直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程

直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程
归纳整理：杜响
1.斜率公式
21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
2.直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
3.两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222
||A B C l l A B C ⇔
=≠；
②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 4.夹角公式
(1)21
21
tan |
|1k k k k α-=+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan ||A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120
A A
B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π
.
5. 1l 到2l 的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120
A A
B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π
.
6．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0
A x
B y
C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是
0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．
83.点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
7. 或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：
若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
8. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或
0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠）
，则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
9. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
10. 圆系方程
(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是
1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=
1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是
待定的系数．
(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是
22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．
(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22
2220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．
11.点与圆的位置关系
点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.
12.直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;
0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .
其中22B
A C
Bb Aa d +++=.
13.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21
条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;
条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .
14.圆的切线方程
(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．
①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是
0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()
022
D x x
E y y x x y y
F ++++
++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，
注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆222x y r +=．
①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2
00x x y y r +=;
②斜率为k
的圆的切线方程为y kx =±
1. 椭圆的定义：
⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.
3. 焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得
11
PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）
， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝
⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22
221y x a b
+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质
1． 定义
（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：
①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；
若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

（2）第二定义：平面内动点到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L 叫相应的准线。

（1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。

等轴双曲线的渐近线为y=±x ，离心率为2。

（2）
共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：
12
222=-b y a x 的共轴双曲线是122
22-=-b y a x 。

① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。

但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；
②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质
一、抛物线定义的理解
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。

注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）
② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。

若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。

④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。

二、抛物线标准方程
1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。

抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：
① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；
2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。

三、求抛物线标准方程
求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. ① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p ，因此要做到“先定位，再定值”。

注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为ax y =2或ay x =2，这样可避免讨论。

② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。

注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的
4
； ② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，
掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。

五、直线与抛物线有关问题
1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x 或y 化得形如
02=++c bx ax （*）的式子：
① 当0=a 时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，
而是与抛物线对称轴平行或重合；
② 当0≠a 时，若△＞0⇔（*）式方程有两组不同的实数解⇔ 直线与抛物线相交； 若△=0 ⇔（*）式方程有两组相同的实数解⇔ 直线与抛物线相切；
若△＜0⇔（*）式方程无实数解⇔ 直线与抛物线相离.
2．直线与抛物线相交的弦长问题
① 弦长公式：设直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB x x k AB -⋅+=2
1
或B A y y k
AB -⋅+
=21
1. ② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：
抛物线()022>±=p px y 上一点()00,y x M 的焦半径长是2
0p
x MF +
±=，抛物线()022>±=p py x 上一点()00,y x M 的焦半径长是2
0p y MF +
±= 六、抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 为过抛物线()022>±=p px y 焦点的弦，设()()2211,,,y x B y x A ，直线AB 的倾斜角为θ，则
① 221221,4p y y p x x -==； ② θ
2
sin 2p
AB =p x x ++=21； ③以AB 为直径的圆与准线相切； ④弦两端点与顶点所成三角形的面积θ
sin 22
p S AOB =
∆； ⑤
p
FB FA 211=+ ； ⑥ 焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900； 七、抛物线有关注意事项
1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视0>∆这个条
件。

2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.。