关于Gauss-Kronecker曲率为零的极小超曲面的注记

关于Gauss-Kronecker曲率为零的极小超曲面的注记
马红娟;赵秀兰;郑喜英
【摘要】研究了R4中满足Gauss-Kronecker曲率为零的极小超曲面.Hasanis猜想:R4中Gauss-Kronecker曲率恒为零的极小超曲面是R3中极小曲面与实数直线的黎曼乘积.对于上述猜想,Hasanis等人给出了部分证明,得到了一个定理,本文利用具体例子说明该定理中的部分条件是不必要的,并得到分类定理.
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2013(036)002
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】Gauss-kronecker曲率;主曲率;极小超曲面
【作者】马红娟;赵秀兰;郑喜英
【作者单位】黄河科技学院信息工程学院,中国郑州450063;黄河科技学院信息工程学院,中国郑州450063;黄河科技学院信息工程学院,中国郑州450063
【正文语种】中文
【中图分类】O186
超曲面的Gauss-Kronecker曲率是一个重要的几何不变量．因此研究具有常Gauss-Kronecker曲率的黎曼流形，尤其是空间形式中具有常Gauss-Kronecker 曲率的超曲面是有意义的．关于Qn+1中极小超曲面Mn，Dajczer和Gromoll[1]利用S4中一类极小曲面构造S4中具有零Gauss-Kronecker曲率的极大超曲面
M3，de Almeida和Brito[2-3]对S4中具有零Gauss-Kronecker曲率的紧致极
小超曲面进行分类，成庆明[4]研究S4[5]和中具有零Gauss-Kronecker曲率的极
大类空间超曲面，Hasanis等人把结果推广到R4[7],H4[8]和S4[9]中的完备极小
超曲面．对于猜想[7]：R4中Gauss-Kronecker曲率恒为零的极小超曲面是R3
中极小曲面与实数直线的黎曼直积，给出了如下定理.
定理1[7] 设M3是数量曲率有下界的完备可定向三维黎曼流形,f:M3→R4是满足Gauss-Kronecker曲率恒为零，第二基本形式恒不为零的等距极小浸入，则f(M3)可分解为黎曼直积L2×R，L2是R3中高斯曲率有下界的完备极小超曲面．
上述分类定理对数量曲率和第二基本形式加了很强的条件.如果f:M3→R4是完备
极小超曲面，f(M3)可分解为L2×R，其中L2是R3中的完备极小曲面，那么M3
的数量曲率一定有下界吗？本文通过具体例子说明上述定理中的部分条件是不必要的，并给出分类定理．
1 准备知识
设f:M3→R4是定向极小超曲面，截面曲率为零，选取{e1,e2,e3,e4}为正交标架，对偶标架{ω1,ω2,ω3,ω4}，联络形式{ωij}，约定1≤i,j≤3，主曲率满足
k1=k>k2=0>k3=-k，k>0，数量曲率和Gauss-Kronecker曲率分别由下式确定：H=k1k2+k1k3+k2k3,K=k1k2k3.
因为在M3上ω4=0，由Cartan’s Lemma有的结构方程为
设函数u=ω12(e3),v=e2(log k)，显然上式等价于
ei(kj)=(ki-kj)ωij(ej),(k1-k2)ω12(e3)=(k2-k3)ω23(e1)=(k1-k3)ω13(e2).
容易得到
e2(v)=v2-u2,e1(u)=e3(v),e2(u)=2uv,e3(u)=-e1(v),
e1e1(log k)+e3e3(log k) (log k))2-2v2-4u2+2k2=0.
由上式可得
(1)
文献[7]中设Mn是n维完备黎曼流形，n≥2，假设h是Mn中光滑非负函数，满足Δh≥ch2，c≥0是常数，则h恒为零．
2 主要结果
假设M3是单连通的，u和v定义在整个M3上，则u和v是调和函数．事实上，同理可得Δu=0，利用(1)和Δu=Δv=0得
由引理，u2+v2=0，即u=v=0，k是沿着e2的分布．考虑由{e1,e3}张成二维向
量分布G，因为u=0，根据(1)，所以G是对合分布．设表示G过点y的极大积分子流形，是包含映射，则是浸入，记A1,A2表示关于df(e2)和ξ的形状算子．因
为u=v=0，所以ω12=ω23=0．得
A1e1=0,A1e3=0,A2e1=ke1,A2e3=-ke3.
因此是极小曲面且e2为常量．极小曲面的Weierstrass表示[10]
高斯曲率主曲率
下面通过Weierstrass表示讨论一些例子．
例1[11] f=1,g=-iez，其中z=u+iv，相应的极小曲面为正螺面．
因为ds2=(1+e2u)2(du2+dv2),故(u,v)是等温参数，是正则曲面．在R3中任意
紧致集的逆象在(u,v)平面内是紧致的，在(u,v)平面上发散于无穷远的曲线的象在
R3中也发散于无穷远，曲面是完备的．
通过计算，高斯曲率为主曲率为显然，k1,k2都不为零，且k1,k2有界．
同理，可证明经典的完备极小曲面包括悬链面、Enneper曲面、Scherk曲面、Schwarz曲面等的主曲率都是有界的．
例2 为获得Gauss曲率无界的完备极小曲面，考虑Gauss函数[12].设
f=1,g=ez2，其中z=rcos θ+irsin θ．
因为ds2=(1+e2r2cos 2θ)2(dr2+r2dθ2),故(r,θ)是等温参数，是正则曲面．在(r,θ)平面上发散于无穷远的曲线的象在R3中也发散于无穷远，曲面是完备的．高斯曲率为主曲率为
上式中c为常数．显然，当时，是无界的；也就是说，高斯曲率不是有界函数．注记更一般地，设f=1,g=ezk，其中k∈Z．高斯曲率为
显然，当时，高斯曲率不是有界函数．可以找到大量高斯曲率是无界的极小曲面，所以对数量曲率[13]的假定是不必要的．
定理2 设f:M3→R4是满足Gauss-Kronecker曲率恒为零，第二基本形式恒不为零的等距极小浸入.若M3是完备的，则f(M3)可分解为黎曼直积L2×R，其中L2是R3中高斯曲率有下界的完备极小曲面．
参考文献：
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