知M 也齐备.如果()M M ⊥⊥≠，因而关于()M M ⊥⊥⊂，利用推论 4.1，存在非零元素
()x M ⊥⊥∈，且()x M M ⊥⊥⊥
∈=，故,0x x =，从而x θ=，矛盾.从而必有
()M M ⊥⊥=，证毕.
1.
设X 是实内积空间，若
222
x y x y
+=+，则x y ⊥.问X 是复内积
空间时，结论是否成立？
2. 证实：内积空间X 中的两个元素,x y 直交的充要条件是对任意
数F λ∈，成立
x y x λ+≥. 3. 设12,,,
,n x x x x 是内积空间X
中两两直交的非零元素组，求证：
12,,,
,n x x x x 线性有关.
4. 设X 是内积空间，
,x y X
∈，则
x y ⊥⇔
对任意
F
λ∈，有
x y x y λλ+=-.
5. 设X
是hilbert 空间，M 是X 的子集，求证()M ⊥⊥是包含M 的最小
闭子空间.
6. 设X 是hilbert 空间X 中非空子集，求证：{}spanM X M θ⊥=⇔=.
7. 设M
为hilbert 空间2[1,1]L -中全体偶函数的集合：
（1） 求证M ⊥是2[1,1]L -中全体奇函数. （2） 任意2[1,1]x L ∈-，求x 在X 上的投影.
8.
设X 为hilbert 空间，元素列n x X ∈且两两直交，求证：级数1
n i x ∞=∑收敛⇔数值级数2
1n
i x ∞
=∑
收敛.
9.
证实：直交性质（1）-（5）.
10. 设12,,,
,n
x x x x 是内积空间X
中两两直交元素组，求证：
22
1
1
n
n
k
k
k k x
x ===∑∑.
4.3 直交系
返照2R 中情况，在内积空间引入直角坐标系的概念.
【】 设M 是内积空间中一个不含零元的子集，若M 中任意两个分歧元素都直交，则称M 为X 的一个直交系.又若M 中每个元素的范
数都是1，则称M 为尺度直交系.
注：为了简单起见，我们仅讨论至少含可列个元素的直交系，因为对不成列情况，在方法上同可列情况并没有实质的区别.
例 4.4 在（实或复）Euclid 空间n F 中 是一个尺度直交系.
例 4.5在内积空间2l ，以下元素列是一个尺度直交系 其第n 个分量是1，其余分量都是0，1,2,
.n =
例 4.5在实内积空间2[0,2]L π中，若定义内积为 则三角函数系
是2[0,2]L π的一个尺度直交系.
【定义 4.6】 设1{}n n e ∞=是内积空间
X 中一个尺度直交系，对任x X
∈，称,n n
c x e =
为元素x 关于n e 的Fourier 系数，常简称为x 的Fourier
系数.因而有方式级数1
n n n c e ∞=∑，称为元素x 关于1{}n n e ∞=可以睁开为
Fourier 级数.
注：普通情况下，Fourier 级数纷歧定收敛.即或收敛，也纷歧定收敛于x .在什么条件下元素x 可以睁开为Fourier 级数的成绩天然是次要的.
【定理4.4】 设1{}n n e ∞=是内积空间
X 中一个尺度直交系，记 对任意给定x X ∈，则x 在n X 上的投影是1
n
n k k k s c e ==∑，即n s 是在n X 内的最
好迫近元.
证实：因()n n x s x s =+-，因为n n s X ∈，则只须证实n n x s X ⊥-∈.由4.2
性质（9），又仅须证
,1,2,
,.
n n x s e k n -⊥=因而
由
1
,,,0n
n k k i i k
i x s e x e c e e
=-=-
=∑，知结论成立.证毕.
注：任意1
n
k k n k e X λ=∈∑，任x X ∈，成立
【定理4.5】（Bessel 不等式） 设1{}n n e ∞=是内积空间
X 中一个尺度直交系，则对任意x X ∈，成立Bessel 不等式 其中，,,1,2,.n n c x e n =
=
证实：已知()n n s x s ⊥-，其中1
n
n k k k s c e ==∑，则由勾股定理得
令n →∞，得结论成立.证毕.
