泉州市2006届高中毕业班质量检查数学(理科)试题

泉州市2006届高中毕业班质量检查
数学（理科）试题
一 选择题：（本题共有12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，
只有一项是正确的，把正确的代号填在答题卡指定位置上）
1、1
32lim 22
+∞→x x x 的值是
A.0
B. 不存在
C. 1 D 3
2 2、()y x P ,是0
300角终边上异于原点的一点, 则
x
y
的值为 A.3 B. －3 C. 33 D. －3
3
3、若点复数i z i z -==1,21，则12z z z =∙在复平面内的对应点位于 A ．第四象限 B ．第三象限 C ． 第二象限 D ．第一象限
4、若a < b < 0，则下列不等式不能成立的是
A ．b a 1
1> B ．2a > 2b C ．| a | > | b | > 0
D ．(
21)a > (2
1)b
5、
A. P 1及E ξ无法计算
B.14=0=
3P E ξ， C. 114==63
P E ξ， D. 1
13
==62
P E ξ， 6、已知直线l 、m ，平面α、β，且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题： ①若α//β，则m l ⊥ ②若m l ⊥，则α//β ③若βα⊥，则l //m ④若l //m ，则βα⊥ 其中正确命题的序号是 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．③④
7、与直线05y 4x 3=++的方向向量共线的一个单位向量是
A. )4,3(
B. )3,4(-
C. )54,53(
D. )5
3,54(- 8、 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是
3
1
，乙解出这个问题的概率是
1
2
，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是 A ．16 B ．56 C ．23 D ．3
1
9、函数x x y cos tan ∙=(0≤x ＜23π，且x ≠2
π
)的图象是
10、条件:11p x +>，条件131
:>-x
q ，则q ⌝是p ⌝的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
11．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m)=1.06(O.5·[m]+1)(元)决定，其中m > O ，[m]是大于或等于m 的最小整数，(如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为
A ．3.71元
B ．3.97元
C ．4.24元
D ．4.77元
12. 如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，
3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则21
S 等于
A ．229
B ．283
C ．361
D ．374
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在答题卡对应题号的横线上
13、某学校共有学生4500名，其中初中生1500名，高中生3000名，用分层抽样法抽取一
个容量为300的样本，那么初中生应抽取 名． 14、设圆x 2 + y 2 – 4x – 5 = 0的弦AB 的中点为（3，1），则直线AB 的方程是______． 15、若点P 是棱长为3的正四面体内的任意一点，则它到这个四面体各面的距离之和
为 ． 16.如图，质点P 从点A 起在圆2
2
2
x y r +=上逆时针做匀角速度运动，角速度为1 r a d/s, 那
么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为___________.
1 …
三 解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤
17、（本小题满分12分）已知向量
),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==]2
,2[),2cos ,2sin (π
π-∈-=x x x c 且
（Ⅰ）求||b a +;
（Ⅱ）求函数f (x )=的||2++⋅单调增区间.
18、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 及等比数列{}n b ，其中11=b ，公比q < 0, 且
数列{}n n b a +的前三项分别为2、1、4. （Ⅰ）求n a 及q ；
（Ⅱ）记数列{}n a 及{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，求满足n n T S 100≤的n 的最大值. 19、（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为线段A 1C 1上一点，BC 1//平面AB 1D.
（Ⅰ）求证：D 为A 1C 1中点；
（Ⅱ）若AA 1＝3，试确定线段AB 的长度，使得二面角A －B 1D －A 1的大小恰为0
60；
D C
20、（本小题满分12分）如图，在平直河岸l 的同一侧有两个缺水的居民区A 、B ，已知A 、B 到河岸的距离AD ＝1千米，BC ＝2千米，A 、B 之间的距离AB ＝2千米.欲在河岸l 上建一个抽水站，使得两居民区都能解决供水问题.
（Ⅰ）在河岸l 上选取一点P 建一个抽水站，从P 分别铺设．．．．水管至居民区A 、B ，问点P 应在什么位置，铺设水管的总长度最小？并求这个最小值； （Ⅱ）从实际施的结果来看，工作人员将水管铺设至．．．居民区A 、B ，且所铺设的水管总长度比（Ⅰ）中的最小值更小，你知道工作人员如何铺设水管吗（指出铺设线路，不必证明）？
并算出实际铺设水管的总长度.
