1.5最大公约数

除0之外, 任何整数只有有限个因子．
因而, 两个不全为0的整数只有有限个公因子, 其中最 大的叫做最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b) 设 a和 b是两个非零整数, 如果 a|m且 b|h, 则称 m是 a与 b的公倍数．
a与b有无穷多个公倍数, 其中最小的正公倍数叫做最 小公倍数,记作lcm(a,b)
2
3证明 :由(a, 4) (b, 4) 2, 可得2 | a, 2 | b, 且4 a, 4 b, | | 可设a 4k1 2, b 4k2 2, 所以(a b, 4) (4(k1 k2 ), 4) 4(k1 k2 ,1) 4.
4证明 :由(am, bm) (a, b)m得 : (a, b)(b, c)(c, a) ((a, b)b, (a, b)c)(c, a) (ab, b 2 , ac, bc)(c, a) (ab(c, a), b 2 (c, a), ac(c, a), bc(c, a)) (abc, a 2b, b 2c, b 2 a, ac 2 , a 2c, bc 2 , abc) (abc, a 2b, b 2c, b 2 a, ac 2 , a 2c, bc 2 ). (a, b, c)(ab, bc, ca) (ab(a, b, c), bc(a, b, c), ca(a, b, c)) ((a 2b, ab 2 , abc), (abc, b 2c, bc 2 ), (a 2c, abc, ac 2 )) (a b, ab , abc, abc, b c, bc , a c, abc, ac )
pa;
(ⅴ) 若a = bq r，则(a, b) = (b, r)。
(1)证明 : 设d 是a1 , a2 , , ak的任一公因数, 即d | ai (i 1, 2, , k ). 显然d || ai | (i 1, 2, , k ), 故d 也是 | a1 |,| a2 |, ,| ak | 的一个公因数. 同理可证,| a1 |,| a2 |, ,| ak | 的任一公因数 d 也是a1 , a2 , , ak的一个公因数, 这样就证得a1 , a2 , , ak 与 | a1 |,| a2 |, ,| ak | 有相同的公因数, 因而它们的最大公因数也相同, 即(a1 , a2 , , ak ) ( a1 , a2 , , ak ).
• (2),(3)显然成立;
(5)证明 : 若d | a, d | b, 则d | r a - pb. 反之, 若d | b, d | r , 则d | a pb r. 因此a与b的全体公约数的集合 就是b与r的全体公约数 的集合, 这两个集合中最大正整数当然相等. (a, b) (b, r ).
6 若a, b不全为0, 则(a, b) (a, b ka).
1解 : (1)(2t 1, 2t 1) (2, 2t 1) 1; (2)(2n, 2(n 1)) (2n, 2) 2; 2k n是偶数 (3)(kn, k (n 2)) (kn, 2k ) k ( n, 2) k n是奇数 (4)(n 1, n 2 n 1) (n 1, 2n 1) (n 1,3) 3 当n=3k+1时 . 1 当n=3k,3k+2时 ;
2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论
定理
若a1 , a2 , , an是任意n个不全为零的整数，
则 i ) a1 , a2 ,, an 与 a1 , a2 ,, an 的公因数相同； （ (ii)(a1 , a2 ,, an ) ( a1 , a2 ,, an ).
2、互质（素）
a b ( , ) 1 d d
定理1 下面的等式成立：
(ⅰ) (a1, a2, …, ak) = (|a1|, |a2|, …, |ak|)； (ⅱ) (a, 1) = 1，(a, 0) = |a|，(a, a) = |a|； (ⅲ) (a, b) = (b, a)； (ⅳ) 若p是素数, a是整数, 则(p, a) = 1或
aakiikkkkkdaaadaidaidaaaaaadaaaaaaaaa????????证明设是的任一公因数即显然故也是的一个公因数同理可证的任一公因数也是的一个公因数这样就证得与有相同的公因数因而它们的最大公因数也相同即12
整数的整除性
1.5 最大公约数
设a和b是两个整数，如果d|a且d|b，则称d是a与b的 公因子，或公约数．
再由式(3)得到
11211，
这是不可能的。所以式(3)不能成立。
注：这个例题的一般形式是： 设p是素数，a，b是整数，则
Pk b)k pk 1c， |(an
其中c是不被p整除的任意整数，k是任意的大于1
的整数。
例2 设a, b是整数, 且9 | a ab b ,
2 2
则3| (a, b).
4 设(m, a) 1, 则(m, ab) (m, b).
4证明 : (m, a) 1, (m, b) (m, b(m, a)) (m, bm, ab) (m, ab).
5 设(m, a) 1, 那么, 若m | ab, 则m | b.
5证明:由第4题知,(m, b) (m, ab) m,m | b.
证明 : 9 a ab b , 9 (a b) 3ab,
2 2 2
3 (a b) 3ab,3 (a b) , 3 a b ,
2 2
9 (a b) , 9 3ab, 3 ab, 3 a 或3 b.
2
若3 a , 3 a b,3 b. 若3 b. 3 a b,3 a. 故3 (a, b).