注：Bessel 不等式指元素x 在每个n e 上投影n n c e 的范数的平方和不大于x 的范数；由此知21n n c ∞
=∑为收敛级数，因而推得事实
特别对内积空间2[0,2]L π关于尺度直交系三角函数系（见例4.3），对任意2[0,2]x L π∈，其Fourier 系数为
其中,n n a b 即通常的Fourier 系数，则由Bessel 不等式，得
留意这里用了收敛正项级数的可交换性.
在内积空间X 给定尺度直交系1{}n n e ∞=情况下，x X ∈，其对应的Fourier 系数构成一个序列212(,,)c c c l =∈，并确定了由X
到内积空间2
l 内的一个映照T 为 其中,n n
c x e =
，1,2,n =.不难证实T 是线性映照.
反之，任意2l 中的元素12(,,)c c c =，普通情况下，纷歧定存在X
中
元素x ，使,n n
c x e =
，1,2,n =，但在X 齐备时，有以下定理.
【定理4.6】（Riesz Fisher -） 设1{}n n e ∞=是内积空间
X 中一个尺度直交系，则对任意
2
12(,,)c c c l =∈，唯一存在
x X
∈，使
,n n
c x e =，
1,2,
n =，且成立等式
证实：令1
n
n k k k s c e ==∑，因为
2
2
1
m
n m
k
k n s s c =+-=
∑
，因为级数21
n n c ∞
=∑收敛，
则根据Cauchy 收敛原则，有
故n s 是齐备空间X 中一个Cauchy 列，则存在x X ∈，有
此刻设k 为任意天然数，则 再留意
2
2
1
n
n
k s c ∞
==∑，令n →∞，即得等式22
1
n n c x
∞
==
∑.
最初证实唯一性.若y X ∈，也满足定理结论
,n n
c y e =，且22
1
n n c y ∞
==
∑
则因
22
2
n
n
y s y s =+-（由定理4.3），令n →∞，推得n s y →.由极
限的唯一性，必y x =.证毕.
注：在X 为Hilbert 空间时，可确定一个有2l 到X 内的映照.但在普通情况下，不克不及断定映照是满射.是以纷歧定为由2l 到X 上的逐个映照.
在n 维Euclid 空间中，尺度直交基（直角坐标系）的极大性是相当次要的，对此我们有如下推广.
【定义4.7】 设1{}n n e ∞=是内积空间
X 中一个尺度直交系，若对任意x X
∈，有
,0n x e =，1,2,
n =，则必x θ=，我们就称1{}n n e ∞=是完整的.
尺度直交系是2l 中一个完整的尺度直交系.
【定理4.7】（Riesz Fisher -） 设1{}n n e ∞=是
Hilbert 空间X 中一个尺度
直交系，则一下的命题等价：
（1）1{}n n e ∞=是完整的；
（2）对任意x X ∈，成立Parseval 等式
2
2
1
n
n x c ∞
==∑，其中,n n
c x e =
，
1,2,
n =；
（3）对任意x X ∈，有1
n n n x c e ∞
==∑，其中,n n
c x e =
，1,2,n =；
（4）对任意两个元素,x y X ∈有
证实：（1）⇒（2）.设1{}n n e ∞=是完整的，对任意
x X ∈，记,n n
c x e =，1,2,
n =212(,,)c c c l =∈，再由定理
4.6知，唯一存在y X ∈，
使
得
,n n
c y e =且成立
2
2
1.
n n y c ∞
==∑因为
,,n n
x e y e =，
1,2,
n =，则
,0n x y e -=，1,2,
n =.因为1{}n n e ∞=是完整的，因而必有
y x =，是以有2
2
1n
n x c ∞
==∑，命题（2）成立.
