湖南省株洲市重点中学高三12月联考数学文科试题

湖南省株洲市重点中学高三12月联考数学文科试题
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则中所有元素的和为（）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
【答案】B
......... ...............
,所有元素的和为3.
故选B.
2. 已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数，共轭复数为，在复平面上所对应的点为(1,-2)位于第四象限.
故选D.
3. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量(单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求得关于的线性回归方程为，那么表格中的值为（）
A. 3
B. 3.15
C. 3.25
D. 3.5
【答案】A
【解析】试题分析：，，线性回归方程过样本点的中心，
，得，故答案为A．
考点：线性规划的应用．
4. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，
共9种；
其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，
故选：A.
5. 已知平面平面，则“直线平面”是“直线平面”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】平面平面，若直线平面，则直线平面或；
平面平面，若直线平面，则直线平面不一定成立，故选择D.
6. 若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A. 4
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，
由上图，目标函数在点处取得最小值，最小值为，故选择C.
7. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且
，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即
.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理
得，解得.
故选A.
8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为3， 3， 7，则输出的（）
A. 9
B. 21
C. 25
D. 34
【答案】C
【解析】程序运行过程如下：
第一次循环：，
第二次循环：，
第三次循环：，
此时跳出循环，输出的s值为25.
本题选择C选项.
9. 已知函数 (其中且)，若，则在同一坐标系内的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：当时，与的单调性一致，这样A与D排除，根据条件
，故C排除，因为显然，故选B.
考点：1.指数函数；2.对数函数.
【方法点睛】本题主要考察了指数函数与对数函数的图像，属于基础题型，对于给出函数的解析式，选函数图像的题型，首先要熟悉函数的一些性质，然后观察函数的定义域，以及函数的性质（单调性，奇偶性等），最值，有无渐近线，还包括特殊点，特殊值等，如果是这样选两个函数图像，那么就先看两个函数的共同性质，以及不同性质，合理选用排除法.
10. 已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C
【解析】
由题意知，，所以是以2为周期的函数，在平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示，观察图象可知这两个函数的图象在上的交点有9个，故选C.
点睛：：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为
的交点个数的图象的交点个数问题 .
11. 在中，角的对边分别是，若，则的大小是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，
，
由sinC⩽1,即有⩽2，
又⩾2，
当且仅当sinA=sinB，取得等号。

故，
，
即有.
故选：C.
解本题的关键是利用代数式的有界性卡出了不等式恰好为等于进而得解.
12. 椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：设，直线的斜率分别为，则，所以
因为，所以，故选A.
考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率公式.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的几何性质及直线的斜率公式，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系，本题首先根据双曲线的对称性，求出，再由的范围求得的范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数，且在处的切线与直线垂直，则__________．
【答案】1
【解析】函数，求导得：.
在处的切线斜率为.
解得.
14. 在平行四边形中，，则__________．
【答案】-7
【解析】在平行四边形ABCD中，，
，
则.
15. 若，且，则__________．
【答案】
【解析】,且，
∴，
∴，
∴，
两边平方,得，
∴，
∴，
整理得，
解得或，
因为，，
∴<1，
∴=.
故答案为：.
16. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
，球的表面积.
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）由即可求公差，进而得通项公式；
（2）由，利用裂项求和即可得，令，由函数
的图象关于点对称及其单调性可得，进而得证.
试题解析：
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，
令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，
，，∴，
∴.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
18. 如图，在矩形中，，平面，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求.
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：（1）连接，可得四边形为平行四边形，进而有，进而得四边形为平行四边形，
，即可证得；
（2）由，即可利用求解.
试题解析：
（1）连接，∵，∴四边形为平行四边形，∴，
在矩形中，，∴，∴四边形为平行四边形，
∴.∴平面.
（2）连接，由题意知，，
∴.
19. 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
乙校:
（1）计算的值；
（2）若规定考试成绩在内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；
（3）由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附：；.
【答案】（1）；（2）40%；（3）有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
【解析】试题分析：（1）由分层抽样知甲校抽取，乙校抽取；
（2）由表格统计考试成绩在内人数比上总人数即可得解；
（3）利用公式计算的值，进而查表下结论即可.
试题解析：
（1）由题意知，甲校抽取人，乙校抽取人，
∴.
（2）由题意知，乙校优秀率为.
（3）
，
∴有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，直线分别与直线相交于
两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：与的面积之比为定值.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】试题分析：本题主要考查抛物线、直线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.第一问，利用抛物线的标准方程，利用焦点坐标求出，代入即可；第二问，讨论直线垂直和不垂直轴2种情况，当直线垂直于轴时，2个三角形相似，面积比为定值，当直线不
垂直于轴时，设出直线的方程，设出四个点坐标，利用直线与抛物线相交列出方程组，消参得到方程，利用两根之积得为定值，而面积比值与有关，所以也为定值.
试题解析：（1）由焦点坐标为可知
所以,所以抛物线的方程为5分
（2）当直线垂直于轴时，与相似，
所以, 7分
当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为,
设，，，，
解整理得， 9分
所以, 10分
,
综上12分
考点：1.抛物线的标准方程；2.直线方程；3.根与系数关系；4.三角形面积公式.
21. 已知函数且.
（1）若函数区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设函数，为自然对数的底数.若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。

试题解析：（1）当时，函数是上的单调递增函数，符合题意；
当时，由，得，
∵函数在区间内单调递增，
∴，则.
综上所述，实数的取值范围是.
（另由对恒成立可得，当时，符合；
当时，，即，∴.
综上）
（2）∵存在，使不等式成立，
∴存在，使成立.
令，从而，
.
由（1）知当时，在上递增，∴.
∴在上恒成立.
∴，
∴在上单调递增.
∴，∴.
实数的取值范围为.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.
【答案】（1）的参数方程为 (为参数)，的直角坐标方程为；（2）．
【解析】试题分析：
(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标、参数方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线的参数方程为（为参数），
的直角坐标方程为.
(Ⅱ)曲线是以为圆心，为半径的圆.设出点的的坐标，结合题意得到三角函数式：
.结合二次型复合函数的性质可得.
试题解析：
（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），
的直角坐标方程为，即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线是以为圆心，为半径的圆.
设，
则
.
当时，取得最大值.
又因为，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立.
所以.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】试题分析：（1）比较和5与-4的大小关系去绝对值求解不等式即可；
（2）不等式恒成立等价于,由，有，求解即可.
试题解析：
（1）原不等式等价于或或，
解得或或.
∴不等式的解集为或.
（2）不等式恒成立等价于，
即，
∵，
∴，则，解得，
∴实数的取值范围是.。