2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含详细答案

2020-2021备战中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优易错试卷篇含详细
答案
一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343
23y x x =-
-+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；
（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323
y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）
【解析】 【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵22343
23y x x =-+a=233
-
，则抛物线的“衍生直线”的解析式为
2323
y=x+
33
-；
联立两解析式求交点
2
2343
23
2323
y=x+
y x x
⎧
=--+
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
，解得
x=-2
y=23
⎧⎪
⎨
⎪⎩
或
x=1
y=0
⎧
⎨
⎩
，
∴A（-2，23），B（1,0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，
在2
2343
23
33
y x x
=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，
∴C（-3,0），且A（-2，23），
∴AC=22
-++213
3=
（23）（）
由翻折的性质可知AN=AC=13，
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，
∴N在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得
DN=22
AN-AD=13-4=3，
∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ ACK=∠ EFH，
在△ ACK和△ EFH中
ACK=EFH
AKC=EHF
AC=EF
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK=23，
∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴ F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且A（-2，23），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=23，
∴x= -4，y=23-t，
23-t=-23
3
×（-4）+
23
3
，解得t=
43
-
3
，
∴E（-1，43
-
3），F（-4，
103
3
）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43
）、（0，
23
）或E（-1，
43
-），F（-4，103
）
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
2．如图，抛物线y ＝12
x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝
213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （3
2，﹣258
）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣5
4
）． 【解析】 【分析】
（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】
（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112
⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2． y 21322x =
-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （325
2
8
，
-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，213
22
x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三
角形．
（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-
），∴抛物线的对称轴为x
3
2
=．
∵抛物线y1
2
=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x
3
2
=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y2
13
22
x
=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x
3
2
=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：
2
40
b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
2
2
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，∴y
1
2
=x﹣2．
当x
3
2
=时，y
135
2
224
=⨯-=-，∴点M的坐标为（
35
24
-，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2
y ax c
=+的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-350
x 2
+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B 、C 的坐标代入2
y ax c =+，得 6,
0100.c a c =⎧⎨=+⎩
解得3
,650
a c =-
=. ∴抛物线的表达式是2
3650
y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23
56 4.550
N y =-
⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
4．函数()2
110,>02
y x mx x m =-
++≥的图象记为1C ，函数()21
10,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象
记为C .
（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当03
92
y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912
m ≤≤. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；
（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可
（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范围，分三种情形讨论求解即可； 【详解】
解：（Ⅰ）将点()1,1代入1C 的解析式，解得1
m .2
=
（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 令2
m 112
-=，得m 2,=± ∵m>0，∴m 2.=
（Ⅲ）∵抛物线1C 的顶点2m P m,12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点2m Q m,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 当0m 2<≤时，最高点是抛物线G 1的顶点
∴2
03m y 1922
≤=+≤，解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时，G 1中（2，2m-1）是最高点，0y =2m-1 ∴
3
2
≤2m-19≤，解得2m 4.<≤ 当m>4时，G 2中（-4，4m-9）是最高点，0y =4m-9． ∴
32≤4m-99≤，解得94m 2
<≤. 综上所述，9
1m 2
≤≤即为所求. 【点睛】
本题考查二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：
（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
6．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物
线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值；
(3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233
642
y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为3
62y x =-+，则可得点G 的坐
标为3(,6)2m m -+，由此可得2
334
DG m m =-+，再根据
S △BCD =S △CDG +S △BDG =1
2
DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154
和点N 的纵坐标为15
4
-
两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的函数表达式为233
642
y x x =-
++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交
BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =11
26622
OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =
3
4S △AOC ， ∴S △BCD =39
642
⨯=，
设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的函数表达式为3
62
y x =-+， ∴点G 的坐标为3
(,6)2
m m -+， ∴223333
6(6)34224
DG m m m m m =-
++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111
()2222
DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =221
33346242
m m m m -+⨯=-+（）， ∴239
622
m m -
+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，
∵D 点坐标为15(3,
)4
，∴点N 点纵坐标为±154，
当点N 的纵坐标为15
4
时，如点N 2， 此时23315
6424x x -
++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215
(1,
)4
N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为15
4
-时，如点N 3，N 4， 此时23315
6424
x x -
++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-
，415
(114,)4
N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)，
∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，
综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
7．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4， 将B （2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x 2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y 轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1， 即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧）， 由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S △OA′B′=
12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
8．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点
C ，连接AC ，BC ，将OBC V 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接O
D ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式． （3）设OBD V 的面积为S 1，OAC V 的面积为S 2，若
122
3
S S =，求a 的值．
【答案】（1）(0,3)C a -； (2) 抛物线的表达式为：252535
555
y x x =-++
； (3) 22a =-22a =【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD
DQ BQ BD
==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到
122
3S S =，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而2
2
899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，即可求解．
【详解】
（1）抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点
(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ︒∠=∠=，
∴CPD DQB V V ∽，
∴CP PD CD
DQ BQ BD
==，
其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =±， ∵0a <，故5a =-
， 故抛物线的表达式为：252535
555
y x x =-
++
； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
113
22
OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 21
12
OAC
S S m ∆==⨯⨯，而1223S S =，
则29m DM =
，11
299m HN DM OC ==
=， ∴1193BN BO ==，则18
333
ON =-=，
则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，
则2
2899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，
解得：62m =±（舍去负值），
|3|62CO a =-=，
解得：22a =-（不合题意值已舍去），
故：22a =-．当点C 在x 轴下方时，同理可得：22a =；故：22a =-或
22a =
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用
几何方法得出：2
2
899m HN ON BN ⎛⎫
=⨯== ⎪⎝⎭
，是本题解题的关键．
9．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-
=，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222x y -+ =2
333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，223y x x =--+=15
4，此时P
（32
-，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)5
23
a ≤<． 【解析】
【分析】
(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；
(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数
2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数
2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4
代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案. 【详解】
(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值； (2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，
364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，
∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点， 画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象， 可知当4x =时，26330x x a -++≥，
∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53
a ≥
， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时，
a 的取值范围为
5
23
a ≤<． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.
11．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+ AC 中点坐标为33,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
∴AC 的垂直平分线为：y x =- 又∵AB 的垂直平分线为：1x =- ∴1y x x =-⎧⎨
=-⎩ 得1
1x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =-
∴2
123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP 26设Q (m ，-1)(0m ＜) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-. 【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识
点，第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB的解析式
12．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）
（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
13．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线
BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=1
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=1
2
x2+
3
2
x﹣2；（2）9；（3）点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣
1）．
【解析】
（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．
（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF 的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．
考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．
14．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．
（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；
（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使
∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；
（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，
△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．
试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），
把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；
（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），
由题意得：AD=1+1=2，OC=3，
S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，
，解得：，
∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），
∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，
﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，
（m+4）（m﹣5）=0，
m1=﹣4，m2=5（舍），
∴E（﹣4，5）；
（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，
∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，
连接EP，则EP⊥OG，
∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，
∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，
∴，∴m=﹣4，
∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；
如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，
则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，
∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，
∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，
综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．
考点：二次函数的综合题.
15．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；
（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线
轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
图① 图②
【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；
（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；
当m=-时，最大值L=9；
（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】
试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；
（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；
（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）
抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，
,
∴，
所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,
所以，顶点坐标为C（-1,4）．
（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．
因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．
DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．
由题意可知，AO=BO,
∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，
∴DE=EF．
L=4DE=-4m2-12m．
L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．
∵a=-4<0,
∴二次函数有最大值
当m=-时，最大值L=9．
（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．。