上海市顾村中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题及参考答案

上海市顾村中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题及参考答案
一、填空题：（本大题满分54分）本大题有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分。

1．设全集{1,2,3}U =，{1,2}A =，则A =________________。

2．28x
=的解是______________。

3．函数sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的最小正周期为________________。

4．以(1,2)为圆心，1为半径的圆的标准方程为_______________________。

5．已知向量(1,2)a =r
，(,1)b m =-r ，a b ⊥r r ，则m =_______________。

6．已知
1
1x
>，则x 的范围为_____________。

7．函数2log 1
|1|2
y x =++的值域为_______________。

8．已知ABC △的角A 、B 、C 对应边长分别为a 、b 、c ，4a =，5b =，6c =，则
sin A =__________
9．函数2
()2sin 90f x x x ︒
=-+在区间[0,]m 上的值域为[0,1]，则m 的范围是
________________。

10．tan α，cot α是x 的方程2
2
30x kx k -+-=的两实根，锐角α=_______________。

11．当(0,3)x ∈时，
11
21x x
+
-的最小值是________________。

12．已知函数2
()(3)3()f x x a x a x R =-++∈。

若对于任意的实数a ，函数()f x 的图像都不经过点(
)2
2,p p
，则实数p =_____________。

二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上填写答案，选对得5分，否则一律得零分。

13．已知2:log 0p x <，1
:||2
q x <，则p 是q 成立的（）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
14．若函数()1
x
f x x =
-，则下列结论正确的是（）
A ．函数()f x 的图像关于点(1,2)中心对称；
B ．函数()f x 在(,1)-∞上是严格增函数；
C ．函数()f x 的图像上至少存在两点A 、B ，使得直线AB //x 轴；
D ．函数()f x 的图像关于直线y x =对称．
15．若有平面α与β，且l αβ⋂=，αβ⊥，P α∈，P l ∉，则下列命题中的假命题为（
）
A ．过点P 且垂直于α的直线平行于β；
B ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β；
C ．过点P 且垂直于β的直线在α内；
D ．过点P 且垂直于l 的直线在α内．
16．已知a ，b 为非实数，且a b <，则下列命题成立的是（）
A 、2
2
a b
<B 、2
2
ab a b
<C 、
22
11ab a b <D 、b a
a b
<三．解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相
应的编号规定区域内写出必要的步㵵
17．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数33()log f x x a x ⎛
⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
的定义域为A ，值域为B ．（1）当4a =时，求集合A ；
（2）当a =
B ．
18．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数2
()()2
x a
f x x R x +=
∈+．（1）写出函数()y f x =的奇偶性（只写结论，不用写原因）；（2）当0x >时，是否存在实数a ，使()y f x =的图像在函数2
()g x x
=图像的下方，若存在，求a 的取值范围，若不存在，说明理由．
19．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）
在一个水塘里，第一天有1朵荷花开，以后每天荷花的数量都是前一天的2倍，而到第30天的时候，整个荷㙈都开满了荷花（这就是著名的荷花定律）。

荷花引来白鸟鸣，鸟鸣声强级数y （单位:分贝）与声强度数x （瓦/平方米）的关系式为：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥<<=-20,10200,10lg 1012x x x x y （1）这里面有一个有趣的问题，荷花究竟在第几天开满半个水塘呢?（2）如果声强度数是10瓦/平方米，求相应的声强级数
20.（本题16分，第1小题4分，第2小题4分，第，3小题8分）已知()ln f x x x =。

（1）求()f x 的导函数以及驻点。

（2）求平行于5y x =-的切线方程；（3）求()f x 的单调性。

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
己知1F 、2F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，焦距为2c ，过点1F 的直线交椭
圆于P 、Q 两点，22PF c =，114
3
PF QF =。

