2020-2021高中三年级数学下期末第一次模拟试题(及答案)

2020-2021高中三年级数学下期末第一次模拟试题(及答案)
一、选择题
1．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v
对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +
D ．12i -+
2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ）
A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0
B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0
C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0
D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0
3．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与
c 所成的角的大小为（ ）
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A ．
1
4
B ．
13 C ．12
D ．23
5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b
a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．
π6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
6．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
8．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径
的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2
D ．5
9．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，则以下判断正确的是( )
A ．m n >
B ．||||m n <
C ．m n <
D ．m 与n 的大小关系不确定
10．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y x =?
C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
11．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2
－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．2
12．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ）
A ．是减函数，有最小值0
B ．是增函数，有最小值0
C ．是减函数，有最大值0
D ．是增函数，有最大值0
二、填空题
13．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 14．复数()1i i +的实部为 ．
15．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 16．已知样本数据
，
，
，
的均值
，则样本数据
，
，
，
的均值为 ．
17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．
18．若45100a b ==，则122()a
b
+=_____________．
19．已知1OA =u u u r ，3OB =u u u r 0OA OB •=u u u r u u u r
，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设
OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，(,)m n R ∈，则m
n
=__________．
20．函数y=232x x --的定义域是 .
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，
BA BP =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
22．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；
（2）如果关于x 的不等式2
()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
23．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范
围.
24．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()
1,1P f 处的切线方
程为31y x =+．
（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]
3,1-上的最大值．
25．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =3BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
26．已知0,0a b >>. (1)211ab a b
≥
+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：22
4a b a b
+≥-．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线
y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v
对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r
对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
2．D
解析：D 【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线,b c 的方向向量,b c r r
，,b c αβ⊥⊥，
所以,b c r r
分别是平面,αβ的法向量，
二面角l αβ--的大小为60°，
,b c r r
的夹角为060或0120，
因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】
记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”, 则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、
数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r
的数量积与其模的关系，再利用向量
夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】
因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2
a b b ⋅=r r r ，所以
cos θ=22
||122||
a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】
根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.
所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】
分析：写出103152r r r
r T C x -+=n n ，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r
r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
n n 令103r 4-=,则r 2=
所以22
552240r r C C n =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

8．A
解析：A 【解析】 【分析】
准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】
设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，
又||PQ OF c ==Q ，||,2
c
PA PA ∴
=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2
c OA =
． ,22c c P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，又P 点在圆222x y a +=上，
22244c c a ∴+=，即2222
2,22c c a e a
=∴==． 2e ∴=，故选A ．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增
函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．
【详解】
解：设3
()sin ,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-， 则2
()3cos
02
2
x
f x x π
π'
=+
>，
即3
()sin
,[1,1]2
x
f x x x π=+∈-为增函数，
又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin
2
2
m
n
n m ππ-<-，
即33sin
sin
22m
n
m n ππ+<+，
所以()()f m f n <，
所以m n <． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+，
所以()()()
()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+
整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
11．B
解析：B 【解析】
由题意得a ＋3＋4＋5＋6＝5b ，a ＋b ＝6， 解得a ＝2，b ＝4，所以样本方差s 2＝1
5
[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，所以标准差为2 . 故答案为B.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.
二、填空题
13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-
【解析】
试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚
数，则其实部必为零，即，所以
.
考点：复数的运算.
14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
15．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人
解析：60 【解析】 【分析】
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4
300604556
⨯=+++.
故答案为60.
16．11【解析】因为样本数据x1x2⋅⋅⋅xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1⋅⋅⋅2xn+1的均值为2x+1=2×5+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析：
【解析】 因为样本数据
，
，
，
的均值
，所以样本数据，
，
，
的均值为
，所以答案应填：
．
考点：均值的性质．
17．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使
解析：.
【解析】
()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，
()112'2ax g x a x x
-=
-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令
()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得1
02x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >
，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a
=时，函数()g x 取得极
大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2
a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102
a <<. 18．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2
【解析】
【分析】
根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．
【详解】
45100a b ==Q ，
4log 100a ∴=，5log 100b =，
10010010012log 42log 5log 1001a b
∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ 故答案为2
【点睛】
本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．
19．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则
解析：3
【解析】 因为30AOC ∠=o
，所以cos cos302OC OA AOC OC OA
⋅∠===⋅o u u u r u u u r u u u r u u u r
，从而有2=u u u r u u u r u u u r
．因为1,0OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3m n
=
20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域
解析：[]3,1-
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]
3,1-
考点：函数定义域 三、解答题
21．(1)见解析；(2) 43sin 7α= 【解析】
试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC 的法向量()13,1,3n =--u v ，设平面PCB 的法向量2n u u v =()3,1,3-，121212•1cos ,7n n n n n n ==u v u u v u v u u v u v u u v ，即43sin α=. 试题解析：
（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ，
∵DA DP =，BA BP =
∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=
∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥
（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=
∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，3BM =.
∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥
以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则()1,0,0A -
，()
B ，()1,0,0P ，()0,0,1D 从而得()1,0,1DP =-u u u v
，()DC AB ==u u u v u u u u u v
，()1,BP =u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v
设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v
则11•0•0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v u v u u u v
，即111100x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩
，∴(1n =u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v ，
由22•0•0n BC n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v
，得222200
x z x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，∴2n =u u v ∴121212•1cos ,7n n n n n n ==u v u u v u v u u v u v u u v 设二面角D PC B --为α
，∴sin α== 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
22．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.
【解析】
【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.
【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤-
当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立
当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤
综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤
（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩
令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=
当15x -<<时，()()510g x g >=
当5x ≥时，()()min 69g x g ==
综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.
23．（Ⅰ）4,03⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】
试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．
试题解析： （1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
，
由()2f x >得不等式的解集为332
2x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，
知函数在1x =-取得最小值2，
因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩
，在1x =-处取得最大值2m -，
所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.
只需22m -≥，即4m ≥.
24．（1）()32
245f x x x x =+-+；（2）13。

【解析】
【分析】
（1）由f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x=-2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x ），通过f′（x ）＞0，及f′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
【详解】
（1）依题意，()2
32f x x ax b =++'，且()14f =，()13f '=，()20f '-=， ∴143231240a b c a b a b +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
，解得2a =，4b =-，5c =．
∴()32
245f x x x x =+-+． （2）由（1）知()2
344f x x x '=+-， 令()0f x '=，得23x =
或2x =-． ∴当2x <-或23x >时，()f x 为增函数；当223
x -<<时，()f x 为减函数． ∴()f x 在2x =-时取极大值，()213f -=．
又∵()14f =，
∴函数()f x 在区间[]3,1-上的最大值为13．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
25．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ
(Ⅲ
． 【解析】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．
（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD
所成的角．计算可得1226
MN cos DMN DM ∠==．则异面直线BC 与MD 所
． （Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的
角．计算可得CM sin CDM CD ∠=
=．即直线CD 与平面ABD
详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．
（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．
在Rt △DAM 中，AM =1，故DM 22=13AD AM +AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN 22=13AD AN +．
在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得1132cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD 13． （Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM 3ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．
在Rt △CAD 中，CD 22AC AD +．
在Rt △CMD 中，3sin CM CDM CD ∠=
=． 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34
． 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
26．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1) 已知0,0a b >>直接对11a b
+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．
【详解】
证明：(1)2 “”11112?ab a b a b a b
≤===+，当且仅当时取；
(2)()()()222224
4 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当
且仅当11a b ==-+或11a b ==--
【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。