人教A版高中数学必修5《二章-数列--2

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人教A版必修5第二章数列2.1数列的概念与简单表示法
阅读与思考：斐波那契数列
一、教材分析
《普通高中数学课程标准》在有关数学文化的教学要求中指出：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值和美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识。

”为了贯彻这一精神，向学生传播数学文化，人民教育出版社在出版的《普通高中课程标准实验教科书数学A版》必修1-5册中，共设置了24篇“阅读与思考材料”。

《斐波那契数列》是人教A版必修5第二章《数列》中位于2.1数列的概念与简单表示法后的阅读与思考材料。

《斐波那契数列》是数列知识的延伸、拓展和应用，是教材知识结构的组成部分，与教材内容相互补充，融为一体。

在教学中如果能够深刻挖掘其内涵与外延，整体认识其所蕴含的教育因素，它必将在巩固学生知识、构建知识体系、发展学生能力、培养创新意识等方面发挥独特的作用。

二、学情分析：
从知识基础的角度来看，本节课位于2.1数列的概念与简单表示法之后，位于2.2等差数列之前，学生对数列的相关概念及数列的表示法（通项公式和递推公式）有了一定的理解，此时学习《斐波那契数列》一方面可以起到巩固基础知识的作用，同时也能逐渐开阔学生的学习视野。

从能力培养的角度来看，阅读材料《斐波那契数列》中蕴含着丰富的数学思想和方法（如观察与归纳、抽象与概括、猜想与证明等），可以在教学中进行重在发展学生能力的素质教育，从而不断提升学生的数学素养。

再者，高一的学生刚从初中升上高中，对数学与自然的契合充满好奇，喜欢尝试寻找（斐波那契数列中的）规律，对于这种寓教于乐的活动课有着浓厚的参与兴趣。

三、教学目标：
1.了解斐波那契数列；
2.了解斐波那契数列在生活中的应用；
3.通过动手操作、观察与归纳，发现斐波那契数列的一些有趣的性质；
4.通过本节课的学习，在培养学生的理性思维和理性精神的同时，拓宽数学的学习视野，同时感受到数学学科的魅力，及在生活的实际应用价值，进一步激发对数学学科学习的兴趣。

四、重难点
重点：斐波那契数列在生活中的应用
难点：探求斐波那契数列的有趣的性质
五、教学方法：
读书指导法、实验法、谈论发、启发法
六、教具准备：
教学用多媒体，图形计算器（一组一个）
七、教学过程
（一）情景引入：
教师在黑板上展示一组有规律的数字：
(展示前15项) 1,1,2,3,5,__,13,__,__,__,__,__,__,__,__,
问题：请填写数列中空白的项，并说说你填写的依据.
游戏：数列中连续十项求和
现场任意抽一位同学确定出本数列的连续十项，然后师生现场比赛：学生使用图形计算器，教师口算，看谁先算出正确的答案。

学生游戏失败，利用学生想知道原因的契机，教师自然切入课题。

【设计目的】由观察斐波那契数列的规律填空引入本课，一方面可以让学生对斐波那契数列的特点有一个初步的认识，另一方面，游戏的过程可以让学生形成强烈的求知意识，有利于调动全体学生参与教学的积极性。

（二）新课学习：
环节一：自助学习（学生自学教材文本：P32—P33，思考并回答以下问题） 问题1：斐波那契是哪个国家的数学家？斐波那契数列出现在他的那本著作中？
问题2：为什么人们常把斐波那契数列称为“兔子数列”？你能详细地介绍该数列与兔子之间的关系吗？
问题3：根据斐波那契数列的特点，你能否利用递推公式对该数列进行描述呢？
【设计目的】本环节旨在让学生通过阅读教材文本，形成对斐波那契数列的初步认识。

环节二：自学反馈
教师引导学生对自学情况进行反馈，同时适度补充：
问题1补充：（Fibonacci.L,1170—1250）出生于意大利的比萨。

他小时候就对算术很有兴趣。

斐波那契的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘全书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。

（课件展示） 问题2补充：与兔子繁殖问题相似的是：
自然界中的树苗在第一年长出一条新枝，新枝
成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新
枝，整棵树都按照整个规律成长，则每年的分
枝数正好构成了斐波那契数列。

（课件展示）
问题3补充：斐波那契数列的通项公式： 51515522n n n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（课件展示： 用无理数表示有理数的一个范例）
【设计目的】在反馈学生自学情况的同时，
对涉及的内容进行适度的提升，引导学生进一步认识斐波那契数列。

环节三：自助热身（走进斐波那契数列）
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学习活动一：（学生欣赏了解自然界花瓣中的斐波那契数）
同学们：你知道吗？自然界大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。