（1）椭圆经过点(5,0)，(0,4)，求椭圆方程:（2）求1PF ，1QF 的长度（用a ，c 表示）；（3）求该椭圆的离心率。

参考答案
一、填空题1.{}3解析：∵{}321，，=U ，{}2,1=A ，∴{}3=A .
2.3解析：∵3
282==x
，且x
y 2=在R 上单调递增，可得3=x ，∴82=x
的解是3.3.π
解析：由题意可得：函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 24sin π的最小正周期ππ=-=22T .4.()()12122
=-+-y x 解析：由题意可得：圆的标准方程为()()1212
2
=-+-y x .
5.2
解析：由b a ⊥得：02=-=⋅m b a
，解得2=m .
6.()
1,0解析：由
11>x 可得：011>-x ，即01>-x
x ，则()01<-x x ，解得：10<<x .7.[)
∞+，4解析：原式=⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤-<<-≥=+-++1,2221,42
,2121x x x x x x x ，
当2≥x 时，42≥=x y ；当21<<-x 时，4=y ；当1-≤x 时，422≥-=x y ；综上所述：该函数的值域为[)∞+，4.
8.
47解析：由余弦定理可得4
3
6524652cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ，
∴167431cos 1sin 2
2
2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=A A ，又π<<A 0，∴47sin =A .
9.[]
2,1解析：由题意可得：()1290sin 22
2
+-=︒+-=x x x x x f ，开口向上，对称轴
为1=x ，且()()()12001===f f f ，，若函数()x f 在区间[]m ,0上的值域为[]1,0，则21≤≤m ，∴m 的范围是[]2,1.10.
4
π
解析：由题知，k =+ααcot tan ，13cot tan 2
=-=⋅k αα，
则2±=k ，解得1cot tan ±==αα，∵α是锐角，∴4
πα=
.
11.
22
3
+解析：∵()1,0∈x ，
()x
x x x x x x x x x x x x x +-
+⋅=-+⋅=-+-=-+2
2112
1
12112211121，
其中()()()1
1211111112111112
2+-
++-+-=+++-+-+-+=+-+x x x x x x x x x x x x x ()()2231
2
1231213-=+⋅
+-≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+++-=x x x x ，当且仅当1
2
1+=
+x x 时，即12-=x 时等号成立，此时22322232231211121min
2+=+=-⨯=⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅x x x
x x .即
x
x -+
11
21的最小值是223+.12.2
3解析：把()
2,2p p 代入函数()()()R x a x a x x f ∈++-=332，
得()a p a p p 32342
2
+⋅+-=，
∵对于任意的实数a ，函数()x f 的图象都不经过点(
)2
,2p p ，
∴023=-p ，解得：2
3=p .二、选择题
13.D 解析：对于p ：1log 0log 22=<x ，等价于p ：10<<x ；对于q ：21<
x ，等价于q ：2
121<<-x ；∴p 是q 的既不充分又不必要条件.14.D 解析：∵()1
1
11-+
=-=
x x x x f ，可知其定义域为{}1≠x x ，函数()x f 的图象是由x
y 1
=向右平移1个单位分，再向上平移1个单位得到，如图所示，
对于选项A：
∵()()211112112=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-++⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+
=+-x x x f x f ，
∴函数()x f 的图象关于点()1,1中心对称，故A 错误；
对于B：∵1-=x y 在()1，∞-上是严格增函数，则1
1
-=x y 在()1，∞-上是严格减函数，∴函数()x f 在()1，∞-上是严格减函数，故B 错误；
对于C：由图象可知：当1<x 时，()x f 是严格减函数，且()1<x f ，当1>x ，()x f 是严格减函数，且()1>x f ，即定义域内不存在21,x x ，使得()()21x f x f =成立，
∴函数()x f 的图象上不存在两点B A ,，使得直线x AB ∥轴，故C 错误；对于D：假设()y x P ,在函数()x f y =上，则1
-=x x y ，则()y x P ,关于x y =对称的点()x y P ,'，由1-=
x x
y 整理得1
-=y y x ，可知()x y P ,'也在函数()x f y =上，∴函数()x f 的图象关于x y =对称，故D 正确.15.D 解析：A 中：在平面β内作直线l m ⊥，则由面面垂直性质定理可知α⊥m ，则过点P 且垂直于α的直线一定平行于直线m ，故A 正确；B 中：由题意和面面垂直的判定定理知，选项B 正确；C 中，由题意和面面垂直的性质定理知，选项C 正确；
