河南省遂平县第二高级中学第二学期高二数学期中考试评讲(通用)

由三垂线定理得AC BO1
（2）
解
：
由
（1）
AC
B
O
，
1
OC
B
O
，
1
知
BO1
平
面
AOC.
设 O C O 1B =E,过 点 E 作 EF A C 于 F， 连 结 O 1F，
则 EF是 O1F在 平 面 AO C 上 的 射 影 ，
由 三 垂 线 定 理 得 O1F AC .
所
以
O
1F
E
是
二
P
E
B
A
O
FC
已知：∠BAC在α内，P，PEAB于E，PFAC于F且PE=PF，PO 求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO） 证明：连接OE，OF
∵PO ∴EO，FO分别为PE，PF在上的射影 ∵PE=PF ∴OE=OF ∵PEAB，PFAC ∴OEAB，OFAC(三垂线定理的逆定理 ) ∴O到∠BAC两边距离相等 ∴O在∠BAC的平分线上
选A
2 、 设 m ,n 是 两 条 不 同 的 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ，
考 查 下 列 命 题 ， 其 中 正 确 的 命 题 是 （ ）
（A）m,n,mn （B）//,m,n//mn （C）,m,n//mn （D）, m,nmn
选B
3 、 给 出 下 列 命 题 ：
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
面
角
O－
AC－
O
的
1
大
小
是
arcsin
13 4
20、 如 图 ， 在 三 棱 锥 P － A B C 中 ， P A 底 面 A B C ， P A = A B ＝ B C ＝ 2， A B B C ， 点 M 为 棱 P C 的 中 点 . （ 1） 求 证 ： 点 P 、 A 、 B 、 C 在 同 一 球 面 上 ； （ 2） 求 异 面 直 线 P B 与 A C 所 成 角 的 大 小 .
3
（A） （B） （C） （D）2
4
3
2
3
选C
读出基本图：教材P31页例3，P34页习题11
选A 7、如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，
高为4，过AB作一截面交侧棱CC1于点P，截面与底面 A1
C1 B1
成600角，则截面PAB的面积是（ ）
P
（A） 2 3 （B） 3 2 （C）2 3 （D） 3 3
3
2
读出基本图：教材P56习题3
C
A
B
8、在正四面体P－ABC中，D、E、F分别
P
是AB、BC、CA的中点，
下面四个结论中不成立的是（ ）
（A）BC//平面PDF （B）DF 平面PAE （C）平面PDF 平面ABC （D）平面PAE 平面ABC.
C
选C F
E
A
B D
9、 在 正 三 棱 柱 ABC－ A1B1C1中 ， 若 AB＝ 2， AA1＝ 1，
P
EB O
FC
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜 线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线 在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
18、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是棱AB与BC的中点.
（1）求二面角B－FB1－E的大小
（2）求点D到平面B1EF的距离
D1
C1
则 点 A到 平 面 A1BC的 距 离 为 （ ）
A1
B1
（ A）3 （ B）3 （ C） 33 （ D） 3
4
2
4
选B
读出基本图：教材P52页习题3
C
A B
1 0 、 已 知 各 顶 点 都 在 一 个 球 面 上 的 正 四 棱 柱 高 为 4 , 体 积 为 1 6 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）
P
D
A
C
B
（1）证明： D是PA的中点，
过点D在平面PAC内作DE// PC,交AC于点E，则E为AC的中点.
PC AC,DE AC
ABC是正三角形，E为AC的中点，
BE AC.BED为二面角PACB的平面角，
即BED1200
D
AC PC, AC DE,AC 平面BDE.
BD平面BDE,AC BD
2
2
D
14、 在 棱 长 为 1的 正 方 体 A BCD － A 1B1C1D 1中 ，
E、 F分 别 为 A B、 BC的 中 点 ， 则 异 面 直 线 D D A
与 EF的 距 离 为 ＿ ＿ ＿
D1
32
A1
4
D
A
E
C1 B1
C B
C1 B1
C F B
15、长方体ABCD－A1B1C1D1内盛有一半的水，密封后将底面ABCD放在水平桌面上， 然后将该长方体绕BC慢慢转动使之倾斜.在此过程中，有下列四种说法：
（ 1）棱AD始终与水面平行
（ 2）长方体内有水的部分始终呈直棱柱状； （ 3）水面的面积始终不变；
（ 1） （ 2） （ 4）
（ 4）侧面ABBA与水接触面的面积始终不变.
