成都市九年级数学下册第二单元《相似》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）
A．B．
C．D．
2．如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN 并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
3．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图象相交于A、B两
点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y
轴于点D，若
5
2
BC
BD
=，则△ABC的面积为（）
A．12 B．10 C．9 D．8
4．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，EF AE
⊥交CD边于
点F ，已知4AB =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．55
C ．3
D ．2 5．如图，已知D 、
E 分别为AB 、AC 上的两点，且DE ∥BC ，AE=2CE ，AB=12，则AD 的长
为（ ）
A ．4
B ．6
C ．5
D ．8 6．若234a b c ==，则a b b c +-的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．-5 D ．-15
7．如图△BCD 中，BE ⊥CD ，AE ＝CE=3，BE ＝DE=4．BC=5，DA 的延长线交BC 于F ，则AF=（ ）
A ．1
B ．0.6
C ．1.2
D ．0.8
8．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:4
D ．2:3
9．△ABC 与△DBC 如图放置，已知，∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝60°，BD ＝CD ＝22，将△ABC 沿BC 方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C 边恰好经过点D ，则平移的距离是（ ）
A ．1
B ．22﹣2
C ．23﹣2
D ．26﹣4 10．已知线段a 、b 有52a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1 B ．7:2 C ．7:3 D ．3:7
11．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB
=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 12．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC 相
似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AC =，12BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且8DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则13
PA PB +
的最小值为________．
14．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．
15．如图，在ABC 中，//DE BC ，若9AB =，8AC =，3AD =，则EC 的长是______．
16．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是
_____________．
17．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点
P Q 、在DC 边上，且14
PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________
18．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．
19．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．
20．在ABC 中，D 为AB 边上一点，且BCD A ∠=∠.已知22BC =，3AB =，BD =__________．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-+，当Q 为BF 中点时，53
y =．
（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由：
（2）求DE ，BF 的长；
（3）若30AED ∠=︒
①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；
②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值． 22．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形ABCD 是“友爱四边形”，对角线AC 是“友爱线”，同时也是BCD ∠的角平分线，若ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，求友爱四边形ABCD 的周长．
（3）如图3，在ABC 中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC 的面积为33，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，求BD 的长．
23．如图1，ABC 与ADE 中，90ACB AED ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，EAC DAB ∠=∠．
（1）求证：BAD CAE ∽；
（2）已知4BC =，3AC =，32AE =
．将AED 绕点A 旋转，当C 、E 、D 三点共线时，如图2，求BD 的长．
24．如图，已知O 的半径长为1，AB 、AC 是O 的两条弦，且=AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ．
（1）求证：OAD ABD ∽△△． （2）当OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离．
（3）记AOB 、AOD △、COD △的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．
25．如图1，在ABC 中，10AB AC ==，3tan 4
B =，点D 为B
C 边上的动点（点
D 不与点B ，C 重合）．以D 为顶点作AD
E B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作A
F AD ⊥交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）求证：ABD DCE ∽△△ ；
（2）当//DE AB 时（如图2），求AE 的长；
（3）点D 在BC 边上运动的过程中，当AEF 是等腰三角形时，直接写出BD 的长． 26．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是O 上两点，且AD 平分CAB ∠，作DE AB
⊥于E ．
（1）求证：//AC OD ；
（2）求证：
1
2
OE AC
．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】
解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，，所以三
边之比为1：2
A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，1：2
C、三角形的三边分别为2，32：3
D44，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．
2．B
解析：B
【分析】
由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：FC的值．
【详解】
解：由题意可得DN=NM=MB，AB//CD，AB//BC
∴△DFN∽△BEN，△DMC∽△BME，
∴DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2，
又∵AB=DC，
∴DF：AB=1：4，
∴DF：FC=1：3
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 3．B
解析：B
【分析】
过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM
BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S
．
【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，
则有//BM CN ，
∴
BMD CND ∽，又52
BC BD = ∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上，
∴2210223103k x x k x x
⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112x k =⎧⎨=⎩
， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．
设直线BC 的解析式为y=mx+n ，
则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩
，
解得：22m n =⎧⎨=⎩
， ∴直线BC 解析式为22y x =+，
