2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：24.3__正多边形和圆

24.3__正多边形和圆__[学生用书B46]
1．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于( A )
A ．4
B ．2
C ．2 3
D ．4 3
【解析】 ∵正六边形的中心角为360°÷6＝60°，∴外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径长为4，则正六边形的边长等于4.故选A.
2．如图24－3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D )
A ．弦A
B 的长等于圆内接正六边形的边长
B ．弦A
C 的长等于圆内接正十二边形的边长
C.AC ︵＝BC ︵
D ．∠BAC ＝30°
【解析】 ∵OA ＝AB ＝OB ，
∴△OAB 是等边三角形．
又∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝30°，
∴∠BAC ＝15°，D 不正确．故选D.
图24－3－1 图24－3－2 3．如图24－3－2，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )
A．6 2 mm B．12 mm
C．6 3 mm D．4 3 mm
4．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)
A.
2
2 B.
3
2 C. 2 D. 3
【解析】如答图①，∵OC＝2，∴OD＝1；
第4题答图如答图②，∵OB＝2，∴OE＝2；
如答图③，∵OA＝2，∴OD＝3，
则该三角形的三边分别为1，2，3，
∵12＋(2)2＝(3)2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是1
2×1×2＝
2
2
，故选A.
5．[2018·德阳]已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B)
A．2 B．1 C. 3 D.
3 2
【解析】如答图①，设△ABC的边长为a，易得S
△ABC ＝3
4a
2＝3，
解得a＝2或－2(舍去)，∴BC＝2. ∵∠ACB＝60°，∴∠BCO＝30°，
∵OH ⊥BC ，∴BH ＝12BC ＝1，
在Rt △BOH 中，BO ＝233，∴圆的半径r ＝233.
第5题答图 如答图②，正六边形内接于圆，EF ＝OE ＝OF ＝233，则易得，OD ＝1.∴边心距
为1.
6．如图24－3－3，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝__75°__．
图24－3－3 第6题答图 【解析】 设该正十二边形的外接圆圆心为O ，如答图，连接A 10O 和A 3O .根据
题意知A 3A 1A 10⌒
＝512×⊙O 的周长，∴∠A 3OA 10＝512×360°＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝75°.
7．若正六边形的边长为 4 cm ，那么正六边形的中心角是__60°__，半径是
__4__cm ，边心距是，它的每一个内角都是__120°__．
8．[2018·陕西]如图24－3－4，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为__72°__．
图24－3－4
【解析】 ∵五边形内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴∠ABC ＝∠BAE ＝540°÷5＝108°.
∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝180°－108°2
＝36°， 同理，∠ABE ＝36°，
∴∠AFE ＝∠BAC ＋∠ABE ＝36°＋36°＝72°.
9．[2018·贵阳]如图24－3－5，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB ，BC 上的点，且AM ＝BN ，点O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是__72__度．
图24－3－5 第9题答图
【解析】 如答图，连接OA ，OB ，
∵在正五边形ABCDE 中，O 是中心，
∴OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，又∵AM ＝BN ，
∴△OAM ≌△OBN ，∴∠AOM ＝∠NOB ，
∴∠AOM ＋∠MOB ＝∠NOB ＋∠MOB ，
即∠AOB ＝∠MON ，
∵∠AOB 是正五边形的中心角，
∴∠MON ＝∠AOB ＝360°5＝72°.
10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，进行了如下几个步骤：
(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图24－3－6①；
(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图②.
若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )
① ②
图24－3－6
A ．BD 2＝5－12OD
B ．BD 2＝5＋12
OD C ．BD 2＝5OD D ．BD 2＝52OD
11．[2018·宜宾]刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O
的半径为1，若用⊙O 的外切正六边形的面积来近似估计⊙O 的面积，S ＝__．(结果保留根号)
第11题答图
【解析】 如答图，根据题意可知OH ＝1，∠BOC ＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴BH＝
3 3，
∴S＝12×
3
3×1×
1
2
＝2 3.
12．作图与证明：如图24－3－7，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．
图24－3－7第12题答图
解：(1)如答图，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF 即为所求；
(2)四边形BCEF是矩形．
证明：如答图，连接OE，BF，CE.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC，FE＝BC，
∴AB
︵＝AF︵＝DE︵＝DC︵，∴BF︵＝CE︵，
∴BF＝CE，∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD＝360°
6
＝60°，OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，∴∠OED＝∠ODE＝60°，∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120°，
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，
∴∠CEF＝∠DEF－∠CED＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
13．如图24－3－8，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G.
图24－3－8
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)求证：∠G＝2∠F.
解：(1)图中的等腰三角形有△BCD，△ABF，△FDG，△AEG；
(2)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝∠CDE＝108°，CD＝CB，
∴∠BDC＝36°，∴∠EDB＝108°－36°＝72°，
又∵AF∥CD，∴∠F＝∠BDC＝36°，
∴∠G＝180°－∠EDB－∠F
＝180°－72°－36°＝72°＝2∠F.
14．如图24－3－9，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于点O.
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)判断四边形AODE的形状，并说明理由．
图24－3－9
解：(1)图中的等腰三角形有△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD；
(2)四边形AODE是菱形．理由：
∵AB＝BC，∠ABC＝（5－2）×180°
5
＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝1
2×(180°－108°)＝36°，
同理可得∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ABO＝∠ABC－∠CBD＝72°，
∠AOB＝180°－∠ABO－∠BAC＝72°，
∴AB＝AO，
同理可得DO＝DC，
∴OA＝AE＝ED＝DO，
∴四边形AODE是菱形．
15．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－10)，求证：五边形ABCDE是正五边形．
图24－3－10第15题答图
证明：如答图，连接BE，AD，设纸条的宽度为h，
则S△ABE＝1
2AB·h＝1
2AE·h，∴AB＝AE.
同理可得AB＝BC，BC＝CD，∴AE＝AB＝BC＝CD.
∵纸条的宽度固定，∴AE∥BD，CD∥BE，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.
由折叠的性质，得∠ABD＋∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
AE＝AB＝BC＝CD＝DE，
∴五边形ABCDE是正五边形．
16．[2018·温州]小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图24－3－11①所示，于是他绘制了如图②所示的图形．图②中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5
cm，小正六边形的面积为493
2cm
2，则该圆的半径为__8__cm.
图24－3－11
第16题答图
【解析】如答图，延长PQ至点M，连接OC，OM，OQ，OB，OP，过点P作PH⊥OB于点H，易证△OCQ与△MCQ均为正三角形，
∵小正六边形的面积为493 2
，
∴6×
3
4OC
2＝493
2
，解得OC＝7
33，
∴OM＝3OC＝7，∴OP＝OM＝7，
∵PB＝5，∠PBH＝60°，∴BH＝5
2
，PH＝5
23，
∴OH＝OP2－PH2＝11
2
，∴OB＝OH＋BH＝8.
即该圆的半径为8 cm.。