D 中，过点P 且垂直于l 的直线有可能在平面α内，也可能与平面α相交，D 不正确.16.C 解析：若0<<b a ，则2
2
b a >，A 不成立；若220
ab b a b
a a
b <⇒⎩⎨⎧<>，B 不成立；
若21==b a ，，则b
a
a b b a a b >⇒==2122，，∴D 不成立，故选C.三、解答题
17.解：（1）当4=a 时，()⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+=43log 3x x x f ，∴043>-+x x ，若0<x 则不等式无解，∴0>x ，
即0342
>+-x x ，即()()031>--x x ，解得3>x 或1<x ，
∴()()∞+=，，310 A .（2）当3=
a 时，()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=33log 3x x x f ，∴033>-+x x ，
若0<x 则不等式无解，∴0>x ，即0332
>+-
x x ，解得此时不等式恒成立，∴定义域()∞+=，0A ，
又当()∞+∈，0x 时323
≥+x
x 恒成立，当且仅当3=x 时等号成立，∴333≥-+
x x ，∴213log 33log 33=≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ，∴⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞=,21B .
18.解：（1）∵()x f y =的定义域为R ，关于原点对称.当0=a 时，()22
+=
x x
x f ，则()()()x f x x x x x f -=+-=+--=-2
222，此时，函数()x f y =是奇函数；当0≠a 时，()22++=
x a
x x f ，()()22
2
2+-=+-+-=-x x a x a x x f ，则()()x f x f ≠-，()()x f x f -≠-，此时函数()x f y =是非奇非偶函数.（2）若()x f y =的图象在函数()x
x g 2
=图象的下方，则
x
x a x 222
<++，化简得x x a +<4
恒成立，当0>x 时，由基本不等式得4424=⋅≥+x x
x x ，当且仅当2=x 时，等号成立.∴4<a ，
因此当4<a 时，函数()x f y =的图象都在函数()x
x g 2
=图象的下方.19.解：（1）设第n 天水塘中的荷花朵数为n a ，则1
2-=n n a ，
到第30天的时候，整个荷塘都开满了荷花，则有
122
1212
2213030
29
23021-=--=++++=+++ a a a ，若荷花在第k 天开满半个水塘，则有
()
122
11221212
221301
221-≥-=--=++++=+++-k k k k a a a ，
即2
1
2
229
+
≥k ，解得：30≥k ，∴荷花在第30天开满半个水塘.（2）声强度数是10瓦/平方米，则200,10
lg
1012
<<=-x x
y ，∴声强级数1301010
lg
1012
==-y （分贝）.20.解：（1）∵()x x x f ln =，∴()x x f ln 1+='，令()0='x f ，即0ln 1=+x ，解得e x 1=
，∴函数()x f 的驻点为e
1
.（2）由5-=x y ，切线的斜率1=k ，设切点坐标为()00,y x ，则()10='x f ，解得10=x ，则0ln 000==x x y ，切点坐标为()0,1，∴切线方程为1-=x y .（3）由()()+∞∈+=',0ln 1x x x f ，，令()0>'x f ，解得e x 1>
，令()0<'x f ，解得e
x 1
0<<，∴函数()x f 在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
e
上单调递增.
21.解：（1）由椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x C ：，
当椭圆经过()()4,00,5，时，可得4,5==b a ，∴椭圆的方程为116252
2=+y x .
（2）∵椭圆()012222>>=+b a b
y a x C ：，且11234
2QF PF c PF ==，
，且()2
34311c a PF QF -=
=
.（3）由c a PF c PF 22212-==，，且()2
31c a QF -=，
可得2
3212c
a QF a QF +=
-=，在等腰21F PF ∆中，可得c
c
a F F PF F PF 221cos 211
21-=
=∠，在21F QF ∆中，由余弦定理可得：
()()()
2
222
2
2
2133322
32243494cos c ac a ac c c a c c a c a c F QF -+-=-⨯⨯+-
-+=∠，
∵0cos cos 2121=∠+∠F QF F PF .可得2
2
233322cos c
ac a ac c c c a -+-=-,整理得02972
2
=+-a ac c ，即051272
=+-e e ，解得1=e 或7
5
=e ，又∵10<<e ，∴75=
e ，即椭圆的离心率为7
5
.。