∴点()0,2D ，
∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，
∴点()0,10F
∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△
又∵:2:5ABD ABC S S =△△， ∴55S 4102
2
ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2BE CE ==，
∵90AEF B C ∠=∠=∠=︒，
∴BAE AEB AEB CEF ∠+∠=∠+∠，
∴BAE CEF ∠=∠，
∴AEB EFC ∆∆∽，
∴
AB BE CE CF =， ∴422CF
=， ∴1CF =，
故选：A ．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5．D
解析：D
【分析】
先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入后得出AD=
23
AB ，代入求出即可． 【详解】
解：∵DE ∥BC ， ∴
AD AE AB AC
=， ∵AE=2CE ， ∴
2223
AE CE AC EC EC ==+ 又AB=12， ∴AD=
23
AB=8， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键． 6．C
解析：C
【分析】 设
234
a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【详解】 解：设
234a b c k ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-k k
=﹣5， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据条件和判断Rt △CEB ≌Rt △AED ，然后得到角相等，证明△BEC ∽△BFA ，利用比例关系计算．
【详解】
解：∵AE=3，BE=4
∴BA=BE-AE=1
∴
在Rt △CEB 与Rt △AED 中AE CE AD CB =⎧⎨=⎩
∴Rt △CEB ≌Rt △AED
∴∠EBC=∠BAF
∵∠ADE+∠EAD=90°，∠BAF=∠EAD
∴∠EBC+∠BAF=90°
∵∠BEC=∠BFA=90°
∴△BEC ∽△BFA ∴AF BA CE BC =即135
AF = ∴AF=0.6
故选：B
【点睛】 本题考查相似和全等的结合，通过全等得到角关系，然后证相似得到比例关系计算边长即可．．
8．B
解析：B 【分析】
过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFG DBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得
13
BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】
解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G
∵D 是BF 的中点，
∴DB DF =
∵//FG BC
∴DFG DBE ∆∆
∴1FG DF BE DB
== ∴FG BE =
又∵//FG BC
∴F C
EC G AF A = ∵CF 2AF =
∴3AC AF =
∴13
BE GF AF CE CE AC === 故选：B ．
【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．
【详解】
解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．
∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，
∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，
∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，
∴∠ACB ＝30°，
∴AC=2AB ，
∵AB 2+42=(2AB)2， ∴A′B′=AB 43， ∵DJ//A′B′，
∴DJ A B ''＝C J C B
'''， ∴434C J '， ∴C′J ＝3
∴JB′＝4﹣3
∴BB′＝2﹣(4﹣3＝3﹣2.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线
分线段成比例定理．
10．C
解析：C
【分析】
把比例式化成乘积式求出ab 之间的关系即可.
【详解】 ∵
52
a b a b +=- ∴2()5()a b a b +=- 解得37a b =
∴:7:3a b =
故选C.
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键. 11．B
解析：B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】
①在ADE 和ACB △中，AED B A A ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， ADE
ACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，
ADE ABC ∴，则条件②不能满足；
③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，
ADE ACB ∴，则条件③能满足；
④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：
AD DE AC BC
=， 对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，
∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得：AB＝22
31
+＝10，BC＝2，AC＝22
11
+＝2，
∴AC：BC：AB＝1：2：5，
A、三边之比为1：5：22，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：2：5，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为2：5：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：5：13，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形相似判定定理的应用，解答关键是应用勾股定理求出边长．
二、填空题
13．【分析】在BC上截取CF＝连接PFCPAF通过证明△ACP∽△PCF可得则PA+PB＝PA+PF当点A点P点F共线时PA+PB的最小值为AF由勾股定理可求解【详解】解：如图：在BC上截取CF＝连接P
解析：241 3
【分析】
在BC上截取CF＝4
3
，连接PF，CP，AF．通过证明△ACP∽△PCF，可得
3
1
=
PF
BP
，则
PA 1
3
+PB＝PA+PF，当点A点P，点F共线时．PA+
1
3
PB的最小值为AF，由勾股定理可求
解．【详解】
解：如图：在BC上截取CF＝4
3
，连接PF，CP，AF．
∵DE ＝8，P 是DE 的中点，
∴CP ＝12
DE ＝4 ∵5AC =，12BC =， ∵41132==CP BC ，4133
4==CF CP ； ∴
=CP CF BC CP
，且∠FCP ＝∠BCP ∴△PCF ∽△BCP ， ∴13
==PF CF BP CP ， ∴PF ＝
13BP ， ∵PA+13
PB ＝PA+PF ， 当点A 、点P 、点F 共线时，PA+
13PB 的最小值为AF
∴AF
．
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 14．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43
【分析】
根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12
AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，
∵E 为CD 的中点，
∴DE=12CD=12
AB ，
∴△ABP ∽△EDP ， ∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23
PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，
∴PQ ∥CD ，
∴△BPQ ∽△DBC ， ∴
23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43
， 故答案为：
43．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 15．【分析】先根据相似三角形的判定与性质可得从而可得AE 的长再根据线段的和差即可得【详解】解得则故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键
解析：163
【分析】 先根据相似三角形的判定与性质可得
AD AE AB AC =，从而可得AE 的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】
//DE BC ，
ADE ABC ∴，
AD AE AB AC
∴=，
9AB =，8AC =，3AD =，
398
AE ∴=， 解得83
AE =， 则816833
EC AC AE =-=-=， 故答案为：163
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16．（）cm 【分析】利用黄金分割的定义计算出AP 【详解】为的黄金分割点故答案为：（）cm 【点睛】此题考查黄金分割的定义黄金分割物体的较大部分等于与整体的
解析：（4）cm
【分析】
利用黄金分割的定义计算出AP .