（2）⇒（3）.此刻假设命题（2）成立，任意取x X ∈，令
,n n
c x e =，1,2,n =，1
n
n k k k s c e ==∑，则有
即得1
lim n
k k n k c e x →∞
==∑，因而命题（3）成立. （3）⇒（4）.此刻假设命题（3）成立，任意取,x y X ∈，令
,n n
c x e =，,n n
d y
e =
，则有1
lim n k k n k x c e →∞==∑，1
lim n
k k n k y d e →∞
==∑.因而可得 即命题（4）成立.
（4）⇒（1）.此刻假设命题（4）成立，取x X ∈，若n x e ⊥，
1,2,n =，此时任取
y X
∈，有
1
,,,0
n n n x y x e y e ∞
==⋅=∑，即
x X
⊥，故
x θ
=，是以命题（1）成立.证毕.
注：若Hilbert 空间X 存在的尺度直交系1{}n n e ∞=，则任意
x X ∈，有,n n
c x e =，1,2,
.n =映照212(,,)Tx c c l =∈是由X
到2l 上的一个等距同构映
照，故X 与2l 的等距同构.
以下的定理在判别某尺度直交系的完整性时是经常有效的.
【定理4.8】 设1{}n n e ∞=是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系，如果Parseval 等式在X
中某稠密子集D 上成立，则1{}n n e ∞=是完整的.
证实：01{}n n X span e ∞==，则0X 是
X 的闭线性质空间.任x D ∈，令,n n
c x e =，1,2,n =，则由假设成立
2
2
1
n
n x c ∞
==∑（2）⇒（3）之证实得
1
lim n
k k
n k x c e →∞
==∑，故0x X ∈.因而0D X ⊂.因0X 是闭集，则00X D X X =⊂=，即
得0X X =.由0X 定义，任0x X X ∈=，有1
1
lim n
n n k k n n k x c e c e ∞
→∞
====∑∑
，且,n n
c x e =，
1,2,
n =.是以由定理4.7命题（3）成立推得则1{}n n e ∞=是完整的.证毕.
例 4.72[0,2]L π中三角函数系是完整的. 因为取
D
在
2[0,2]
L π中稠密.对任意三角多项式
01
()(cos sin )2n
n k k k a T t a kt b kt ==++∑不难验证成立Parseval 等式.
根据定理4.7，对任意2[0,2]x L π∈，其中Fourier 级数 依范数收敛于x .但这其实不克不及推知每个2[0,2]t L π∈，有
由线性代数及解析几何的常识，我们晓得直交组比普通的线性有关组的性质更为优胜，若某向量可用尺度直交组线性暗示，其组
合系数有内积容易求出，十分方便.
以下介绍一个得到尺度直交系的经常使用的方法.对内积空间X
中已知的某线性有关序列1{}n n x ∞=，通过
Gram Schmidt -尺度直交化过程可获得一个尺度直交系.其过程如下：
第一步，把1x 尺度化，令
第二步，记111{}{}.X span e span x ==由定理4.4得知，2x 在1X 上的投影为
211,x e e ，由投影定理，记22112,x x e e y =+，则21y e ⊥.因为2x ，1e 线
性有关，则2y θ≠，此时令 不难看出有1212{,}{,}.span e e span x x =
第三步，记212{,}X span e e =，也由定理4.4得知，3x 在2X 上的投影为
311,x e e +322,x e e ，根据投影定理，记2
333
1,k k k x x e e y ==+∑，则3k y e ⊥，
1,2.k =因为3x ，1e ，2e 线性有关，则3y θ
≠，此时令
且易知123123{,,}{,,}.span e e e span x x x =
因而归纳有第n 步，记1121{,,,}n n X span e e e --=，同样由定理
4.4得
知，
n
x 在
1
n X -上的投影为1
1
,n n k k
k x e e -=∑
，并根据投影定理，记
1
1
,n n n k k n k x x e e y -==+∑，则n k y e ⊥，1,2,
1k n =-，又因为n x ，1e ，21,
,n e e -线性
有关，则3y θ≠，此时令 则易知1212{,,
,}{,,
,}.n n span e e e span x x x =
因而以上程序无穷进行下去，即得一个尺度直交系1{}n n e ∞=.
