2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.2空间线面关系的判定讲义苏教版选修2_1

3.2.2 空间线面关系的判定
向量法判定线面关系
设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，
n 2，则有下表：
否垂直？
[提示] 垂直
1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则
( )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]
2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
6，－1，13，则
平面α与β的位置关系是________．
平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]
3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与
l 2的位置关系是________．
垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．
垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]
【例1】 如图所示，在正方体ABCD ­A
1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为
DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．
[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→
为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，
E ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，1，12，
∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →
， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，
又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
1．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.
[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD
1所在的直线为x 轴、
y
轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，
C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23
a ，23
b ，
c ，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，b 3，23c .
∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→
＝(－a ，b ，c )，
∴FE →＝13
AC 1→.
又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.
在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．
【例2】 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . [思路探究]
[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
0，1，12，N ⎝
⎛⎭
⎪⎫12
，1，1，于是DA 1
→
＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，0，12.
设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ⊥DA 1→，
n ⊥DB →，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，
n ·DB →＝x ＋y ＝0，
取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，
∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．
又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .。