江西省南昌市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学考试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题中正确命题的个数为( ) ①若A B >,则sin sin A B >；
②若222a b c +<，则ABC ∆为钝角三角形； ③若()()a b c a b c ac ++-+=，则23
B π=． A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
2．若三棱锥P ABC -的四个面都为直角三角形,PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==,22AC =,则三棱锥
P ABC -中最长的棱长为( )
A ．22
B ．23
C ．3
D ．3
3
3．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，满足6210·a a a =，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若972b a =，
则17S =（ ）
A ．34
B ．39
C ．51
D ．68 4．函数sin 2y x =-，x ∈R 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数
D ．最小正周期为2π的偶函数
5．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 A ．－10
B ．－8
C ．－6
D ．－4
6．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()(2)0AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
7．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格
9 9.5 10.5 11
销售量
11 8 6 5
由散点图可知，销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是
，且
，则其中的
（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．10.5
8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3sin sin 6
B A
C C π
--=
=，则B 的大小是
（ ） A ．
6
π B ．3
π C ．23
π D ．
56
π 9．等差数列
中，若
，
，则
（ ）
A ．2019
B ．1
C ．1009
D ．1010
10．已知两个单位向量12,e e 的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ） A ．12e e 在方向上的投影为cos θ B ．121e e ⋅=
C ．2
2
12e e = D ．1212()()e e e e +⊥-
11．已知1tan()2πα+=，则
sin cos 2sin cos αα
αα-+=（ ） A ．
14
B ．12
C ．14
-
D ．1
2
-
12．向量(1,1)a =，(2,5)b =，(3,)c x =，满足条件(8)a b -．c 30=，则x =() A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
二、填空题：本题共4小题
13．设实数,x y 满足20003x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，则x y +的最小值为_____
14．用列举法表示集合1
cos(),[0,]32x x x π
π⎧⎫-
=∈=⎨⎬⎩
⎭
__________． 15．已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式，我们可以求函数
3
3()4320,f x x x x ⎛⎫
⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝
⎭的值域，则该函数的值域是______. 16．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最小正周期T =___________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB =，2AP AD ==.
（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（2）若点,M N 分别在,AB PC 上，且MN ⊥平面PCD ，试确定点,M N 的位置 18．已知等比数列{}n a 的各项为正数，n S 为其前n 项的和，3=8a ，3=14S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n n b a -是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项的和n T ． 19．（6分）已知函数()2(0).a
f x x x x
=+
> （1）若2a =-，求函数()f x 的零点；
（2）若()0f x ≥在(1,)+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）设函数()()(2)(0)g x f x a x =-+>，解不等式()0>g x .
20．（6分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2
BAC π
∠=
，2AB =，
23AC =，2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积；
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值大小. 21．（6分）已知两点(4,3)A -，(3,2)B . （1）求直线AB 的方程；
（2）直线l 经过(0,1)P -，且倾斜角为
4
π
，求直线l 与AB 的交点坐标. 22．（8分）某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表： 分组 [0,30) [30,60)
[60,90) [90,120) [120,150]
频数
5 7
13 10 5
⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；
⑵成绩在[120,150]的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到C ∠为钝角②正确；化简利用余弦定理得到
12cos ,23
B B π
=-∠=③正确.
【详解】
①若A B >,则sin sin A B >；
根据A B >，则a b > 即2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，正确 ②若222a b c +<，则ABC ∆为钝角三角形；
222222cos cos 0c a b ab C a b C =+->+∴<，C ∠为钝角，正确
③若()()a b c a b c ac ++-+=，则23
B π
=
22222()()()222cos a b c a b c a c b a c ac b ac ac B ac ++-+=+-=++-=+=
即12cos ,23
B B π=-∠=，正确 故选
C 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用. 2．B 【解析】 【分析】
根据题意，画出满足题意的三棱锥，求解棱长即可. 【详解】
因为PA ⊥平面ABC ，故PA AB ⊥，且PA AC ⊥， 则
PAB 为直角三角形，由2PA AB ==以及勾股定理得：
PB ==
同理，因为则
PAC 为直角三角形，由2PA =，AC =
2223PC PA AC =+=；
在保证
PAB 和PAC 均为直角三角形的情况下，
①若90BAC ∠=︒，则在
BAC 中，由勾股定理得：
2223BC AB AC =+=，
此时在
PBC 中，由22PB =，23PC =及23BC =，
不满足勾股定理
故当90BAC ∠=︒时，无法保证PBC 为直角三角形.