以上说法中，正确说法的序号是＿＿＿（填出所有正确说法的序号）
一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形 状可以是：①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，其中正确的是 （） A ①②③④⑤ B ②③④⑤ C ②③④ D ③④
17题变式：已知BAC在平面内，点P,PEAB,
PF AC, PO，垂足分别为E, F,O, PE PF.
求证：BAOCAO
证明：PE AB, PF AC, PO， ABOE, ACOF
PEPF,PAPA， RtPAERtAOF AEAF.又 AOAO
A
RtAOERtAOF， BAOCAO
P
提示： （1）可证MPMCMAMB. 故点P、A、B、C在以点M为球心的球面上. （2）将原图恢复为一个正方体，可 立即得到异面直线PB与AC所成的角为600
M C
A
B
21、如图，在三棱锥P－ABC中，ABC是正三角形， PCA＝900，D是PA的中点，二面角P－AC－B为1200， PC=2，AB=2 3 （1）求证：ACBD （2）求BD与底面ABC所成角的正弦值.
（ A ） 1 6 （ B ） 2 0 （ C ） 2 4 （ D ） 3 2
选C
读出基本图：教材P77页习题6
11、在边长为1的菱形ABCD中，ABC＝600， 将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1， 则二面角B－AC－D的余弦值为（ ）
（A）1 （B）1 （C）2 2 （D）3
选B （ A ） 3 0 0 （ B ） 6 0 0 （ C ） 9 0 0 （ D ） 1 2 0 0
读出基本图：教材P46页习题6
6、已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，
A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两
4
点的球面距离是，则二面角B－OA－C的大小是（ ）
选C
（ 1 ） 若 a ,b ,c,a 、 b 是 异 面 直 线 ， 则 c至 多 与 a 、 b 中 的 一 条 相 交 .
（ 2 ） 若 a 与 b 是 异 面 直 线 ， b 与 c是 异 面 直 线 , 则 a 与 c是 异 面 直 线 ；
（ 3 ） 一 定 存 在 平 面 同 时 和 异 面 直 线 a 、 b 都 平 行 . 其 中 正 确 的 命 题 为 （ ）
A
B C
三 、 解 答 题
1 7 、 求 证 ： 如 图 所 示 ， 如 果 一 个 角 所 在 平 面 外 一 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 ， 那 么 这 点 在 平 面 内 的 射 影 在 这 个 角 的 平 分 线 上 . 请 根 据 右 下 边 的 图 形 ，
写 出 已 知 、 求 证 ， 并 证 明 .
（1）证明，由题设知OA OO1，OB OO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角.
即OA OB.从而AO OBCO1 OC是AC在平面OBCO1上的射影.
OB tan OO1B OO1
3，tan O1OC
O1C OO1
3 3
OO1B=600， O1OC=300，从而OC BO1
C1
A1
B1
D
C
A
E
F B
解 ： （ 1） E B平 面 B B 1C 1C ， 过 B 作 B GB 1F， D1
垂 足 为 G ， 连 E G ， 由 三 垂 线 定 理 知 E GB 1F.
B G E 为 二 面 角 B － FB 1 － E 的 平 面 角 .
A1
在 RtB1BF中 ， 由 等 面 积 法 可 得 BG
面
角
O
－
A
C
－
O
的
1
平
面
角
.
由
题
设
知
O
A
＝
3
，
O
O
＝
1
3， O 1C ＝1
所 以 O1A ＝
O
A
2
O
O
2＝
1
2
3， A C ＝
O 1A 2 O 1C 2＝
13
从
而
O 1F ＝
O 1A O 1C AC
＝
2
3 13
.又
O 1E＝
OO1
sin
300
3 2
sin
O1FE=
O 1E O 1F
13 4
即
DH
B1H
3
2a ,DHO 4
B1HB
RtB1BH RtDOH,DO BB1 a.
