〖苏科版〗高三数学复习试卷第三次联考文科数学试题

〖苏科版〗高三数学复习试卷第三次联考文科数学试题
创作人：百里航拍 创作日期：2021.04.01
审核人： 北堂中国 创作单位： 北京市智语学校
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．已知U ＝{y|y ＝lnx ，x>1}，1|,3A y y x x ⎧
⎫
==
>⎨⎬⎩
⎭
，则∁U A ＝( ) A. )31,0( B.()0，＋∞ C. ),31+∞⎢⎣⎡ D.(]－∞，0∪),3
1
+∞⎢⎣⎡
2．已知x 为实数，若复数2
(1)(1)z x x i =-++为纯虚数，则3
1x i i
++的值为( )
A ．1
B ．-1
C ．i
D ．i -
3．已知在等比数列}{n a 中，4
5
,106431=+=+a a a a ，则等比数列}{n a 的公比q 的值为( ) A ．
41B ．2
1
C ．2
D ．8 4．设22222
log 3log 3,log 9log 3,log 3,a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系是( )
A ．a b c =<
B ．a b c =>
C ．a b c <<
D ．a b c >> 5．在ABC ∆中，已知DC BC 3=，则AD =( )
A ．3
1
32+B ．3132-C ．1233AB AC +D ．1233AB AC - 6．直线l 经过点A （2,1）和B （1，2
m ）（ ）m R ∈，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )
A ．0απ≤<
B ．04πα≤≤或2π
απ
<<
C ．04πα≤≤
D ．42ππα≤<或2π
απ<<
7．已知命题p ：函数2
3x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(－2,4)点；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是( )
A ．p q ∧ B. p q ⌝∧⌝ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∧
8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进行防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（ ）.（π取3.14） A. 1.13千克 B. 1.45千克 C. 1.57千克 D. 1.97千克
9.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘
建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．
1629B ．815C ．16
31
D ． 12
10.设F 1，F 2是双曲线124
2
2
=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且||4||321PF PF =，则21F PF ∆的面积等于（ ） A ． 24B ．38C ．24D ．48
11．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.2]=1，[－1.2]=－2；则函数f(x)＝[x [x]]在(－1,1)上( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是增函数
12.已知a ＞0，且a ≠1，则函数2
()(1)2x
f x a x a =+--的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 与a 有关
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．若向量()cos ,1a α=，()1,2tan b α=，且//a b ，则sin α=． 14．设,0,9x y x y >+=，则15x y ++
+的最大值为．
15．点(,)a b 在两直线2y x =-和4y x =-之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =
22222a ab b a b -++-的最小值与最大值的和为．
16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点在一个球面上，则该球的表面积为_______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）
已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，且2sin()3.3
a C
b π
+=
（1）求角A 的值；
（2）若AB=3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积. 18、（本小题满分12分）
已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项12a =，n S 为其前n 项和，且312253S S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，1
1
n n n c b b +=
，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求4
n
T n +的最大值. 19、（本小题满分12分）
如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂
直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．
（1）求直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值； （2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？ 若存在，求出
EF
EA
；若不存在，说明理由． 20、（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（-3,0），F 2（3,0），直线y=kx 与椭圆交于A 、B 两
点。

（1）若三角形AF 1F 2的周长为436+，求椭圆的标准方程； （2）若|k|>
2
，且以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e 的取值范围。

21. （本小题满分12分）
已知函数()2
2ln f x x x =-+，函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点． （1）求实数a 的值；
（2）若对于121,,3x x e ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
（e 为自然对数的底数），不等式
()()1211f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。