2 2 2 2 2 2
(a 2b, ab 2 , b 2c, bc 2 , a 2c, abc, ac 2 ). 得证.
5证明 : (a, b) 1, (a, a b) 1, (b, a b) 1. c | a b, (a, c) (a, a b), (b, c) (b, a b), (c, a) (c, b) 1.
一、最大公约数的概念
• 公约数：
一般地，若b a1 , b a2 ,, b an , 则b称为a1, a2 ,, an的一个公约数。
如：12,18的公约数： • 定义1 整数a1 , a2 ,, an公有的约数中最大的一个，
叫做a1 , a2 ,an的最大公约数。
记作 a1, a2 ,, an , 读作a1, a2 ,, an的最大公约数。
a和b互素: gcd(a,b)=1 两两互素: 任意两个都互素 例如, 8和15互素,而8和12不互素.4, 9, 11,35 两两互素.
定理 整数a和b互素的充分必要条件是存在整数x和y使得 xa+yb=1 证 必要性可由定理11.7得到. 充分性. 设xa+yb=1, x和y是整数. 又设d>0是a和b的公因子, 有 d |xa+yb, 即 d |1. 从而 d=1, 得证a和b互素.
定理2
若a, b是任意两个正整数 a bq1 r1 , 0 r1 b b r1q2 r2 , 0 r2 r1 rn 2 rn 1qn rn , 0 rn rn 1 rn 1 rn qn 1 rn 1 , rn 1 0 则(a, b) rn . (1)
实例
• 例 设a |c, b |c, 且a与b互素, 则ab |c.
• 证 根据定理11.8, 存在整数x,y,使xa+yb=1. 两边同乘以c, • 得cxa+cyb=c. 又由a |xa和b |c, 可得ab |cxa. • 同理, ab |cyb. • 于是, 有ab |cxa+cyb, 即ab|c.
例3 求(1573),(30, 45,84),(2n 1, n 2).
解 : (1859,1573) (1859,1573) (286,1573) (286,1573 286 5) (286,143) (0,143) 143; (30, 45,84) (30,15,84) (0,15,84) (15,84) (15, 6) (3, 6) 3; (2n 1, n 2) (2n 1 2(n 2), n 2) (3, n 2) 3 n 3k 2 . 1 n 3k ,3k 1
2证明 : (am, bm) (a, b)m,
2
(a, b)(a, c) (a(a, c), b(a, c)) (a , ac, ab, bc) (a , (ac, ab), bc) (a , a(c, b), bc) (a , a, bc)
2 2 2
((a , a), bc) (a(a,1), bc) (a, bc).
定理3若a bq r(0 r b), 则 a, b b, r
定理4若d 0, a 0, b 0, d a , d b , 则 a, b d的 充要条件是存在整数s, t , 使得d as bt.
3、最大公因数的性质
（1）当b∣a时，（a，b）=b. （2）a，b的一切公因数都是（a，b）的因数. （3）若a，b是正整数，m是任一正整数，则有 （am，bm）=（a，b）m. （4）若（a，b）=1，c为任一正整数，则有 （ac，b）=（c，b） （5）若（a，b）=1， b∣ac，则有b∣c. （6）若a，b，c是任意三个正整数，则（a，b）=d的 充分必要条件是：
最大公约数
• 定理 1 整数a1 , a2 ,, an的最大公约数惟一存在。
定义2若 a1, a2 ,, an 1, 则称a1, a2 , , an互质（或互素）；
若a1 , a2 ,, an中任意两个都互质，则称a1 , a2 , , an 两两互质（或两两互素）。
二、最大公约数的性质
6 证明: (m, ab) (m,(m, a)b).
6证明: (m,(m, a)b) (m, mb, ab) (m, ab).
• 注:本题实际上是第4题结论的推广.
思考问题
1 求最大公因数 : (1)(2t 1, 2t 1); (2)(2n, 2(n 1)); (3)(kn, k (n 2)); (4)(n 1, n n 1).
证明 : rn (0, rn ) (rn1, rn ) (rn , rn1) (r1, b) (a, b).
例题
21n 4 例1 证明 : 若n是正整数, 则 是既约分数. 14n 3
证明 :由a bq r , 0 r b, 则(a, b) (b, r )得 : (21n 4,14n 3) (7n 1,14n 3) (7n 1,1) 1. 21n 4 是既约分数. 14n 3
2
2 证明: 若a 0且(b, c) 1, 则(a, bc) (a, b)(a, c).
3 证明: 若(a, 4) (b, 4) 2, 则(a b, 4) 4.
4 证明: (a, b, c)(ab, bc, ca) (a, b)(b, c)(c, a).
5 若(a, b) 1, c | a b, 则(c, a) (c, b) 1.
例 证明： 121 n2 2n 12, n Z . | 证明 由于121 = 112，n2 2n 12 = (n 1)2 11，所以，若 112(n 1)2 11， (3)
则11(n 1)2，因此，由定理4的推论1得到
11n 1，112(n 1)2。