空间向量讲义

空间向量教学讲义
教学内容
【新授课知识讲解】
知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线
向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a
//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a
＝λb 。

4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使
zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，
记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
{,,}i j k 表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =
⋅=+21||b b b b =⋅=+
（5）夹角公式：21cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+
（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则2
||(AB AB =
=
或,A B d =
7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，
显然有,,a b b a <>=<>；若,2
a b π
<>=
，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ⋅=<>。

②0a b a b ⊥⇔⋅=。

③2
||a a a =⋅。

（5）空间向量数量积运算律：
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

②a b b a ⋅=⋅（交换律）。

③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。

【典型例题】
1.在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2
2.(2012·太原高二期末)设空间有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →
－AC →
)＝0，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
3.已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b 等于________．
4.已知|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角大小为________．
5.已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________．
6.已知空间向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，其模都是1，则|a －b ＋2c |＝________．
【典型例题】
1.已知a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4，2) B ．(－2，4，－2) C ．(－2，0，－2)
D ．(2，1，－3)
2.已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )
A ．(－1，1，－1)
B ．(－i ，j ，－k )
C ．(1，－1，－1)
D ．不确定
3.已知空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x ，2，－4)，c ＝(－1，y ，3)，若它们分别两两垂直，则x ＝________，y ＝________，z ＝________．
4.已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)、B (4，－3，7)、C (0，5，1)，M 为BC 的中点，则|AM →
|＝________．
5.已知向量a ＝(4，－2，4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)
B ．a －b ＝(2，－1，－6)
C ．a ·b ＝10
D ．|a |＝6
6.(2012·武汉高二检测)已知向量a ＝(2，－3，5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )
A ．6和－10
B ．－6和10
C ．－6和－10
D ．6和10
7.向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1，0，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( )
A ．0 B.12 C.22
D.32
8.(2012·台州高二期末)已知a ＝(2，－1，1)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(λ，5，1)，
若向量a ，b ，c 共面，则λ＝________．
9.已知空间四点A 、B 、C 、D 的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，
－1，－2)，若p ＝AB →，q ＝CD →
.
求(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．
10.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
11.已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( )
A.5
5 B.
555
C.35
5
D.115
12.已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标
为(x ，0，z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →
，则点P 的坐标为________．
13.已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，以及点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，
2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使OE →
⊥b (O 为原点)．
【题型介绍】
这章学习的内容是在平面向量的基础上进一步去学习的，在高考也是重点内容，固定一道大题，外加不定的选择和填空题，所以学好这章极为重要。

【课堂训练】
1.设直线l1的方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．－2
C．－3 D．3
2.已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3，－4)，B(9，2，1)，则线段AB与哪个坐标平面平行( )
A．xOy B．xOz
C．yOz D．xOy与yOz
3.设O为坐标原点，OA→＝(1，1，2)，OB→＝(3，2，8)，则线段AB的中点P的坐标为________．
4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋1
3
OB→＋
1
3
OC→，则x的值为
________．
5.设两条直线所成角为θ(θ为锐角)，则直线方向向量的夹角与θ( )
A．相等B．互补
C．互余D．相等或互补
6.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，若AB→⊥
AC →
，则λ等于( )
A ．28
B ．－28
C ．14
D ．－14
7.l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ等
于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.已知两异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，若cos 〈v 1，v 2〉＝－12
，则l 1与l 2所成角为________．
9.若AB →
＝λCD →
＋μCE →
(λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 10.已知A (2，1，0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1，2)，求点B 的坐标．
11.已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝
6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
12.正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角
线E 1D 与BC 1所成的角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
13.已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1，3)，且过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，
则y ＝________，z ＝________．
14.已知正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点，求证：BO 1∥平面ACD 1.
【巩固训练】
1.若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作平面α法向量的是()
A．(0，－3，1)B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
2.若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与平面β的关系是()
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．无法判断
3.平面α，β的法向量分别为m＝(1，2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．
4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________．
【巩固训练】
1.若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则()
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2.已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为()
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
3.
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是()
A.BC →
B.A 1B 1→
C.BB 1→
D.BD →
4.已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，1
2，2，则m ＝________．
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，则AE →与平面A 1D 1F 的
关系为________．
6.
如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，
求平面SCD 的一个法向量．
7.已知平面α过点A (1，－1，2)，法向量为n ＝(2，－1，2)，则下列点在α内的是( ) A ．(2，3，3) B ．(3，－3，4) C ．(－1，1，0) D ．(－2，0，1) 8.(2012·杭州高二检测)直角三角形ABC 的直角边AB 在平面α内，其中∠B 为直角，顶点C 在α外，且C 在α内的射影为C 1(C 1不在AB 上)，则△ABC 1是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上都有可能 9.
如图所示，已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．
10.在四棱锥P -ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，∠PBA ＝60°，底面ABCD 是直角梯
形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝1
2
AD .
求证：平面PCD ⊥平面P AC .
【课堂回顾】
1．了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理.
2．理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算. 【课后作业】
1.平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．120°
2.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )
A ．120°
B ．60°
C ．30°
D ．以上均错
3.若平面α的一个法向量为n ＝(3，3，0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1，1，1)，则l 与α所成角的余弦值为________．
4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值为________．
5.直线l 与平面α所成角为π
6
，直线m 在平面α内且与直线l 异面，则直线l 与m 所成
角取值范围为( )
A ．[π6，π2]
B ．[0，π6]
C ．[π3，π2]
D ．[π6，56π]
6.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
7.AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0，2，1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角为________．
9.已知空间四边形ABCD 各边和对角线的长都相等，那么AC 与平面BCD 所成角的正弦值为________．
10.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．
11.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )
A.33
B.12
C.66
D.32
12.
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面
ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点，则BD 与平面ADMN 所成
的角θ为()
A．30°B．60°
C．120°D．150°
13.等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成角的大小为________．。