论“小题大做”-基于数学抽象能力培养的例题设计与教学

2018年1月
论“小题大做”
.基于数学抽象能力培养的例题设计与教学
"浙江绍兴市柯桥区实验中学沈志勇
数学抽象包含数学概念、命题、方法和体系的抽象，
是重要的数学核心素养，在数学课堂例题教学中合理地
设计数学抽象活动，积累数学抽象活动经验，这是基于
数学核心素养的教学设计的必然要求，也是追求数学育
人的必然要求.但是目前课堂教学“三多三少:学生做得
多，思考得少;现成资料多，自主设计少;教师讲得多，提
炼得少”的现象较为普遍.一些公开课上培养核心素养
的环节被认为是不可复制的.这样的矛盾如何破解？我
们不妨“小题大做”，即从课堂例题教学设计的小处人
手，在培养核心素养的大处立意.
―、概念性例题“小题大做”，用充分的数
学过程完成概念的抽象
“学生做得多，思考得少”在概念教学中尤为突出，
概念的形成和同化不是一两句话的问题，更不能用做题
来替代，只有在充分的数学经历之后的数学抽象才是有
价值的、高质量的概念抽象.在概念教学中，应精心设计
例题，带领学生从具体问题出发，抽象出一类数学现象
的共同属性或本质属性，从而形成数学概念，并通过表
达、判断、应用等多种途径，完成知识迁移、误区矫正，使
最关键的“数学抽象”找到强有力的过程支撑，让学生的
数学抽象能力在递进问题的探索中得到发展，思维在逐
层探究中得以丰富.
案例1%在浙教版七上“3.1平方根”这节课中，在给
出已知正方形边长求面积、已知正方形面积求边长的一
些实例的基础上，与学生共同概括出平方根定义以后，
教师给出：
例1请分别说出49、丄、0的平方根.
25
生1a我认为49的平方根是±7.
师:用规范的格式来叙述.
生1a因为±7的平方等于49,所以49的平方根是±7.
师:
25的平方根呢？你想试一下吗?
生1:因为1的平方等于i……还有-1的平方也
5 25 5
等于丄，所以丄的平方根是±丄.
25 25 5
师:一开始忘了-的平方也等于^，严密的数学
5 25
思维告诉我们除了正数j，也可以是负数-f.
师:0的平方根呢？
生2:0乘以任何数都得0,0乘以0也得0.
师:这个答案不怎么行.
生3:因为±0的平方等于0,所以0的平方根是0.
生4:不对，0既不是正数也不是负数.
师:0的前面不加性质符号.
师:刚才我们从互逆运算的角度，先进行平方运算，
再逆过来进行开平方运算.这里我有几个问题:（1)一个
正数有几个平方根？它们有怎样的数量关系？（2)0的平
方根是什么？（3)负数有几个平方根？
生5:—个正数有两个平方根，它们互为相反数;0的
平方根是0;负数没有平方根.
生6:我不同意，正数并不一定有平方根，如10，没有
一个数的平方是10.
师:如果正方形的面积为10,那么它的边长是多少？
这样的边长一定存在啊.
生7:有一个符号，的平方等于10.
师:你已经预习过课本了，我们今天就来学习这个
符号.
师:那么负数呢？请说说你的理由.
生8 :#2$%中，如果#是正数，两个正数相乘得正数％;
如果#是负数，两个负数相乘也得正数%，所以负数没有
平方根.
生9:一个数的偶次幂均为非负数，举个例子:(±4)2$
16,一个数的偶次幂不可能是负数，所以负数没有平方
根.
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师生共同总结:一个正数有两个平方根，它们互为 相反数;0的平方根是0 =负数没有平方根.
师:刚才生6的问题非常好，我们熟悉的乘法表中没
有这样的公式,几几得10,所以必须有个新的符号，首先让我们来了解“f
”产生、演变的历史……
例1很短小，但是整个例题教学过程很细致.学生表 达不规范时，教师耐心包容地解释;不同学生有不同的 观点时，教师从不同的层次进行解释;学生有思维漏洞 时，教师及时从不同的维度打补丁，并且反复强调“平 方一开方”是互逆运算，强化新概念的逻辑起点和逻辑 顺序，让学生感受学习平方根的必要性和思考的合理性. 数学课堂教学应该是以这种“逻辑推理”的姿态影响着 学生，让学生一次次纠正自己的漏洞，在行动和思考中 变得周全，学生就是这样成长变化的.这些问题看起来 很琐碎，但是，教学的目的就是教会学生思考，学会学习.
