【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第一部分专题四第二讲 点、直线、平面之间的位置关系专题针

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题四第二讲点、直线、平面之间的位置关系专题针对训练
一、选择题
1．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
解析：选D.A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C 符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．
2．(2011年高考四川卷)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：选B.当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥βD．AC⊥β
解析：选D.∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，
∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m，故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，
∴AC⊥m，从而B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α，
∴AB⊄β，l⊂β.
∴AB∥β，故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，
故D不一定成立．
4．设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B. 通过线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面平行、垂直的判定定理和性质定理可得①②③错误，④正确，故选B.
5．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.
③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m，n可能是两条平行直线，此时平面α，
β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.
二、填空题
6．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，
点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
解析：由于在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.
又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面
AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12
AC ＝ 2. 答案： 2
7．设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
解析：将①③④作为条件，可结合长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直，这两个对面互相垂直，故①③④⇒②；对于②③④⇒①，可仿照前面的例子进行说明．
答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
8．如图，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一
点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；
②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .
其中正确命题的序号是________．
解析：∵PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，∴CB ⊥AC ，CB ⊥
PA ，CB ⊥平面PAC .
又AF ⊂平面PAC ，∴CB ⊥AF .
又∵E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，∴AF ⊥PC ，AE ⊥PB ，∴AF ⊥平面PCB ，∴AF ⊥PB ，
故①③正确．∵PB ⊥AE ，∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．
而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错．
答案：①②③
三、解答题
9．如图所示，在正棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ，F 、F 1分别
是AC 、A 1C 1的中点．求证：
(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；
(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
证明：(1)在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，BF ∩C 1F ＝F ，
B 1F 1、AF 1⊂面AB 1F 1，BF 、
C 1F ⊂面C 1BF ，
∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .
(2)在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
AA 1⊥平面A 1B 1C 1，F 1是A 1C 1的中点．
∴B 1F 1⊥AA 1，B 1F 1⊥A 1C 1，
又∵A 1C 1∩AA 1＝A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，
∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
10．如图，在七面体ABCDEFG 中， 平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AB ⊥AC ，ED ⊥DG ，EF ∥DG ，且AC ＝EF ＝1，AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2.
(1)求证：平面BEF ⊥平面DEFG ；
(2)求证：BF ∥平面ACGD ；
(3)求三棱锥A ­BCF 的体积．
解：(1)证明：∵平面ABC ∥平面DEFG ，
平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE .
∴AB ∥DE .∵AB ＝DE ，
∴四边形ADEB 为平行四边形，
∴BE ∥AD .
∵AD ⊥平面DEFG ，∴BE ⊥平面DEFG ，
∵BE ⊂平面BEF ，
∴平面BEF ⊥平面DEFG .
(2)证明：取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，
则有DM ＝12
DG ＝1，又EF ＝1，EF ∥DG ， ∴四边形DEFM 是平行四边形，
∴DE 綊FM ，又∵AB 綊DE ，∴AB 綊FM ，
∴四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM ，
又BF ⊄平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD .
(3)∵平面ABC ∥平面DEFG ，
则F 到平面ABC 的距离为AD .
V A ­BCF ＝V F ­ABC ＝13
·S △ABC ·AD
＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1×2×2＝23. 11．如图，在三棱锥A ­BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6
，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、OB 的中点．
(1)求证：CO ⊥平面AOB ；
(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ？若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB ，
所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ，
即△AOC 与△AOB 为直角三角形．
又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6
，AB ＝AC ＝2， 所以OB ＝OC ＝1.
由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，可知△BOC 为直角三角形．
所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，
所以CO ⊥平面AOB .
(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点．
如图，连接DF ，EF ，因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，所以DE ∥OA . 又DE ⊄平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .
因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，所以EF ∥OC .
又EF ⊄平面AOC ，所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以平面DEF ∥平面AOC .。