Hilbert
空间与2l 等距同构.因2l 是可分的（即存在无限或可列稠密
子集），则X 也是可分的.相反地，我们有如下定理.
【定理4.9】 设X 是Hilbert 空间，则
（1） 若X 是可分的，则X 必有至少可列的完整的尺度直交系； （2） 设X
是无穷维的可分空间，则X 的每个完整的尺度直交系
都是可列集.
证实：因为X 存在无限或可列（也称为至少可列）个元素
{}k x ，使{}k span x X
=，且不妨设{}k x 为线性有关集合.由Gram Schmidt -尺
度直交化程序，可构造出对于{}k x 的（等势的）尺度直交系{}k e .当X 为n 维内积空间时，则有1212{,,,}{,,
,}n n span e e e span x x x =，故有
从而有 因而必有
故1{}n n e ∞=是完整的.定理4.9（1）证毕.
又X 存在可列稠密子集D ，任取X 一个完整尺度直交系M ，则
M 是一个无穷集.任取i e ，j e ∈M ，且j i e e ≠，都有
记 {}3
2
:
≤
-∈=i I e x X x S ，
{}3
2:≤
-∈=j J e x X x S
则φ=J I S S .因为D 在X 中稠密，则存在i i S D x ∈，j j S D x ∈，有j i x x ≠.因而M 的势大于D 的势.因此M 必是可列集.证毕.
1. 在内积空间2l 中，试给出一个使Bessel
不等式成为严酷不等式的
例子.
2. 设{}∞
=1n n e 是内积空间X
中一个尺度直交系，求证对任意x ，y ∈X ，
有
3．设{}∞=1
n n e 是内积空间X
中一个尺度直交系，给定
x ∈X
，令
),(n n e x c =， 2,1=n 则对任意0>ξ，求证：
（1） 使成立不等式ξ>n c 的n c 仅有无限个； （2） 设{}ξ
>n c n :的个数为m ，则有2
2
1
x
m ξ<
.
4．在[]1,12-L 中，试将1)(1=t x ，t t x =)(2，23)(t t x =尺度直交化. 5．求3
210),,(R a a a ∈，使dt t a t a a e
t
2
1
02
210)(⎰---取最小值.
6．设{}∞=1
n n e 是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系，若x ，y ∈X 有 n n n e t x ∑∞
==1
，n n n e s y ∑∞
==1
求证：（1）
-∞
=∑=s t y x n n 1
, ；（2）级数-
∞
=∑s t n n 1
是绝对收敛的.
7．设{}∞=1
n n e 是Hilbert 空间X
中一个尺度直交系，给定
x ∈X
，若
n n n e t x ∑∞==1
，求证,,2,1),,( ==n e x t n n 且有∑∞
==1
2
2
n n
t x .
8．设{}∞=1
n n e 是Hilbert 空间X 中一个完整尺度直交系，试问是否每个x ∈X
都可用{}∞=1
n n e 线性暗示. 9设{}∞=1
n n e 是Hilbert 空间X 中一个尺度直交系，任意x ∈X
，求证
n n n e e x y ∑∞
==1,在X
中收敛，而且y x -与每个n e 直交.
Hilbert
空间上有界线性泛函
在理论及利用中,对一个具体的赋范线性空间X 来说,常常要和它的共轭空间*X 结合一路来研讨.为此,晓得有界线性泛函*∈X f 的普通方式,天然是十分次要的.对于普通赋范线性空间,获得这类暗示是相当困难的.但对于Hilbert 空间,情况却非常简单.
Riesz
定理
【】)(Riesz 设X 是Hilbert 空间，对于每个*∈X f ，唯一存在X y ∈，使
任意x ∈X ，有 而且还有 证实：若θ
=f
为零泛函，则取X 中零元素θ=y 即可.此刻设θ
≠f
，令
{}0)(:=∈=x f X x M 为f 的零空间.因f 是连续线性泛函，则M 是X 的闭
子空间.因θ
≠f
，则必无为M X
的真子空间.由投影定理，肯定有θ
≠z 且⊥∈M z .所以0)(≠z f 任取x ∈X ，因为 则M z z f x f x ∈-
)
()
(.因而有 从而得z
x x
z f x f ,))((2
=
.此时令2
_
)(z
z z f y =
，即有
存在性得证.