概念课的例题设计和教学应该揭示概念生成的生 活背景，了解概念产生的必要性与合理性，让学生经历 对概念由感性到理性的认识过程，通过典型的实例引导 学生对概念的属性进行分析、比较，充分讨论、理解后归 纳出共同属性.一定要让学生有充分的过程性体验，让 学生以“发现者”角色经历概念的发现过程，辅助学生对 知识进行同化与顺化，促进学生认知水平、抽象能力的 发展.
二、相关性例题“小题大做”，用双向聚敛 思维完成命题、方法的抽象
“现成资料多，自主设计少”，显然数学命题、模型要 比数学题目少，数学思想方法比数学命题、题型要少.课 堂中应经常将众多相关、相似的题目，从纵向、横向两个 思维方向进行组织，运用聚敛思维直达本质，寻找出一 类问题最好的解决方法，不断反思和总结，积累抽象 活动经验，使学生学会学习，从而大幅度减少“刷题”的 数量.
案例2%人教版八上数学P 17第9题:如图1，"1""2, "3="4, "#=100。

，求$的值.
在“三角形角平分线的专题复习”这节课中，教师针 对此题进行了基于纵、横两个思维方向，指向抽象水平
三个层次的设计.
环节1,基于横向思维设计，指向抽象水平一.课堂上师生充分交流了各种解题方法.学生的解法 主要有三种，方法1是
将
看
成
整
体
，分步
计算.方法2是分别由A#%C 、# G%C 的内角和列方程组， 消元求解.方法3是利用基本图形结论.师生小结后，教师 抛出了3个变式.
变式1如口图2，％G 平分"平分"#&%，探究
"%GC 与的数量关系.
变式2如口图3，％0平分"*%&，&0平分"％&+，探究与"0的数量关系.
变式3如口图4，％,平分"#%&，&,平分"#&*，探究 "#与",的数量关系.
从原题到变式1，从特殊到一般，学生唾手可得.对 于变式2、3,三种方法均能迁移.学生用的最多的是方法 1，但是渐显颓势，部分学生表达不规范、思路不清晰.而 方法3，基本图形只有在长期训练下才能在较短的时间 内被发现.几何问题代数化在几何中探究数量关系时是 通法，用方法2始终清晰明了，教师重点引导，优选方法， 归纳结论.
这样的设计让学生在具体的数学情境中，通过从特 殊到一般，归纳并形成简单的数学命题，用规范的数学 语言表达推理和论证，能够在相似、相关的问题中感悟 问题的通性和通法.
环节2,基于纵向思维设计，指向抽象水平二.教师引导学生观察变式1、2、3的共同点，启发学生 运用化归思想，寻找新的解题方法.如在变式3中，学生 作"的平分线交于点G ，这时便将问题化归为变
式1，得出
"BGC =90"+"H ，
"BGC =90"+— "#
2
更快、更简洁地得出结论
"H "丄"#，变式2亦是如此.为什么利用化归思想能够
2
如此快捷呢？说明彼此之间必然存在内在联系.因此师 生把重点放在探寻三者之间的内在联系上.学生大胆猜
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测，而后叠合图形(如图5)，找出问题的本源是三个变式 都是图5的一个部分.师生共同提炼模型并总结L相似的 问题、相关的问题可以运用类比、化归思想，并善于用联 系的眼光、整体的方法去反思解题.
&
在此基础上，教师从纵向设问，从角平分线变化到 角的*等分线时，结论是否发生改变？学生沿用刚才的方 法得出结论.
这样的设计让学生能够理解和构建相关问题之间 的联系，抽象数学模型，提炼出解决一类问题的数学方 法，理解其中的数学思想，将已知数学命题推广到更加 一般的情形.
环节3 L基于横向思维设计，指向抽象水平三.
教师进一步问学生:你想进一步探究相关的哪些问 题？学生们纷纷提出四边形、六边形甚至*边形，并一起 合作，模仿环节1、2进行进一步的研究，验证环节2中发 现的结论和方法在四边形中是否成立，并根据这些结论 和方法;决捷地解决一些复杂的问题.
例2如图6,四边形的内角乙+,$、！,$"的 角平分线交于点-，探索！+、！"与！-之间的数量关系.
变式1!如图7,四边形的内角！+,$、！+"$的角平分线交于点-，探索！-与！+、之间的数量关 系.
变式2!如图8,凹四边形+ 的内角！+ ,$、的角平分线交于点-，求！-与！+、！$之间的数 量关系.
变式3:如图9,在六边形
的角平分线交于点-，求！-与！$、！"、！％、之间 的数量关系.
环节3让学生能够在有序多级的情境中抽象出数学 模型，使之更具普适性，针对具体问题运用或创造数学方法解决问题，并进行高度概括.