例如，马蹄莲、红掌都只有一个花瓣；虎刺梅有2个花瓣；紫璐草有3个花瓣，梅花、桃花有5个花瓣，格桑花、飞燕草有8个花瓣，瓜叶菊有13个花瓣，向日葵有21个花瓣或34个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣！
活动安排：教师利用幻灯片展示自然界花瓣中的斐波那契数，学生观察、感受数学与自然的和谐，产生更加强烈的学习兴趣。

学习活动二：（斐波那契与黄金分割）
活动安排：教师引导学生利用图形计算器逐个计算斐波那契数列中前一项除以相邻后一项：12a a ，23a a ，34a a ，45a a ，……，1213
a a （精确到小数点后五位），然后引导学生发现此比值的极限是0.618--黄金分割数的近似值！正因为斐波那契数列有如此神奇的性质，故斐波那契数列有人称之为黄金分割数列。

教师利用课件展示资料：黄金分割。

学习活动三：（斐波那契螺旋线）
首先：教师利用视频播放斐波那契螺旋的生成。

然后：教师引导学生欣赏斐波那契螺旋线在构图中的应用（课件展示）
补充说明：将要拍摄图片的主体作为起点，就是斐波那契螺旋线的绕得最紧的那一端。

这种类型的构图通过那条无形的螺旋线条，会吸引住观察者的视线，创造出一个更为对称的视觉线条和一个全面引人注目的视觉体验.
接着：教师利用视频让学生体验菠萝、松果的螺旋数与斐波那契数的神奇吻合。

【设计目的】通过三个学习活动，引导学生进一步认识斐波那契数列，通过系列活动拓宽学生的认识视野，体会数学与自然的完美协调，感受数学的美。

环节四：自助提升（探索斐波那契数列的有趣性质）
活动1：现场回复人机大战游戏中老师轻易胜出之谜
性质1：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！ 活动2：探寻斐波那契数列与勾股数之间的关系
活动要求：各小组从裴波那契数列中任意取5个连续的项：a 、b 、c 、d 、e ，然后分别计算ae 、bd 、2c 之值，你们能否发现计算出的这3个数字之间隐藏的神秘关系呢？
性质2：连续取 5个斐波那契数a 、b 、c 、d 、e ，则bd 、2c 、ae 必定是勾股数！
活动3：斐波那契数列前n 项和n S 中隐含的性质（1,1,2,3,5,8,13,21,34,.....） 活动安排：各个同学独自计算并记录.......S S S S S 12345，，，，之值，探求S n 与斐波那契数之间的关系
性质3：斐波那契数列的前n 项和21n S a +=-n
活动4：我们取出斐波那契数列的所有奇数项，并求出奇数项的前n 项和，你发现了什么吗？
性质4：所有奇数项的前n 项和S 奇仍然为斐波那契数（最后那个奇数项后
面的斐波那契数）
课外活动：我们取出斐波那契数列的所有偶数项，并依次求出前n项和，你能发现什么规律吗？
活动5：斐波那契数列每项平方后得到的数列与斐波那契数列之间的关系播放剪接过的视频（英语演讲）
【设计目的】通过五个学习活动，引导学生运用数学中的理性思维，通过计算、观察、归纳出斐波那契数列的一些有趣的性质，从中训练观察与归纳、抽象与概括的能力。

（三）自助小结：
通过本节课对斐波那契数列的学习，你的最深感受到什么？你觉得数学是一门这样的学科？
（四）自助巩固：
1、一个楼梯有10阶台阶，每次只能上1级或者2级，走完这10级台阶共有多少种走法？
2、有人说，“有关斐波那契数列的论文数量，甚至比斐波那契的兔子增长得还要快”，以至于1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。

请同学们下来利用课余的时间上网查阅斐波那契数列的若干性质，感受斐波那契数列的魅力！
（五）课后反思：
由于本节课预设备课时内容非常丰富，但在课堂实施时某些环节难以在有限的40分钟内停留“充分”。

如问题3：根据斐波那契数列的特点，你能否利用递推公式对该数列进行描述”？在课堂上学生很容易得到递推关系式，但是循着前一节课数列的概念及其表示法的思路，学生会思考这种递推是否有通项，如何寻找通项，这个思考过程随着老师很快拿出结果而显得较短；又如自然界中为什么呈现如此多的斐波那契数，学生的思考时间也不太“充分”，直接被老师安排的计算活动代替了这个思考。

有人说：教学是一门遗憾的艺术，完美的课堂是不存在的。

但是，为了使得课堂上的遗憾少一些，再少一些，我们需要做的努力还有很多、很多......。