此刻证实X y ∈由f 唯一确定.如果还有X y ∈1，使 因而有
0,1=-y y x ，X
x ∈∀，即X y y ⊥-1，所以y y =1，唯一性得证.
最初证实
y
f =.当
θ
=f ，事实明显.此刻设
θ
≠f ，则θ≠y .首先由
Schwarz
不等式有
x
y y x x f ⋅≤=,)(，X x ∈∀
因而推得
y
f ≤；
另一方面，取y x =，又有 因而推知
y
f ≥.是以必成立
y
f =.定理证毕.
注*X 到X 内的映照.此刻要说明它是逐个映照.因为任意取定元素
X y ∈，则确定X
上一个泛函f 为
y
x x f ,)(=，X x ∈∀
由内积的性质可知f 是线性的.再由Schwarz 不等式，有
x
y y x x f ⋅≤=,)(，X x ∈∀
因此f 是有界泛函，且y
f ≤，故*
∈X f .类似于定理4.10的证实，可
推知
y f =.
因而可得以下的由X 到*X 上的映照T 是个逐个映照：
*∈=X f y T )(，X
y ∈∀，使y
x x f ,)(=
，X x ∈∀.
任取复数21,λλ及元素X y y ∈21,，令
11f Ty =，22f Ty =，f y y T =+)(2211λλ
则对任意X x ∈，有
即有22112211)(Ty Ty y y T λλλλ+=+
是以称T 为复共轭线性映照，而且有
即T 是一个等距映照（或称为保范映照）.故称映照T 是X 到*X 上的复共轭等距映照.在这类意义下，认为元素X y ∈与对应的泛函*∈X f 是分歧的，即X
=*X .是以，称X
为自共轭空间（必须留意是在复共
轭等距同构意义下）.
Hilbert
空间上的共轭算子
我们曾在第3章讨论过赋范线性空间上的共轭算子成绩.此刻我们利用Hilbert 空间与共轭空间的分歧化，引入所谓Hilbert 空间上的共轭算子概念.这类算子是在研讨矩阵及线性微分（或积分）方程的成绩中提出来的，有着广泛的利用.
【定义4.8】 设X 和Y 是两个内积空间，Y X T →:是一个有界线性算子.又设X Y T →*:是有界算子，若对任意的Y y X x ∈∈,，都有
就称*T 是T 的共轭算子（或陪伴算子）.
注：在复空间情况下，第3章关于赋范线性空间所引进的共轭算子与定义4.8所陈述的共轭算子其实不完整分歧，设),(,21Y X L T T ∈及复数21,λλ，按第3章所述定义，有 但依定义4.8的概念，却有
而在实空间情况下，两者完整分歧.
例4.8 设m n C C ,为复Euclid 空间，对于有界线性算子m n C C T →:，则T 为
m 行n 列的矩阵，即
当n n C t t t x ∈=),,(21 时，有
此时，任取m m C s s s y ∈=),,(21 ，有 其中
我们看到共轭算子*T 是T 的转置共轭矩阵*T .
如果X 是n 维（实或复）内积空间，取定{}n e e e ,,21为其一个尺度直交基，Y 是m 维（实或复）内积空间，取定{}n f f f ,,21为其一个尺度直交基.设Y X T →:是一个线性算子（则T 必定有界）.令 则任意X x ∈，有唯一暗示j n
j j e t x ∑==1，因而有
不难看出，线性算子Y X T →:由一个m 行n 列的矩阵n m ij a ⨯)(所决定.类似于Euclid 空间的情形，可得T 的共轭算子X Y T →*:由n m ij a ⨯)(的转置共轭矩阵n m ij a ⨯)(暗示.
以下定理说明了普通情况下共轭算子的存在性.