21、（本小题满分12分）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0
右焦点为F ，过点M （1，0）且斜率为1的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，并且4FA FB ∙=。

（Ⅰ）求双曲线方程C ；
（Ⅱ）过（Ⅰ）中双曲线C 的右焦点F ，引直线交双曲线右支于P 、Q 两点，设P 、Q 两点在双曲线右准线的射影分别为点C 、D ，右准线与x 轴交于E 点，线段EF 的中点为M ，求证： P 、M 、D 三点共线。

22. （本小题满分14分）
已知3()x f x x ax ==-的一个极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若数列111
{}(),10.3
n n n a a f a a +=-
-<<满足：且试问a n+1与a n 的大小关系是否确定？若是，请加以证明；若不是，说明理由.
解答
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、D
2、B.
3、B
4、B
5、C
6、B ．
7、D.
8、C
9、C 10、B 11． C12. C 二、填空题
13、100 14、x + y – 4 = 0 15、6 16、r|sint|
17．解：（1）
x x x x x 2
22c o s 22c o s 22)2
s i n 23(s i n )23c o s 23(c o s ||=+=-++=+
x x x c o s 2||,0c o s ],2
,2[=+∴>∴-
∈π
π ………………………………6分 （2）x x
x x x x x sin )2
23sin(2cos 23sin )2sin (23cos =-=⋅+-⋅=⋅
∴)4
sin(22cos 2sin 2||2π
+
=+=++⋅x x x b a c a ……………………..……9分
其中
上为增函数，，－在区间则令⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈+=-
∈,24sin ,43,4,4],2,2[ππππππ
πu y u x u x 由⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈-
∈4,2],2,4[πππ
πx u 得故)4sin(π+x 的增区间为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡,42ππ，－ 即函数的||2++⋅单调增区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡,42ππ，－.……………………..……12分 18 (1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
4,1,2332211=+=+=+b a b a b a
4
21,212111=++=++=+∴q d a q d a a …………………………………….3分
解得：q q a ，
或31,11-==< 0 , 1-=∴q n n d n a a n =-+=-+∴)1(1)1(1＝…………………………………….6分
（2）n S ＝)1(2
1
2)1(1+=-+
n n d n n na 2
)1(1)1(1)1(11)1(1n
n n n q q b T --=----=--=
当n 为偶数时，n T ＝0，此时满足n n T S 100≤的n 不存在；………………………9分 当n 为奇数时，n T ＝1，由n n T S 100≤有
,100)1(2
1
≤+n n 解得
2
801
12
801
1+
-≤
≤-
-n ，又,...;2,1=n 故n 的最大值为13. 12分
19、（1）证明：连A 1B 交AB 1于点E ， 四边形A 1ABB 1为矩形，∴ E 为AB 1的中点….2分
BC 1//平面AB 1D ，BC 1⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1 平面AB 1D ＝DE ，∴BC 1//DE.…5分
在三角形A 1BC 1中，E 为AB 1的中点，故D 为线段A 1C 1中点. ………………………….6分 （2）法一、在正三角形A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥平面A 1ACC 1，又AD ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D ⊥AD ，DA A 1∠∴即为二面角A －B 1D －A 1的平面角，DA A 1∠∴＝0
60.………………………….10分 在
直
角
三
角
形
AA 1D
中
，
AA 1
＝
3
，
22,13
3
360cot 11111===∴=∙
==D A C A AB A A D A ……………………12分. 法二、以点A 为原点，AB 为X 轴正半轴，平面ABC 内过A 垂直于AB 的直线为Y 轴，AA 1为Z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A （0,0，0），A 1（0,0，3），B 1（a ，0，3），D （
)3,43,4a a ，==∴a AB ),3,0,(1)3,2
3,4a ， 设⊥=),,(z y x n 平面AB 1D ，则,1AB n ⊥AD n ⊥，故,01=∙AB n ，,0=∙AD n 则
034
3
4,
030=++=++z ay x a z ax ，得
,3
3
,3ax z x y -
==取
)3
3
,3,1(a n -
………………………….10分 AA 1⊥平面A 1B 1C 1，)3,0,0(1=AA ，
,2
13
3
1
42-=∙+-=
=
a a
解得a=2. …………………………12分
20、解：（Ⅰ）作A 关于l 的对称点A 1，联BA 1交l 于Q ；
Q
D
C
B
A'
E
A
∵点A 、1A 关于l 的对称
∴点P 到A 、B 的距离和等于点P 到1A 、B 的距离和，因此，根据平面几何知识可知，P 在Q 点位置时，铺设水管的总长度最小.过A 作BC 的垂线交BC 于E. AE ＝3，
323321=+=B A ，DQ ：QC ＝1：3，DQ ＝
3
3.