(1)求证：AD 的延长线平分CDE ∠；
(2)若0
30BAC ∠=，△ABC 中BC 边上的高23+求△ABC 外接圆的面
积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为122x t
t
⎧⎪⎨⎪⎩＝＋y ＝（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲
线C 的极坐标方程是ρ＝
2
sin sin θ
θ
1－． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；
（2）若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数1
()1|3|2
f x x x =-+
- （1）求不等式()4f x >的解集；
B A
D C
F
E
（2）若不等式()f x ≤1()2
a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.
“六校联盟”高三第三次联考
参考答案及评分标准
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
D
B
B
C
B
C
B
A
C
C
B
13、
1
2； 14、30； 15、32；16、273
a π 17. 解：(Ⅰ)由
b C a 33sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π,变形为B C C A sin 33sin cos 3cos sin sin 2=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+ππ
()C A C A C A +=+sin 3cos sin 3sin sin ………………2分
C A C A sin cos 3sin sin = ,因为0sin ≠C ,所以A A cos 3sin = 3tan =A ………………4分
又()3
,0π
π=
∴∈A A ………………6分
（Ⅱ）在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，3
π
=
A
利用余弦定理，222
cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+,解得4=AD ， ……………8分
又D 是AC 的中点8=∴AC ,36sin 2
1
=⋅⋅⋅=∆A AC AB S ABC ………………12分
18. 解：（1）312253S S S =+，∴2
1111112()53()a a q a q a a a q ++=++，
………………1分
化简得2
260q q --= …………………………………………………………2分
解得：2q =或3
2
q =-
…………………………………………………………3分 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以3
2
q =-不合题意………………………4分
所以{}n a 的通项公式为：2n
n a =.…………………………………………5分
（2）由2log n n b a =得2log 2n
n b =n = …………………………………………6分
∴11n n n c b b +=
111
(1)1n n n n ==-
+- ……………………………7分 ∴1111112231n T n n =-+-+
+-+111n =-+1
n
n =+ …………………………8分 4(1)(4)n T n
n n n =+++254n n n =++145
n n
=++ ………………9分 445259n n n n ++≥⋅+=，当且仅当4
n n =，即2n =时等号成立……………10分
∴
11
4
95n n
≤++ …………………………………………………………11分 ∴4
n T
n +的最大值是19……………………………………………12分
19.解：（1）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥, 所以BC ⊥平面ABE ………1分 则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角 ………2分
设BC=a ，则AB=2a ，a 2=BE ，所以a 3=CE , ………3分 直角三角形CBE 中，33
3
1sin =
==
∠CE CB CEB ………4分 ………………5分
即直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值为． ………………6分
（3）解：存在点F ，且
1
3
EF EA =时，有EC // 平面FBD ．证明如下：………………7分 连结AC ，交BD 于点M ，在AE 上取点F ，使1
3
EF EA =，连结MF 、BF 、DF
因为AB ∥CD ，，
所以，………………8分 所以，………………9分
因为
1
3
EF EA =，所以
………………10分 ⊄EC 平面FBD ，所以EC // 平面FBD ．
即点F 满足1
3
EF EA =时，有EC // 平面FBD ． ………………12分
20.解：（Ⅰ）由题意得，得
. ……2分
结合
，解得
，
. ……3分
所以，椭圆的方程为. ……4分
（Ⅱ）由得.
设.所以
，……6分
易知，， ……7分
因为，
，
所以. ……8分
即
， ……9分
将其整理为. ……10分
因为，所以，即
所以离心率. ……12分
21.解：（1），…………………………1分
由得；由得.
在上为增函数，在上为减函数. ……………………2分
x 是函数的极值点.…………………………………………3分
1
，解得.……………………………………………4分
经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. ……5分
（2），易知，
即. ……………………6分
………7分
由（1）知.
当时，；当时，.
故在上为减函数，在上为增函数. ………………8分
，而.
. …………………9分
当，即时，对于，不等式恒成立
.
，.………10分当，即时，对于，不等式恒成立
.
，
. ………………………………11分
综上，所求实数的取值范围为
.…………………12分
，
AC ＝AB ，又=四点共圆，D ，C ，B ，A ∵）如图，( 1 解：22. 分
2…………，，且∴ 分
4…………，，故，对顶角∴ 故AD 的延长线平分CDE ∠。

……………………5分
( 2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC , …………6分
分
7…………，，
OCA =
＝
OAC ，由题意
OC 连接 ∴
，设圆半径为r ，则
，…………9分
分
10…………………………… 。

，故外接圆面积为
r= 2 得： 24.(1)函数35 3221
1() 1<32
235 122x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪
⎪=+<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩
，…………………3分
方程()2f x =的根为11x =-，213
3
x =…………………4分
由函数()f x 的图像知()2f x >的解集为13
{|1}3
x x x <->或…………………………5分
（2）设1()()2g x a x =+，()g x 表示过点1
(,02
-），斜率为a 的直线，…………………6分
1
()()2
f x a x ≤+的解集非空即()y f x =的图像在()
g x 图像下方有图像，
或与()g x 图像有交点， …………………7分
由图像可知34
27
a a <-≥或…………………………10分
创作人：百里航拍 创作日期：2021.04.01
审核人： 北堂中国 创作单位： 北京市智语学校。