【定理4.11】设X 是Hilbert 空间，Y 是内积空间，则对任意有界线性算子Y X T →:，必唯一存在共轭算子*T .
证实：对任意取定Y y ∈，确定了X 上线性泛函y
Tx x f ,)(=
，其中
X
x ∈.因
则*∈X f ，且
y
T f ⋅≤.由Riesz 定理，唯一存在X z ∈有
我们得到了算子X Y T →*
:为z y T =*，且z
f =.使对任意的Y y X x ∈∈,，
有
y T x y *=,,.
此刻证实*T 是由Y 到X 的有界线性算子.任意取复数21,λλ及元素
Y y y ∈21,，因有
是以22112211)(y T y T y y T ***+=+λλλλ.这说明*T 是线性的.再由*T 的定义，对任意的Y y ∈，有y
T f y
T ⋅≤=*，是以有T
T ≤*
，即*
T 为有界线性算
子，而*T 的唯一性是明显的.证毕.
再给出一个实例.设[]),(,,2s t K b a L X =是矩形区域[][]b a b a D ,,⨯=上平方可积函数，则由核),(s t K 定义了空间[]b a L ,2上的有界线性算子T 为
T
是一个Fredholm 型积分算子.此刻求T 的共轭算子.任取[]b a L y ,2∈，
因为在给定条件下可交换积分次序，有
故有 ()()()()⎰=*b
a ds s y t s K t y T ,.即*T 是觉得),(s t K 核的Fredholm 型积分算
子.
由例4.8,我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，是以它必定具有很多类似转置共轭矩阵的性质.
【定理4.12】(共轭算子的性质) 设X ，Z 是Hilbert 空间，Y 是内积空间.),(),,(,X Z L Q Y X L S T ∈∈，λ是复数，则以下命题成立：
（1）**=T T λλ)(； （2）***+=+S T S T )(；
（3）T T =**)(； （4）T
T T T
**
==2
2
；
（5）***=T Q TQ )(；
（6）T 存在有界线性逆算子的充要条件是*T 也存在有界线性逆算子，有11)()(-**-=T T ； （7）(){}
T T σλλ
σ∈=*)(.
证实：（1）任取,,Y y X x ∈∈有 是以有()**=T T λλ.性质（1）得证. （2）证实留给读者证实. （3）任取,,Y y X x ∈∈有
y
T x y Tx *=,,，是以有
Tx
y x y T ,,=*.因而
T T =**)(.性质（3）得证.
T
T ≤*.是以也有
*
**≤T T )(，即*
≤T T
.因而必*
=T T
.任取X x ∈，因
则得2
T
T T ≤*.
另一方面，任取X x ∈，且1=x ，有
则得 即有T T T
*≤2
.
综上所证就得到T
T T T
**
==2
2
.性质（4）得证.
（5）由假设知),(Y Z L TQ ∈.任取Y y Z z ∈∈,，因 因而有()***=T Q TQ .性质（5）得证.
（6）设T 存在有界线性逆算子1-T ，则X Y I T T I TT ==--11,，其平分Y
X I I ,别是X 及Y 上单位（恒等）算子.因明显有Y Y X X
I I I I ==*
*
,，则利用
性质（5）可得
是以知*-)(1T 是*T 的逆算子，即成立*--*=)()(11T T .反之，设*T 存在有界线性逆算子，因而由前证有**=)(T T 存在有界线性逆算子.性质（6）得证.定理证毕.
（7）设)(T ρλ∈，则),()(1X X L T I ∈--λ，因而由性质（6），*-)(T I λ存在有界线性逆算子，而()**-=-T T I λλ，可见)(*∈T ρλ，故(){}()*⊂∈T T ρρλλ. 同理可证 即
所以 ()(){}T T ρλλρ∈=*
而()()T T σσ,*分别是)(*T ρ，)(T ρ的余集，是以
习题4,4
1设
X
是
Hilbert
空间，
Y
是内积空间，若
()
X Y L S S ,,21∈，有
Y y X x y S x y S x ∈∈=,,,,21，求证21S S =.
2设X 是Hilbert 空间，求证X 是自反空间.