不满足题意.
②若90CBA ∠=︒，则CB BA ⊥，
又因为PA ⊥面ABC ，CB ⊂面ABC ，则CB PA ⊥， 故CB ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，故CB PB ⊥， 则此时可以保证
PBC 也为直角三角形.满足题意.
③若90BCA ∠=︒，在直角三角形BCA 中， 斜边AB=2，小于直角边AC=22，显然不成立. 综上所述：当且仅当90CBA ∠=︒时，可以保证四棱锥 的四个面均为直角三角形，故作图如下：
由已知和勾股定理可得：
2,2,22,2,PA AB AC BC ==== 2,23PB PC ==
显然，最长的棱为23PC =故选：B. 【点睛】
本题表面考查几何体的性质，以及棱长的计算，涉及线面垂直问题，需灵活应用. 3．D
【解析】 由数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足6210·
a a a =，得59119·a q a q a q =， 所以5
1611a q a =⇒=，所以976222124b a a q ==⋅=⨯⨯=，
设数列{}n b 的公差为d ，则()171191716
1717817682
S b d b d b ⨯=+=+==，故选D. 4．A 【解析】 【分析】
判断函数函数sin2y x =-，x R ∈的奇偶性，求出其周期即可得到结论. 【详解】
设()sin2,y f x x ==- 则()()()sin2sin2,f x x x f x -=--==- 故函数函数sin2y x =-，x R ∈是奇函数，由2,2
T π
π== 故函数sin2y x =-，x R ∈是最小正周期为π的奇函数. 故选A. 【点睛】
本题考查正弦函数的奇偶性和周期性，属基础题. 5．C 【解析】
试题分析：有题可知，a 1，a 3，a 4成等比数列，则有
，又因为｛a n ｝是等差数列，故有
，公差d=2，解得
；
考点：•等差数列通项公式 等比数列性质 6．C 【解析】 【分析】
由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解. 【详解】
设BC 边的中点D ，则()0BC AB AC BC AD =⋅+=⋅ 所以在ABC ∆中，BC 垂直于BC 的中线， 所以ABC ∆是等腰三角形. 故选C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】
由表求得，，代入回归直线方程
，联立方程组，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据， 可得
，
，
又由回归直线的方程，则，即，
又因为，解得，故选A.
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的特征及其应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C 【解析】
∵3sin sin()B A C --=
，∴3sin()sin()2cos sin A C A C A C +--==， 又6
C π
=
，∴3
cos 2
A =
，又A 为三角形的内角，所以6A π=，故()66B πππ=-+
23
π
=。

选C 。

9．D 【解析】 【分析】 由等差数列
中，
，
，求出
，由此能求出
的值．
【详解】 等差数列
中，
，
，
，
即，解得， ．
故选：． 【点睛】
本题考查等差数列基本量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 10．B 【解析】
试题分析：A ．12e e 在方向上的投影为1cos e θ，即cos θ，所以A 正确； B ．1212||||cos =cos e e e e θθ⋅=⋅，所以B 错误；
C ．2
2
2
2
1122=1,==1e e e e =，所以22
12e e =，所以C 正确；
D ．2
2
121212()()=-=0e e e e e e +⋅-，所以1212()()e e e e +⊥-．D 正确． 考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．
点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质． 11．C 【解析】
由1
tan()2πα+= 得：1tan 2
α=， 所以11
sin cos tan 1122sin cos 2tan 1114
αααααα---===-
+++，故选D. 12．C 【解析】
向量()()1,1,2,5a b ==，则()
()()8?
=63?3,18330a b c x x -=+=，， 故解得4x =. 故答案为：C 。

二、填空题：本题共4小题 13．1． 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
解：由实数,x y 满足20
003x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
作出可行域如图，
由图形可知：(0,0)O ． 令z x y =+，化为y x z =-+，
由图可知，当直线y x z =-+过点O 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．2{0,}3
π 【解析】 【分析】
先将x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出x 的可取值. 【详解】
因为1cos()32x π
-
=
，所以2,33
x k k Z πππ-=±+∈，又因为[0,]x π∈，所以0k =，此时0x =或23π，
则可得集合：2
{0,}3
π.
