初中数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径
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2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深 地方的高度为2cm，求该输水管的半径.
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE 是正方形．
在折叠圆的过程中，你发现圆是怎样的一个对称图形？
C
C
O
A
B
D
A
OB
D
圆的对称轴是什么？有多少条对称轴？
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
也可以说，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
C
C
O
A
B
D
A
OB
D
问题 两种方法都折出了圆的两条直径，在两幅图中，两条直径分别有什么关系？
那么可以推出： （3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧； （5）平分弦所对的劣弧；
这些图形是否适合使用垂径定理？把图形拖到相应位置！
适合
不适 合
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C
O
EE
A
B
D
∵ CD是直径,
CD⊥AB,
∴ AE=BE,
AC=BC,
AD=BD,
C
EO
A
B
如图，已知：AB是⊙O的一条弦，直 径CD与AB交于点E，AE=BE.
7.2米
A B
37.4米
☆
问题 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与
智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧
的中点到弦的距离）为7.2米，你知道古人在建造赵州桥时设计的主桥拱的半径是多少米
吗？
你能用折纸的方法确定圆形纸片圆心的位置吗？动手试一试！
C
OEE
A
B
D
如图，已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一 条弦，CD⊥AB，垂足为E.
图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C ∵ CD是直径,
CD⊥AB,
O
EE
A
B
D
∴ AE=BE,
AC=BC,
AD=BD,
垂径定理的理解： 一条直线若满足： （1）过圆心；（2）垂直于弦；
3 *
变式2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 点D为AB的中点，OD=3cm，求⊙O的半径．
A
DB
O
练习1.赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦 的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
你有什么收获？
圆的轴对称性；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
直径CD⊥AB吗？CD还平分弦AB所对 的两条弧吗？
D
1
2
例．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半 径．
A
B
O
1 巩固练习：如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦心距为3cm，求弦AB的长．
2 变式1．如图，在⊙O中， 弦AB的长为8cm，半径OC⊥AB，垂足为D，若CD长 为2cm，求圆O的半径．
垂径定理及推论；
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分（非直径）弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
解决有关弦、半径等问题的常用方法；
辅助线：过圆心作弦的垂线，连接半径； 直角三角形；勾股定理；方程；
还有什么收获？
练习： 1．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和 BD有什么关系？为什么？
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE 是正方形．
在折叠圆的过程中，你发现圆是怎样的一个对称图形？
C
C
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A
B
D
A
OB
D
圆的对称轴是什么？有多少条对称轴？
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴； 任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
也可以说，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
C
C
O
A
B
D
A
OB
D
问题 两种方法都折出了圆的两条直径，在两幅图中，两条直径分别有什么关系？
那么可以推出： （3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧； （5）平分弦所对的劣弧；
这些图形是否适合使用垂径定理？把图形拖到相应位置！
适合
不适 合
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C
O
EE
A
B
D
∵ CD是直径,
CD⊥AB,
∴ AE=BE,
AC=BC,
AD=BD,
C
EO
A
B
如图，已知：AB是⊙O的一条弦，直 径CD与AB交于点E，AE=BE.
7.2米
A B
37.4米
☆
问题 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与
智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧
的中点到弦的距离）为7.2米，你知道古人在建造赵州桥时设计的主桥拱的半径是多少米
吗？
你能用折纸的方法确定圆形纸片圆心的位置吗？动手试一试！
C
OEE
A
B
D
如图，已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一 条弦，CD⊥AB，垂足为E.
图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． C ∵ CD是直径,
CD⊥AB,
O
EE
A
B
D
∴ AE=BE,
AC=BC,
AD=BD,
垂径定理的理解： 一条直线若满足： （1）过圆心；（2）垂直于弦；
3 *
变式2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 点D为AB的中点，OD=3cm，求⊙O的半径．
A
DB
O
练习1.赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦 的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
你有什么收获？
圆的轴对称性；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
直径CD⊥AB吗？CD还平分弦AB所对 的两条弧吗？
D
1
2
例．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半 径．
A
B
O
1 巩固练习：如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm，弦心距为3cm，求弦AB的长．
2 变式1．如图，在⊙O中， 弦AB的长为8cm，半径OC⊥AB，垂足为D，若CD长 为2cm，求圆O的半径．
垂径定理及推论；
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分（非直径）弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
解决有关弦、半径等问题的常用方法；
辅助线：过圆心作弦的垂线，连接半径； 直角三角形；勾股定理；方程；
还有什么收获？
练习： 1．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和 BD有什么关系？为什么？