即点D到平面EB1F的距离为a.
19、 （ 05年 高 考 湖 南 理 17文 18） 如 图 ， 已 知 ABCD是 上 、 下 底
边 长 分 别 为 2和 6， 高 为3的 等 腰 梯 形 .将 它 沿 对 称 轴 OO1折 成 直 二 面 角 ， 如 图 . （ 1） 证 明 ： ACBO （ 2） 求 二 面 角 O－ AC－ O1的 大 小 .
5 a. 5
a
在 R t E B G 中 ,tan B G E 2 5 5a 2 5
B G E arctan 5 2
D
A
E
即
二
面
角
B
－
F
B
－
1
E的
大
小
为
arctan
5 2
（ 或 写 成 arccos 2 ) 3
说明：本题亦可用面积射影法解决
C1
B1
G C
F H
B
解（2）容易证得EF 平面BB1D1D，因为EF 平面EB1F 平面EB1F 平面BB1D1D，且平面EB1F 平面BB1D1D=B1H. 过点D作DO B1E，垂足为O，则DO 平面EB1F， DO的长即为点D到平面EB1F的距离. 在RtB1BH和RtDOH中，
3
2
3
2
选A
D
D
C
C
A
A
B
B
读出基本图：教材P86页A10
1 2 、 已 知 二 面 角 l 的 平 面 角 为 ， P A ， P B ，
A 、 B 为 垂 足 ， 且 P A ＝ 4 ， P B ＝ 5 ， 设 A 、 B 到 棱 l的 距 离 分
别 为 x 、 y .当 变 化 时 ， 点 （ x 、 y ） 的 轨 迹 是 下 列 图 形 中 的 （ ）
ｙ ３
ｏ
Ａ
ｙ ｏ ３
Ｂ．
ｙ
３
ｘ
ｏ
Ｃ．
ｙ
ｘ
ｏ ３
ｘ
Ｄ．
选D
读出基本图：教材P86页A10，B2
二、填空题
D1
1 3 、 如 图 所 示 ， 正 方 体 A B C D － A 1 B 1 C 1 D 1 的 棱 长 为 1 ，
E 是 A 1 B 1 的 中 点 ， 则 E 到 平 面 A B C 1 D 1 的 距 离 为 A1 E
（ A ） （ 1 ） （ B ） （ 2 ） （ C ） （ 3 ） （ D ） （ 1 ） （ 3 ）
4 、 P 为 A B C 所 在 平 面 外 一 点 ， P A 、 P B 、 P C
与 平 面 A B C 所 成 的 角 均 相 等 ， 若 P A 与 B C 垂 直 ，
那 么 ， A B C 一 定 是 （ ）
1 6 、 如 图 所 示 ， 已 知 直 角 三 角 形 P A B 的 直 角 边 A B 在 平 面 内 ， 直 角 边 P B ， C 是 平 面 内 异 于 A 和 B 的 动 点 ， 且 P C A C ， P 那 么 动 点 C 在 平 面 上 的 轨 迹 是 ＿ ＿ ＿
以 A B 为 直 径 的 圆
河南省遂平县第二高级中学
2006-2007学年度第二 学期
期中考试数学 卷评讲
一、选择题
1 、 若 空 间 中 有 四 个 点 ， 则 “ 这 四 个 点 中 有 三 点 在 同 一 条 直 线 上 ” 是 “ 这 四 个 点 在 同 一 平 面 上 ” 的 （ ）
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件.
（ A ） 直 角 三 角 形 ； （ B ） 正 三 角 形 （ C ） 等 腰 直 角 三 角 形 ； （ D ） 等 腰 三 角 形
选D
5 、 已 知 二 面 角 l 的 大 小 为 6 0 0 ， m 、 n 为 异 面 直 线 . 且 m ， n ， 则 m 、 n 所 成 的 角 为 （ ）