【点睛】
本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易. 15．[]3,2-- 【解析】 【分析】
根据题意，可令cos 62x ππθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，，，结合3cos34cos 3cos θθθ=-，再进行整体代换即可求解
【详解】
令cos 62x ππθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦，，，则30,2x ⎡∈⎢⎣⎦
，
()33()432cos 4cos 3cos 2cos32f x x x f θθθθ=--⇔=--=-，62ππ
θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，
则3322ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，[]cos31,0θ∈-，[]cos323,2θ-∈--，则函数值域为[]3,2--
故答案为：[]3,2-- 【点睛】
本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题 16．π 【解析】 【分析】
利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】
依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】
本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1
；（2）M 为AB 的中点，N 为PC 的中点
【解析】 【分析】
（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}
AB AD AP ，
，为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -，求平面PCD 的一个法向量为n ，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设()M a 00，
，， PN λPC =，利用MN ⊥平面PCD ，所以MN ∥n ，得到λa ，的方程，求解即可确定M,N 的位置 【详解】
（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．
以{}
AB AD AP ，
，为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系A xyz -，则()()()()B 100C 120D 020P 002.，
，，，，，，，，，， 从而()()()PB 102PC 122PD 022.=-=-=-，，
，，，，，， 设平面PCD 的法向量()n x y z =，，
， 则PC 0PD 0n n ⎧⋅=⎨
⋅=⎩，，即220220x y z y z +-=⎧⎨
-=⎩，
，
不妨取y 1，=则x 0z 1==，
． 所以平面PCD 的一个法向量为()n 011=，
，． 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以PB n 10sin θcos PB
n 5PB n ⋅=〈〉==⋅，， 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为
105． （2）设()M a 00，，，则()MA a 00=-，，
， 设PN λPC =，则()PN λ2λ2λ，，，=-而()AP 002，，
，= 所以()MN MA AP PN λa 2λ22λ=++=--，
，．由（1）知，平面PCD 的一个法向量为()n 011=，，，因为MN ⊥平面PCD ，所以MN ∥n ．
所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，
解得，11λa 22==，． 所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点．
【点睛】
本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题
18．（Ⅰ）2n n a =（Ⅱ）322n n b n =-+，1232222
n n n T n +=+-- 【解析】
【分析】
（Ⅰ）设正项等比数列{}n a 的公比为(0q q >且1)q ≠，由已知列式求得首项与公比，则数列{}n a 的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得n b ，再由数列的分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列{}n a 的公比1q ≠，且0q >，
所以()23131381141a a q a q S q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或11823a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩
（舍去）， 则所求数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（Ⅱ）由题意得1(1)332n n b a n n -=+-⨯=-，
故32322n n n b n a n =-+=-+
()23123(14732)2222n n n T b b b b n =+++⋯+=+++⋯+-++++⋯+
()212(132)212
n n n -+-=+- 1232222
n n n +=+-- 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
19． (1)1；(2) 2a ≥- (3)见解析
【解析】
【分析】
（1）解方程()0f x =可得零点；
（2）()0f x ≥恒成立，可分离参数得22a x ≥-，这样只要求得22x -在[1,)+∞上的最大值即可； （3）注意到()g x 的定义域，不等式()0>g x 等价于(1)(2)0x x a -->，这样可根据
2a 与0，1的大小关系分类讨论．
【详解】
（1）当2a =-时，2()2f x x x =-
令2()20f x x x =-
=得，1x =±，∵0x >，∴函数()f x 的零点是1 （2）()0f x ≥在(1,)+∞恒成立，即20a x x
+≥在(1,)+∞恒成立， 分离参数得：22a x ≥-，
∵(1,)x ∈+∞，∴222x -<-
从而有：2a ≥-.