这节课以一个课本题为载体，将问题从横、纵两方 面加以探究，通过问题间的相关性、相似性，循序渐进将 问题迁移，学生从特殊到一般，进行合情猜想、类比、化 归，层层递进，通过“小题大做”，系统有序地设计抽象过 程的不同阶段的活动，让学生充分有序地经历数学抽象 过程，通过及时反思和迁移，积累了数学抽象活动经验.
三、领域性例题“小题大做”，借整体性设计完成系统的抽象
“教师讲得多，提炼得少”，教师往往就题讲题，但数 学知识系统之间往往是有关联的，对于例题设计和教 学，考虑不同的局部知识系统之间的关联，应把已经建 立的知识系统及其学习经验应用于新的内容的学习.
案例3:在函数学习中，我们从一次函数、反比例函 数，到二次函数，应研究研究函数过程的共性，发现研究 函数性质的共性，抽象研究函数的思路和方法，类比研 究函数的思路和方法，确定函数领域的共同逻辑基础，从系统性的角度抽象学习的过程，并程序化(如图10 >，为后续的函数学习打下坚实的基础.
如例3,中考数学经常考新定义型函数问题L
例3我们规定:形如(2、6、5为常数，且5 "
3+0
〇6)的函数叫作“奇特函数”.当2=6=0时，“奇特函数”y i
就是反比例函数y=i(5"0).
3+0 3
(1)若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别 增加3和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与3之间的函 数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数
⑵如图11，在平面直角坐标系中，点0为原点，矩形 0+,$的顶点+、$的坐标分别为(9,0)、（0,3).点"是04
的中点，连接0，、C"交于点％，“奇特函数"y i^5的图
3-6
像经过,、％两点.
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案例分析
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基于“课标要求”的“二次函数”课例及分析
"浙江象山县石浦中学李丽君
一、背景介绍
《义务教育数学课程标准(2011年版)》中课程内容 的教学要求（以下简称“课标要求”)是课堂教学活动的 指南，也是教学评价的尺度和标准.但在以浙教版《数 学》九年级上册第一章第1节“二次函数”为载体的“多人 同课异构”式的研修活动中发现，课堂教学普遍与“课标 要求”存在较大偏差.网上查阅同类课例发现也有类似 现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思的基础上，在浙 江省特级教师邬云德先生的指导下，对该课的教学进行
重建与再实践，改进后的教学得到了同仁认可.现将其
整理出来，以獪读者.
二、教学实录
环节1:经历产生并感悟二次函数的过程一明确研 究问题.
师:我们知道，现实生活中有许多数量变化关系问 题可以转化为一次函数、反比例函数问题.一次函数、反 比例函数够用吗？请大家根据下列问题中的条件列出函 数关系式.
^
就有必要“小题大做”.反之，应尽量避免.
在浙教版八上“5.1常量和变量”这节课中，有这样①求这个“奇特函数”的解析式.
②把反比例函.!=■%0图像向右平移6个单位，再
&向上平移_______个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图像.过线段的中点-的一条直线.与这个“奇特 函数”的图像交于/、0两点，若以'、（、/、0为顶点组成的四边形的面积为# !0，请直接写出点/的坐标.
3
学生如果通过与研究函数的思想方法类比，从整体 到部分、从粗略到精细、从定性到定量，运用函数问题研 究的常用策略（1)研究函数按图像-性质-应用的途径；(2)先运用特例研究，再归纳一般；（3)画图，归纳对称 性、最值、特殊点、增减性等性质，必定可提升宏观的数 学视野，不会再对此类问题心存恐惧.
因此，凡是能提升学生学习效率，提升学习和研究 数学的水平，提升数学思维能力，发展核心素养的例题，
一道习题：
圆周长C 与圆的半径2之间的关系式是C *2!2,其中 常量是_____，变量是_____.
这里的常量是2!还是2、！呢？要不要在课堂上谈论
呢？概念是思维的基本单位，为什么要学常量和变量？
P .1常量和变量”为什么是函数的起始课？课标是这样
叙述的:“探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解 常量和变量的意义./常量和变量是为函数学习所准备 的概念，它服务于函数，离开具体函数谈常量和变量是 毫无意义的.因此结合大量的生活中的、数学中的问题，让 学生站在函数视角研究常量、变量，即在充分体验现实 生活、数学问题、其他学科中各种量与量之间的变化规 律和数量关系中，引导学生抽象出变量和常量的概念， 才是本节课的重中之重.不能抛开核心素养的培养，纠 结于这些细碎的有争议的问题，那真的是小题大做了.
参考文献：
1.吴增生.数学抽象的认知机制及其教学策略[J ].中
国数学教育，2017(4).
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