人教版初中数学向量的线性运算易错题汇编附答案

人教版初中数学向量的线性运算易错题汇编附答案
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜
【答案】A 【解析】 【分析】
对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；
当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】
解：若两向量共线，则由于是非零向量，且
，则必有
；代入可知
只有A 、C 满足；
若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令，
，则
，
∴
且
；
又BA+BC>AC ∴
∴.
故选A. 【点睛】
本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.
3．计算45a a -+r r
的结果是（ ）
A ．a
B ．a r
C ．a -
D ．a -r
【答案】B 【解析】 【分析】
按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a v v v ,
所以答案为B 选项 【点睛】
本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
4．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b
r r 、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r
r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2
∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，
1AE a b 2
∴=+u u u r r r ，
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
5．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u r u u u r
B ．+＝+
C ．如果非零向量a b(0)k k
=坠r r
，那么a r 与b r
平行或共线
D ．AB BA 0+=u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r
可判断D 错误 【详解】
A 、如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；
B 、a b b a +=+r r r r
，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r
平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB BA +=u u u r u u u r r
，故此选项错误；
故选：D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
6．下列命题：
①若a b r r =，b c =r r ，则c a =r r ； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r ；
③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ； ④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r
=0．
其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】
①若a b =r r
，b c =r
r
，则c a =r r
，正确；
②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r
，正确；
③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相
反；
④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0，正确． 综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．
7．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘
C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
8．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；
③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D. 【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
10．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r
为（ ）
A ．3a e =v v
B ．3a e =-v v
C ．3e a =v v
D ．3e a =-v v
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义解答即可． 【详解】
解：∵向量e r
为单位向量，向量a r
与向量e r
方向相反， ∴3a e r r
=-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r
，那么下列说法中，错误的是
（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．72
BD =
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】
解：已知2a c v v
＝，2b c -v
v
＝，故a b v
v ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
12．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ， ∴BC b =u u u r r
，
∵AB a =u u u r
r
，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ． 故选B ．
13．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）
A ．AC u u u r 与BD u u u r
是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r
是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r
是相等向量
【答案】B 【解析】 【分析】
由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而
证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，
∴AC BD =-u u u r u u u r
，该选项错误；
B 、∵点
C 、
D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r
是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，
∴AD u u u r 与BD u u u r
不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，
∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；
故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．
14．下列说法不正确的是( ) A ．设e r
为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，那么这个四边形一定是平行四
边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设e r
为单位向量，那么||1e =r
，此选项说法正确；
B. 已知a r
、b r
、c r 都是非零向量，如果2a c =r r
，4b c =-r
r ，那么//a b r
r
，此选项说法正确；
C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，即AD=BC ，不能判定这个四边
形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
15．已知c r 为非零向量， 3a c =r r ， 2b c =-r r
，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．//a b r r
B ．3||||2
a b =r r C ．a r 与b r 方向相同 D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】 ∵ 3a c =r r ， 2b c =-r r
∴3a b 2
=-r r ，
∴a r ∥b r ，32
a b =-r r
a r 与
b r
方向相反，
∴A ，B ，D 正确，C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34
a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
17．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ） A ．a r
∥b r
，并且a r 和b r
方向一致
B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r
方向相反
C ．a r 和b r
方向互相垂直
D ．a r 和b r
之间夹角的正切值为5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r
，
∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
18．已知非零向量a r 、b r 和c r
，下列条件中，不能判定a b r r P 的是（ ）
A ．2a b =-r r
B ．a c =r r ，3b c =r r
C ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r r
r D ．2a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】
A 、2a b =-r r
，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r
不一定平
行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
19．若a v ＝2e v ，向量b v 和向量a v 方向相反，且|b v |＝2|a v
|，则下列结论中不正确的是
（ ） A ．|a v
|＝2 B ．|b v
|＝4
C ．b v
＝4e v
D ．a v
＝12
b v -
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v
＝﹣4e v
，由此对选项进行判断．
【详解】
A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．
B 、由b v ＝-4e v
推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．
C 、依题意得：b v ＝﹣4e v
，故本选项符合题意．
D 、依题意得：a v
＝-12
b v
，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】
考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
20．下列各式正确的是（ ）．
A ．()
22a b c a b c ++=++r r r r r r
B ．()()
330a b b a ++-=r
r r r
C ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u r
D ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】
A 、()222a b c a b c ++=++r r r r r
r ，故A 选项错误；
B 、()(
)
3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r r
r r r r ，故B 选项错误；
C 、0AB BA +=uu u r uu r r
，故C 选项错误；
D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；
故选D.
【点睛】
本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。