（3）22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x
-++--=+-+== 令()0g x =，得11x =，22
a x =， 因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以()0>g x 等价于(1)(2)0x x a -->
（1）当02
a ≤，即0a ≤时，20x a ->恒成立，原不等式的解集是(1,)+∞ （2）当012a <
<，即02a <<时，原不等式的解集是0,(1,)2a ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ （3）当12
a =，即2a =时，原不等式的解集是(0,1)(1,)⋃+∞ （4）当12a >，即2a >时，原不等式的解集是(0,1)(,)2
a +∞ 综上所述：当0a ≤时，
原不等式的解集是(1,)+∞ 当02a <<时，原不等式的解集是(0,)(1,)2a
+∞
当2a =时，原不等式的解集是(0,1)(1,)⋃+∞
当2a >时，
原不等式的解集是(0,1)(,)2
a +∞ 【点睛】 本题考查函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查解含参数的一元二次不等式．其中不等式恒成立问题可采用参数法转化为求函数的最值问题，而解一元二次不等式，必须对参数分类讨论，解题关键是确定分类标准．解一元二次不等式的分类标准有三个方面：一是二次的系数正负或者为0问题，二是一元二次方程的判别式的正负或0的问题，三是一元二次方程两根的大小关系．
20．（143（2）34 【解析】
【分析】
（1）先求出BAC S ，然后由PA ⊥底面ABC 得13B ABC C P A V S PA -=⋅，即可算出答案
（2）取PB 的中点E ，可得ADE ∠是异面直线BC 与AD 所成的角（或其补角），然后在ADE 中，用余弦定理即可算出cos ADE ∠
【详解】
（1）因为2BAC π
∠=，2AB =，23AC =
所以1223232BAC S =⨯⨯= 因为PA ⊥底面ABC ，2PA = 所以1143232333
B B A
C P A C V S PA -=⋅=⨯⨯= （2）如图，取PB 的中点E ,连接,DE AE ，则//DE BC
所以ADE ∠是异面直线BC 与AD 所成的角（或其补角）
在ADE 中，2,2,2DE AE AD ===
所以由余弦定理得4423cos 2224
ADE +-∠==⨯⨯ 所以异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值大小为
34
【点睛】 求异面直线所成的角是将直线平移转化为相交直线所成的角，要注意异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 21．（1）7170x y +-=；（2）()3,2.
【解析】
【分析】
（1）根据A 、B 两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）根据l 的倾斜角和过点P ，得到l 的方程，再与直线AB 联立，得到交点坐标.
【详解】
（1）因为点(4,3)A -，(3,2)B ，
所以()231347
AB k -==---， 所以AB 方程为()1237
y x -=-
-， 整理得7170x y +-=；
（2）因为直线l 经过(0,1)P -，且倾斜角为4
π， 所以直线l 的斜率为tan 14
πk ==， 所以l 的方程为1y x +=，整理得10x y --=，
所以直线l 与直线AB 的交点为107170
x y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩
， 所以交点坐标为()3,2.
【点睛】
本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.
22． (1) 300人；(2)
35 【解析】
【分析】
（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；
（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率．
【详解】
⑴40名学生中成绩不低于90分的学生人数为15人；
所以估计该年级成绩不低于90分的学生人数为1580030040
⨯= ⑵分别记男生为1,2,3号，女生为4,5号，从中选出2名学生，有如下基本事件
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）
因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件A ），
即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5） ∴63()105
P A =
= 【点睛】
本题考查频率分布表以及古典概型的概率计算，，考查学生的运算能力，属于基础题．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，()20.3P X >=，则()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8
2．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
3．在边长为(a 2)a >的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．235a B ．225a C ．25a D ．35
a 4．已知a
b >，且0ab ≠，则下列不等式正确的是（） A ．22a b > B ．22a b > C ．||||a b > D ．
11a b < 5．右边茎叶图记录了甲、乙两组各十名学生在高考前体检中的体重（单位：kg ）.记甲组数据的众数与中位数分别为11,x y ，乙组数据的众数与中位数分别为22,x y ，则（ ）
A ．1212,x x y y >>
B ．1212,x x y y ><
C ．1212,x x y y <>
D ．1212,x x y y <<
6．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120s = ，那么110a a + 的值是 ( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
7．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
8．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）
A ．85，85
B ．85，86
C ．85，87
D ．86，86
9．已知1tan 42πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝
⎭等于（ ） A ．310 B ．35 C 25 D ．25 10．已知各项均为正数的等比数列{}n b ，若3716b b ⋅=，则5b 的值为（ ）
A ．-4
B ．4
C ．4±
D ．0
11．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表： 考试次数x
1 2 3 4 所减分数y
4.5 4 3 2.5
显然所减分数y 与模拟考试次数x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）
A ．y=0.7x+5.25
B ．y=﹣0.6x+5.25
C ．y=﹣0.7x+6.25
D ．y=﹣0.7x+5.25
12．已知函数f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当x ∈(-∞，0]时，()()0f x xf x '+<成立，若
0.60.622112(2),ln 2(ln 2),(log )(log ),88
a f
b f
c f =⋅=⋅=⋅则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a> b> c B ．c>a>b C ．b>a>c D ．c>b>a
二、填空题：本题共4小题
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12001a a +=，则200S =_____
14．两平行直线1:310l ax y ++=与2:(2)10l x a y +--=之间的距离为_______．