【详解】 P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，
()11
8422
AP AB cm ∴==⨯=
故答案为：（4）cm.
【点睛】
. 17．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积
【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23
【分析】
连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．
【详解】
解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，AD BC =，
∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，
∴DM CN =，
∴四边形MNCD 是平行四边形，
∴//MN CD ，
∴OMN PQO ，
相似比是:4:1MN PQ =，
∴:4:1OE OF =， ∵152
EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQO
S =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 18．12【分析】先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD 再证明△AGF ∽△ADC 然后利用相似比求出CD 的长从而得到BC 的长【详解】解：∵ED 为△ABC 的中位线∴DE//ACDE=ADCE 为△ABC 的中
解析：12．
【分析】
先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD ，再证明△AGF ∽△ADC ，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC 的长．
【详解】
解：∵ED 为△ABC 的中位线，
∴DE//AC ，DE=
12
AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12DG DE AG AC ==
∴AG=2GD ，
∵GF ∥BC ，
∴△AGF ∽△ADC ， ∴23
GF AG CD AD ==， ∴CD=
32GF=32
×4=6， ∴BC=2CD=12．
故答案为12．
【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．
19．575【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC 根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ∴可设BC=x 则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】
解析：57.5
【分析】
由题意可得△AFB ∽△ADC ，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．
【详解】
解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ，∴
AB FB AC DC =， 可设BC=x ，则有
50.455x =+，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 20．【分析】证明得到对应线段成比例由此即可解决问题【详解】∵且∴∴又∵∴故填：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法利用相似三角形的性质解决问题属于中考常考题型 解析：83
【分析】
证明C ABC BD ∽△△，得到对应线段成比例，由此即可解决问题．
【详解】
∵BCD A ∠=∠，且ABC CBD ∠=∠，
∴C ABC BD ∽△△， ∴
BC AB BD CB ==，
又∵BC=∴8
3 BD=，
故填：8
3
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）DE∥BF，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ＜BE；②x=6或x=11 16
或
x=21 8
【分析】
（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）求出DE=10，MN=6，把
5
3
y=代入
5
10
3
y x
=-+，解得x=5，即NQ=5，得出
QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出
∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=BE=
DP=DF
时，求出BQ=64
5
，即可得出BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出
△CFQ∽△CDP，则FQ CF
DP CD
=，即可求出x=
11
16
；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，
得出△APE∽△AQB，则PE AE
BQ AB
=，求出AE=AB=，即可得出x=
21
8
，由图
可知，PQ不可能过点B．
【详解】
解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=1
2∠ADC，∠ABF=1
2
∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=1
2
×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，令y=0，得x=6，∴MN=6，
把y=5
3
代入
5
10
3
y x
=-+，
解得：x=5，即NQ=5，
∴QM=6-5=1，
∵Q是BF中点，
∴FQ=QB，
∵BM=2FN，
∴FN+5=1+2FN，
解得：FN=4，
∴BM=8，
∴BF=FN+MN+MB=18；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF=EM，EH∥CD，
∴∠MHB=∠C=90°，
∵∠A=90°，∠AED=30°
∴AD=1
2
DE=5，
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，
∴∠DFM=∠DEM=120°，
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，
∴∠MEB=∠FBE=30°，
∴DF=EM=BM=8，
∴MH=1
2
BM=4，
∴EH=8+4=12，
由勾股定理得：HB=2243