答：抽水站建在离点D 3
3
千米处，铺设水管的总长度最小，此时水管的总长度为千米.
（Ⅱ）依题意，实际铺设水管显然不是从P 分别铺设水管至居民区A 、B ，可以采用先铺至甲地，再从甲地铺到乙地的方法，或先铺至某地，再从某地分别铺设至居民区A 、B 的方法.
通过比较，抽水站选在D 点，水管先从抽水站铺至居民区A ，再从居民区A 铺到居民区B.
铺设水管总长＝1＋2＝3（千米）<.
答：实际铺设水管 A 、B 居民区的供水问题. 21、解：（1）由已知：2
2
2
2
3,2a c a b == -------------1分
直线AB 方程为：1-=x y ，代入得：02122
2
=--+a x x --------2分
221)(12,2221212122121+-=++-=--=-=+a x x x x y y a x x x x --------3分
),3(),,3(),0,3(2211y a x y a x a F -=-=
43)(32122121=+++-=⋅y y a x x a x x 03322=+-∴a a --------5分
16
3:6
,3,32
22
2
=-===∴y x b a a 所以 -------6分
（2）法一：可得焦点F(3,，0),M （2，0）.故设直线为3+=ty x ，代入1632
2=-y x 得 01212)12(22=++-ty y t ，设P(33,y x )，Q(44,y x )
则3434
221212
,2121
t y y y y t t +=-
=----------8分 要证P,M,D 三点共线，只须证DM PM k k =,即可
1203333+=--=
ty y x y k PM ，44
2
10y y k DM -=--= DM PM k k =⇔
1
33
+ty y ＝4y -⇔4433y y ty y --=即
4343y ty y y -=+--------10分
又3434
221212
,2121
t y y y y t t +=-
=-- ∴4343y ty y y -=+∴DM PM k k =∴P,M,D 三点共线--------12分
法二
连接PD ，设PD 与x 轴交于点N, 则
PQ
PF DQ NF =
,又
PQ DQ
PC e NF e PC PF ⋅=
∴=,,--------5分
DP
DN PC
EN =
,
PQ
QF DP
DN =
,PQ
DQ PC e
EN ⋅=∴，--------10分
EN NF =∴,∴N 是线段EF 的中点，所以N ，M,重合，
∴P,M,D 三点共线--------12分 22.解：
3'2(1)
()()()30.3
4.
3f x x ax R x f x x f x x a a =-=∴=
=-==在上可导，且的一个极值点的一个根解得分
3
111112111121111111
(2)14()(4),(1)(1),
6333
10,10,10,
1
(1)()0,.83
(1)(1)0101,1n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n a a f a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++==-=--∴-=-+--<<∴+>-<∴-=-+-<<<∴⇔<⇔+-<⇔-<<>-<由（）得分
当n=1时，
即猜想分
与是确定的或*1'213
13130,
10().
0()340,()(1,0).
100(*).
1110.21034100403410n n k k k k k k a a n N x f x x f x a n N n a n k a a a a a a f x x x ++<∴-<<∈<<=-<∴-<<∈︒=-<<︒=-<<⎧-=-⎪-<<⇒-⋅<-<⎨⎪
=--⎩只需证明注意到，当-1时，在内是减函数分
下面用数学归纳法证明
-1当时，有假设当时，，
则，结合（
）在（，）上是减函数3111141.10.
1101210*.*.
14k n n n n
n n a n k a a n N a a n N a a +++---∴-<<=+-<<︒︒-<<∈<∈（）（）即时，也成立由、可知，（）故（）,
即与的大小关系是确定的分。