15．辗转相除法，又名欧几里得算法，是求两个正整数之最大公约数的算法，它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．下图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法．若输入m 、n 的值分别为203、116，则执行程序后输出的m 的值为______．
16．若223312cos 2cos 2cos ααα+++99992cos 0α++=，()0,απ∈，则α=__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间x 与每天获得的利润y （单位：万元）的有关数据． 星期x
星期2 星期3 星期 4 星期5 星期6 利润y 2 3 5 6 9
（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+； （2）估计星期日获得的利润为多少万元．
参考公式： ()()()1122211n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx
==
==⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18．在已知数列{}n a 中，112
a =，()*12n n a n a n N ++=∈. （1）若数列{}n
b 中，11n n n b a a +--=，求证：数列{}n b 是等比数列；
（2）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，是否存在实数λ，使得数列n
n S T n λ+⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 19．（6分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，…，[]90,100后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；
（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；
（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率．
20．（6分）已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()2*n S n
n N =∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 21．（6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于*n N ∈，()11n n q S qa a -=-，其中q 是常数. （1）试讨论：数列{}n a 在什么条件下为等比数列，请说明理由；
（2）设132a =，且对任意的*n N ∈，2log n n b a =有意义，数列{}n b 的前n 项和为n T .若1919T =，求n T 的最大值.
22．（8分）已知向量()2,1a =-，(),b x y =．
（1）若x ，y 在集合{}1,2,3,4,5,6中取值，求满足0a b ⋅>的概率；
（2）若x ，y 在区间[]
1,6内取值，求满足0a b ⋅>的概率．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
随机变量X 服从正态分布(),4N a ，所以曲线关于x a =对称，且()0.5P X a >=，由
()10.5P X >=，可知1a =，所以()()020.3P X P X <=>=，故选B.
2．B 【解析】 【分析】
将{}n a 的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断n S 的最大最小值得到答案. 【详解】
数列{}n a 的通项公式2
1021(3)(7)n a n n n n =-+-=---
当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <
n S 最大值为6S 或7S m S 最小值为2S 或3S
n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++=
故答案为B 【点睛】
本题考查了前n 项和为n S 的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键. 3．A 【解析】 【分析】
通过几何概型可得答案. 【详解】 由几何概型可知235a π
=，则235
a π=. 【点睛】
本题主要考查几何概型的相关计算，难度中等. 4．B
【解析】 【分析】
通过反例可排除,,A C D ；根据2x
y =的单调性可知B 正确. 【详解】
当1a =-，2b =-时，22a b <，a b <，则,A C 错误； 当1a =，1b =-时，
11
a b
>，则D 错误； 由2x
y =单调递增可知，当a b >时，22a b >，则B 正确 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题. 5．D 【解析】
甲组数据的众数为x 1＝64，乙组数据的众数为x 2＝66，则x 1<x 2；甲组数据的中位数为y 1＝64+66
2
＝65，乙组数据的中位数为y 2＝66+67
2
＝66.5，则y 1<y 2. 6．B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质：若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+ 即可得. 【详解】
()10110110512024
S a a a a =+=∴+=
故选B 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和的求解和性质的应用，是基础题型，解题中要注意认真审题，注意下标的变化规律，合理地进行等价转化. 7．C 【解析】 【分析】
根据()()f x f x -=，求出向量,a b 的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案． 【详解】
由题意，函数2
2
2
2
()()2f x ax b a x b a bx =+=++⋅， 又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，
则2
2
2
()2f x a x b a bx -=+-⋅，即2
2
2
2
2
2
22a x b a bx a x b a bx ++⋅=+-⋅， 可得0a b ⋅=，所以a b ⊥，
若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2
2
2
2
()()f x ax b a x b =+=+， 则()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，
所以“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的充要条件． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】
根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可. 【详解】
由图可知，甲同学成绩的众数是85
；乙同学的中位数是8587
862
+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题. 9．D 【解析】 【分析】
通过化简可得2sin 22cos sin 4αα
απα-=⎛⎫- ⎪⎝
⎭，再根据1tan 42πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，可得tan
3α=-，利用同角三角函数可得cos α，则答案可得
. 【详解】
解：222cos sin cos sin 22cos 4os sin αααα
π--===⎛⎫- ⎪⎝⎭，
又tan 11tan 41tan 2
πααα+⎛⎫
+
==- ⎪
-⎝
⎭，得tan 3α=-， 即
sin 3cos αα
=-，又22sin cos 1αα+=，且2π
απ<<，
解得10
cos α=-
， 25
22cos α∴=-
， 故选：D. 【点睛】
本题考查三角恒等变形的化简和求值，是中档题. 10．B 【解析】 【分析】
根据等比中项可得2
375b b b ⋅=，再根据0n b >，即可求出结果.