3证实θθ==**,I I ，其平分θ,I 别是Hilbert 空间X 上单位算子和零算子.
4 试求感化于2l 上的算子的共轭算子： （1）()() ,,,0,,2121t t t t T = （2）()() 3221,,,t t t t T =.
5试求感化于()∞∞-,2L 上的算子T 的共轭算子： （1）()()()h t x t Tx +=，其中()∞∞-∈,2L x ，h 是实常数； （2）()()())()(2
1t x t x t Tx -+=，其中()∞∞-∈,2L x .
6 设X 是复Hilbert 空间，()X X L X L T ,)(=∈.求证：若*=T T ，则对任意
X
x ∈，有0,Re =x Tx .
7设X 是Hilbert 空间，)(X L T ∈且1≤T
，求证：{}{}x x T x x Tx x ===*::.
8设X ，Y 是Hilbert 空间，),(Y X L T ∈.记T 的零空间与值域分别为
(){}θ=∈=Tx X x T N :，{}X x Y Tx T R ∈∈=:)(.
（1） 任Y B X A ⊂⊂,，若()B A T ⊂，求证)(⊥*⊥⊃B T A ； （2） 若（1）中，A ，B
都是闭线性质空间，若)(⊥*⊥⊃B T A ，求证
B A T ⊂)(；
（3） 求证()⊥*⊥
*==))(()(;)()(T N T R T N T R ；
⊥*⊥*==))(()(;))(()(T R T N T R T N .
9 设X 是复Hilbert 空间，M 是X 的闭线性质空间，求证：若M 是X 是某个非零有界线性泛函f 的零空间，则⊥M 是X 的一维空间.
Hilbert
空间上共轭算子的概念，如果()X X L T ,∈，那么()X X L T ,∈*.
当X 是实Hilbert 空间且是有穷维时，算子T 就可看成实方阵，而*T 就是T 的转置.若*T =T ，那么矩阵T 就是对称矩阵.通过线性代数我们晓得，对称矩阵有很多好的性质.在这里我们将对称矩阵的概念普通化，引入一类次要的算子.
【定义4.9】 若*T =T ，则称T 为自共轭算子（或自伴算子）. 【定理4.13】 设X 是Hilbert 空间，则上面的结论成立：
（1） 若()X X L T ,∈，则T
为自共轭算子当且仅当对x Tx X x ,,∈∀是实数.
（2） 若()X X L T T ,,21∈且为自共轭算子，则对任何实数21,,T T βαβα+是
自共轭算子.
（3） 若()X X L T T ,,21∈且为自共轭算子，则21T T 是自共轭算子的充要
条件是1221T T T T =.
证实：（1）设对任何X x ∈，x
,是实数，来证*=T T .因为
所以()0,=-*x
x T T ，令*-=T T S ，那么0,=x Sx .又
()0,=++y x y x S 及()0)(,=++iy x S iy x S
因而得
0,,=+x Sy y Sx 及0,,=-x Sy y Sx
故0,=y Sx ，对X y x ∈∀,，可见θ=Sx ，即S 是零算子.因而*=T T .
反之，若*=T T ，则 那么
x
,是实数.
（2）由性质（1）之证，因为()x x T x x x x T T ,,,2121βαβα+=+是实数，所所以21T T βα+自共轭算子.
（3）首先设1221T T T T =，那么由共轭算子的性质知 即21T T 自共轭，反之
注：从定理4.13的性质（2）可以看出，自共轭算子构成()X X L ,的一个实线性质空间，而且从上面的定理近一步得知，这个子空间在算子的分歧收敛和强收敛下均是闭子空间.
【定理 4.14】设{}n T 是一列自共轭算子，()X X L T ,∈.若对每个
X
x ∈，有Tx x T n →，则T 是自共轭算子.
证实：对X y x ∈∀,，由Tx x T n →及内积的连续性得 故 *=T T
【推论4.3】设{}n T 是一列自共轭算子，()X X L T ,∈，且0→-T T n ，则T
也是共轭的.。