2020.11高二数学B期中答案

泉州市高二数学试题（B ）参考★答案★
一、选择题
1—5 BCDAC
6—8 DDB 二、多项选择题
9．BC
10．BCD 11．AC 12．BD 三、填空题
13．0
14．22 15．3± 16．2
四、解答题
17．解：
（1）由题意知，直线1l 的方程为22y x =-+，
即220x y +-=；……………………………2分 设直线2l 的斜率为k ，则43121
k -==-， 所以2l 的方程为31y x -=-，即20x y -+=；…………………………5分 （2）联立20,220,
x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得0,2,x y =⎧⎨=⎩
所以交点坐标为(0,2), ……………………………8分
所以22(00)(20)OP =-+-2= . ……………………………10分
18．解：
（1）建立如图所示空间直角坐标系-O xyz ， (0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,1(0,0,4)A ,1(2,2,4)C ,1(0,2,4)D , 因为|MC 1|＝2|A 1M |，所以11113
=A M AC , 得M (23，23
，4). ………………………2分 又N 为CD 1中点，所以N (1,2,2)，…………………4分 所以2222253(1)(2)(24)33=-+-+-=MN …………………6分 （2）14(,,2)33MN =-，1(2,2,4)BD =-,………………………8分 所以114
28(,,2)(2,2,4)863333
MN BD -=--=+-=-，………………………10分
10MN BD ≠，…………………………11分
所以直线MN 与直线1BD 不垂直. ……………………………12分 19
（1. ……………………………1分 化简，得a －2a ＋1＝0，
解得a ＝1，
所以C (1，－2)，……………………………3分
半径r ＝|AC |＝2，…………………………5分 所以圆C 的方程为(x －1)＋(y ＋2)＝2. ………………………6分 （2）直线l 的方程为y x =-，……………………………7分
设圆心到直线的距离为d ，
则2
=d ，…………………………9分
设弦长为l ，得==l ……………………………11分
所以直线l 被圆C ……………………………12分 20．解：
（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝32，
解得c ＝3，
所以b 2＝a 2－c 2＝1，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1；…………………………4分 （2）设P ，Q 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，…………………………6分 分 所以|PQ|＝1＋k |x 1－x 2|
＝1＋k 2·21212()4x x x x +-
＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4t 2－15
＝425
·5－t 2 ， ……………………………10分 因为205t ≤≤，所以当t ＝0时，|PQ|max ＝4105
. …………………………12分 21．证明：
（1）因为12=BC AD ，且E 为线段AD 的中点，
所以BC=DE ，又因为BC ∥AD ，
所以四边形BCDE 为平行四边形，
所以BE ∥CD ， ……………………………2分
又因为,⊂⊄平面平面CD PCD BE PCD ，
所以BE ∥平面PCD ，
又平面BEGF 平面=PCD GF ,
所以BE ∥GF ，……………………………4分
又⊥BE AD ,且⊥平面平面PAD ABCD ，=平面平面PAD
ABCD AD ,
所以⊥平面BE PAD ，
所以⊥平面GF PAD ，……………………………6分
（2）因为=PA PD ， E 为线段AD 的中点，
所以⊥PE AD ，
又因为⊥平面平面PAD ABCD ，
所以⊥平面PE ABCD ，………………7分
以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向建立如图
所示的空间直角坐标系-E xyz ；
则(0,0,1)P ,(0,1,0)B ,(0,0,0)E ,(1,0,0)-D ,
则(0,1,1)=-PB ,(0,1,0)=-BE ,(1,0,1)=DP , 11(,0,)22
-G ， 所以11(,0,)22
=-EG , ……………………9分 设平面BEGF 的法向量为(..)=n x y z ， 则0,0,BE n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,110,22
=⎧⎪⎨-+=⎪⎩y x z 不妨令2=x ，可得(2,0,2)=n 为平面BEGF 的一个法向量，……………10分
,n PB ⋅=⋅n PB
n PB 2=所以直线PB 与平面BEGF 所成角的正弦值为
2 .……………………………12分 22．解：
（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1,0)．
依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， 因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，
所以|A′P |＝2|OC |.…………………………1分
所以|P A ′|＋|P A |＝2OC ＋2AC ＝2OC ＋2CD ＝2OD ＝4＞|AA ′|＝2，
所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆，………………3分
设其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝4,2
c ＝2，
所以a ＝2，c ＝1，
所以b 2＝a 2－c 2＝3，………………………5分
所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 2
3＝1; …………………6分
（2）设，．
由， 得，………………………7分
依题意， 即，…………………………8分 则，…………………………9分 因为 ,…………………………10分 所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即∠=∠OAP OAQ ． 因为⊥OA PQ ，所以=AP AQ ．…………………………12分
()()22121,1N x y x x ≠≠且()22414
3y k x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩()2222433264120k x k x k +-+-=()()()2
2223244364120Δk k k =--⋅+⋅->2104k <<2
12221223243641243k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
()()()()()
1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦+=+=+=------()()
2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--MF NF
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