【详解】
由等比中项可知，2
37516b b b ⋅==，又0n b >，所以54b =.
故选:B. 【点睛】
本题主要考查了等比中项的性质，属于基础题. 11．D 【解析】
试题分析：先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论． 解：先求样本中心点，
，
由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意 故选D ．
点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题． 12．B 【解析】 【分析】
根据已知条件判断出函数()f x 的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出()()F x x f x =⋅的单调性，结合()F x 的奇偶性比较出,,a b c 的大小关系.
【详解】
由于()()f x f x =--，所以()f x 为奇函数.构造函数()()F x x f x =⋅，依题意，当0x ≤时，
()()()''0F x f x x f x =+⋅<，所以()F x 在区间(],0-∞上递减.由于
()()()()()F x x f x x f x F x -=-⋅-=⋅=，所以()F x 为偶函数，故()F x 在[)0,+∞上递
增.()()()3222
2111(log )(log )log log 23388
8c f F F F F -⎛⎫=⋅===-= ⎪⎝⎭
.()0.6
2a F =，()ln 2b F =.由于0.60ln 21223<<<<<，所以c a b >>. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题 13．1． 【解析】 【分析】
利用等差数列前n 项和公式能求出200S 的值． 【详解】
解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12001a a +=，
()2001200200
1002
S a a ∴=
+=． 故答案为：100． 【点睛】
本题考查等差数列前200项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．
3
【解析】 【分析】
先根据两直线平行求出a ，再根据平行直线间的距离公式即可求出． 【详解】
因为直线1l 的斜率为13a k =-，所以直线2l 的斜率存在，212
k a =--， 即123
a
a -
=--，解得3a =或1a =-．
当3a =时，1:3310l x y ++=，2:10l x y +-=即3330x y +-=， 故两平行直线的距离为
3
d =
=
． 当1a =-时，1:310l x y --=，2:310l x y -
-=，两直线重合，不符合题意，应舍去． 故答案为：3
． 【点睛】
本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题． 15．29 【解析】 【分析】
程序的运行功能是求203m =，116n =的最大公约数，根据辗转相除法可得m 的值． 【详解】
由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求m 、n 的最大公约数， 当输入的203m =，116n =，
203111687=⨯+； 11618729=⨯+， 873290=⨯+，
可得输出的29m =． 【点睛】
本题主要考查了辗转相除法的程序框图的理解，掌握辗转相除法的操作流程是解题关键． 16．
23
π 【解析】 【分析】
由等比数列前n 项公式求出已知等式左边的和，再求解． 【详解】 易知2
π
α=
不合题意，∴cos 0α≠，
若2cos 1α=，则223312cos 2cos 2cos ααα+++99992cos 100α++=，不合题意，
∴2cos 1α≠，
2
2
3
3
12cos 2cos 2cos ααα+++100
9999
1(2cos )2cos 012cos ααα
-++=
=-，
∴2cos 1α=-，1cos 2
α=-，又()0,απ∈，∴23πα=．
故答案为：23
π
． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式，解题时需分类讨论，首先对2cos 0α=的情形进行说明，然后按
2cos α是否为1分类．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．见解析 【解析】 【分析】
（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程。

（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的x 的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值。

【详解】
（1）由题意可得23456
45
x ++++=
=，
23569
55
y ++++=
=，
因此，2233455669545
1.749162536516b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=
=++++-⨯， 所以5 6.8 1.8a y bx =-=-=-，- 所以 1.7 1.8y x =-；
（2）由（1）可得，当7x =时， 1.77 1.810.1y =⨯-=（万元）， 即星期日估计活动的利润为10.1万元。

【点睛】
关键点通过参考公式求出a ，b 的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值。

18．（1）见解析；（2）存在，2λ=. 【解析】 【分析】
（1）利用等比数列的定义结合数列{}n a 的递推公式证明出1
n n
b b +为非零常数，即可证明出数列{}n b 为等比数列，并可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）求出数列{}n a 的通项公式，利用分组求和法与等比数列的求和公式分别求出数列n S 、n T ，设
n n
S T xn y n
λ+=+，列出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可. 【详解】
（1）在数列{}n a 中，112
a =
，()*12n n a n a n N ++=∈，则1213
24a a +==， 1121111112211n n n n n n n n n n a n a n b a a b a a a a +++++++++----==----()111
11212
n n n n a a a a ++--==
--， 且211314--
=-=b a a ，∴数列{}n b 是以34-为首项，1
2
为公比的等比数列， 1
1
