高二数学高效课堂资料3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(2)

OADB─CFEG 的对角线,点 M 是△ABC 的重心.
求证:点 M 在直线 OE 上.
G
E
分析:
C
F
证三点共线可 尝试用向量来分析.
B M
D
O
O
A
基础训练
4:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
[例1] 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1
中, M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线
AM与CN所成的角为( )
3
10
A. arccos B. arccos
2
10
A1
3
2
C. arccos D. arccos
5
5
（1,0,0） A
z
D1
C1
M
（1,1/2,1) B1
D N （0，1,0）
P99例3（垂直） P100例4（求角 ）
基础训练
2.如图所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1底面
是菱形，且C1CB C1CD BCD 600
求证：(1）CC1

BD;(2)当 CD CC1
的值为多少时，
能使A1C 平面C1BD,并加以证明。
基础训练
CD
解：设CC1为1个单位，CC1
1
1
(3) 求证A B C M .
1
1
C
B
A
x
y
解：以C为原点，CA、CB、CC 所在直线为x、y、z轴建立
1
如图空间直角坐标系O xyz.
(1) 依题意得B(0,1,0), N(1,0,1),
BN (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 3.
(2) 依题意有A (1,0,2), B(0,1,0),C(0,0,0), B (0,1,2),
2
22
AC c a
B
C
A
例4.如图,直三棱柱ABC A B C , 底面ABC中, 111
CA CB 1,BCA 90,棱AA 2, M、N分别
是A B、A A的中点.
11
1
1
z C1
B1
A1
M
(1) 求BN的长；
(2) 求cos BA CB 的值；
N
1
1
BA (1,1,2),CB (0,1,2), BA CB 3,
1
1
1
1
BA 6, CB 5..
z C1
B1
1
1
BA CB 1
A1
M
cos BA CB 1 1 30.
1 1 BA CB 10
1
1
N
(3) 依题意得C (0,0,2), M(1 , 1 ,2),

a
，则CD=CB=a，设∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
则 BD CD CB
(1)CC1 BD CC1 CD CC1 CB
a cos a cos 0∴C1C⊥BD；
基础训练
3: 已 知 OE 是 以 OA、OB 、OC 为 棱 的 平 行 六 面 体
或求两条直线所成的角: 6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M
共面的充要条件
(1,1,1/2)
C
y
B
x
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA=1,OB=2,OC=3 AOB=BOC=600 ,COA=900 ,M、N分别是棱OA、BC的中点
求：直线MN与AC所成的角
证明：设OA a,OB b,OC c,
O
直线MN与AC所成的角为，则
MN ON OM 1 (b c) 1 a 1 (b c a),
（1）线线成角与向量夹角的关系
设直线l 和l 的方向向量分别为v 和v ， Nhomakorabea1
2
1
2
直线
与
1
2
所成的角为
（锐角）


v1, v2

或


ur
uvr1 , v2

cos q =| cos < v1,v2 >|
（2）线线垂直与向量的关系
1 2 v1 v2 v1 v2 0
∴ OP OA m(OB OA) n(OC OA) ∴ OP (1 m n)OA mOB nOC
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内, 且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
得证.
为什么?
如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
小结：
1.直线的向量方程: 2.用向量方法证明直线与直线平行:
3.用向量方法证明直线与平面平行: 4.用向量方法证明平面与平面平行: 5.用向量运算证明两条直线垂直
证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC 可变形为 OP (1 y z)OA yOB zOC ,
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性
∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP m AB nAC
C
B
1
22
A x
y
11
A B (1,1,2),C M ( , ,0)
1
1
22
A B C M 1 1 0 0，
1
1
22
AB C M.
1
1
基础训练
解题反思：（1）用向量法证两直线垂直的步骤是： a)以不共面的三个向量为基底， b)用基底表示欲证的两直线的方向向量， c)验证这两个方向向量的数量积为零。 （2）空间四边形中有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。
高效课堂精品课件
高二数学 市实验中学 数学组
学习目标 1.会用向量法证线线垂直、求线线角 2.会用向量法求线线角
3. 掌握向量法解决问题的常用两种方法：
坐标法和基底法
基础知识 6.用向量运算证明两条直线垂直或求两
条直线所成的角:
锐角
图示：
1
v1
锐角
1
v1
v1
v1
垂直
2
2
v1
1
v1
锐角
钝角 2
总结：用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
思考： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?