3113422n n n b -+⎛⎫
⎛⎫∴=-⋅=-⋅ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
；
（2）1
1111322n n n n n n a n b a a a +++⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭
，
整理得1232n
n n a ⎛⎫--=-⋅ ⎪⎝⎭，1232n
n a n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭， ()()3111133
223122212n n n n n n n S ⎛⎫- ⎪-+--⎝⎭∴=+=+--，
1311334212212n n n T +⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
==-+-，
所以，()23131331311312222222n
n n n n n n n n S T n n
n
λλλ--⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+---+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭=
=， 若数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
为等差数列，可设n n S T xn y n λ+=+，则2n n S T xn yn λ+=+， 即22
1331312222n n n xn yn λ⎛⎫⎛⎫-+--=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则12323302x y λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得12322x y λ⎧
=⎪⎪
⎪=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
， 因此，存在实数2λ=，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列.
【点睛】
本题考查等差数列的证明、数列求和以及等差数列的存在性问题，熟悉等差数列的定义和通项公式的结构
是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 19．（1）6人；（2）75%；（3）2
5
. 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为600.16⨯=人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在[
)50,60这组的人数是9人，由古典概型概率公式可得所求概率为62155
=。

试题解析：
（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：
()10.01520.030.0250.005100.1-⨯+++⨯=，
所以低于50分的人数为600.16⨯=（人）．
（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为()0.0150.030.0250.005100.75+++⨯=， 故抽样学生成绩的及格率是75%，
于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%． （3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人， 成绩在[
)50,60这组的人数是0.01510609⨯⨯=（人），
所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法， 故所求概率为62
155
P =
=． 20．（1）(
)*
21,n a n n N =-∈（2）n
21
n
T
n =
+ 【解析】 【分析】
（1）利用当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-即可求解 （2）由裂项相消求解即可 【详解】
（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-．所以可得(
)*
21,n a n n N =-∈.
（2）由题意知，可设111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
则n 11122121
n T n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭. 【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，考查裂项相消求和，注意相消时提出系数和剩余项数，是中档题 21．（1）当10a ≠，且0q ≠时，数列{}n a 一定为等比数列.理由见解析；（2）2
303
【解析】 【分析】
（1）利用等比数列的定义证明数列为等比数列． （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值． 【详解】
解：（1）对于*n N ∈，2n ≥，()11n n q S qa a -=-，①
()1111n n q S qa a ---=-.②
①减②得()11n n n q a qa qa --=-，即1n n a qa -=，*n N ∈，2n ≥. 当10a ≠，且0q ≠时，数列{}n a 一定为等比数列.
（2）由（1）得1
32n n a q -=，()22log 51log n n b a n q ==+-，
由1919T =，得21918
519log 192
q ⨯⨯+
=， 即24
log 9
q =-（或492q =）
由()22log 51log 0n n b a n q ==+-≥可解得12.25n ≤. 所以，()12max 121142
51230293n T T ⨯⎛⎫==⨯+⨯-= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 22．（1）16
（2）4
25 【解析】 【分析】
（1）首先求出b 包含的基本事件个数，由0a b ⋅>，由向量的坐标运算可得2y x >，列出满足条件的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式即可求解.
（2）根据题意全部基本事件的结果为{}
,16,16x y x y Ω=≤≤≤≤，满足0a b ⋅>的基本事件的结果为
(){},16,16,20A x y x y x y =
≤≤≤≤-+>，利用几何概型概率计算公式即可求解.
【详解】
（1）x ，y 的所有取值共有6636⨯=个基本事件．由0a b ⋅>，得2y x >，满足0a b ⋅>包含的基本事。