BM MH
-=，∴BE=2283
EH HB
+=，
当DP=DF时，
5
108
3
x
-+=，解得：x=
6
5
，
∴BQ=14-x=64
5
，
∵64
5
＜83，
∴BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y=0，则x=6；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，∴CF=1
2
BF=9，
∴CD=9+8=17，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQ CF
DP CD
=，
49
517
10
3
x
x
+
=
-+，解得：x=
11
16
；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴
PE AE
BQ AB
=，
由勾股定理得：2253
DE AD
-=
∴AB=8353133
=
∴
5
10(10)53
3
14133
x
x
--+
=
-
x=
21
8
，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x=6或x=
11
16
或x=
21
8
时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性
质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）四边形ABCE ；（2）13或10；（2）
【分析】
（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；
（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；
（3）AM ⊥BC ，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB 表示出AM ，根据三角形的面积公式得到BC ×AB ＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB ＝2，BC ＝1，AD ＝4，
∴由勾股定理得，AC
CD
AE ＝CE 5，
∴
BC AC ＝AB AE ＝AC CE ， ∴ABC ∽EAC ，
∴四边形ABCE 是“友爱四边形”， ∵
BC AC ≠AC CD ， ∴ABC 与ACD 不相似，
∴四边形ABCD 不是“友爱四边形”，
故答案为：四边形ABCE ；
（2）∵AC 平分∠BCD ，
∴∠ACB=∠ACD ，
当∠B=∠DAC 时，ABC ∽
DAC ， 则BC AC ＝AB AD ＝AC CD
， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴34＝2AD ＝4CD
， 解得AD ＝83，CD ＝163
， ∴友爱四边形ABCD 的周长为816321333
+++=； 当∠B=∠D 时，ABC ∽
ADC ， 则BC DC ＝AB AD ＝AC AC
＝1， ∵2AB =，3BC =，4AC =，
∴3DC ＝2AD ＝1， 解得AD ＝2，CD ＝3，
∴友爱四边形ABCD 的周长为233210+++=，
综上所述，友爱四边形ABCD 的周长为13或10；
（3）如图3，过点A 作AM ⊥BC 于M ，
则∠AMB ＝90°，
∵60ABC ∠=︒，
∴∠BAM ＝30°，
∴BM ＝12
AB ， ∴在Rt △ABM 中，AM ＝22AB BM -
＝221()2
AB AB - ＝3AB ， ∵
ABC 的面积为33， ∴12BC ×32
AB ＝33， ∴BC ×AB ＝12，
∵四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，且AB ≠BC ，
∴
ABD ∽DBC ∴AB BD BD BC
=， ∴BD 2＝AB ×BC ＝12，
∴BD ＝12＝23．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）532
BD =
（1）由已知可得CAB EAD ∠=∠，则A ABC DE ∽△△，可得AC AE AB AD
=，结合EAC BAD ∠=∠，则结论得证；
（2）由A ABC DE ∽△△，求出AB 、AD 的长，再结合BAD CAE ∽可得
90AEC ADB ∠=∠=︒，则BD 可求．
【详解】
（1）证明：∵EAC DAB ∠=∠，
∴CAB EAD ∠=∠．
∵90ACB AED ∠=∠=︒，
∴A ABC DE ∽△△． ∴AC AE AB AD
=． ∵EAC BAD ∠=∠，
∴BAD CAE ∽．
（2）∵90ACB ∠=︒，4BC =，3AC =，
∴5AB ===．
∵A ABC DE ∽△△， ∴
AC AB AE AD
=． ∴52AB AE AD AC ⋅==． 将AED 绕点A 旋转，当C 、E 、D 三点共线时，90AEC ∠=︒，
∵BAD CAE ∽，
∴90AEC ADB ∠=∠=︒．
∴BD === 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法及相似性质是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）BC =；（3）12
OD =
． 【分析】
（1）由△AOB ≌△AOC ，推出∠C=∠B ，由OA=OC ，推出∠OAC=∠C=∠B ，由
∠ADO=∠ADB ，即可证明△OAD ∽△ABD ；
（2）如图2中，当△OCD 是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；
（3）如图3中，作OH ⊥AC 于H ，设OD=x ．想办法用x 表示AD 、AB 、CD ，再证明AD 2=AC•CD ，列出方程即可解决问题；
解：（1）在AOB 和AOC △中，
OA OA AB AC OB OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴AOB AOC △≌△，C B ∴∠=∠，
又∵OA OC =，OAC C B ∴∠=∠=∠，
而ADO ADB ∠=∠，
OAD ABD ∴∽△△．
（2）如图：
①当90ODC ∠=︒时，
BD AC ⊥，OA OC =，AD DC ∴=，
BA BC AC ∴==，
ABC ∴是等边三角形，
在Rt OAD 中，
1OA =，30OAD ∠=︒，1122OD OA ∴
==， 223AD OA OD ∴=-=， 23BC AC AD ∴===．
②90COD ∠=︒，90BOC ∠=°，22112BC =+=．
③OCD ∠显然90≠︒，不需要讨论．
综上所述，3BC =2．
（3）如图：
作OH AC ⊥于H ，设OD x =，
DAO DBA ∽△△，
AD OD OA DB AD AB
∴==． 11AD x x AD AB
∴==+． (1)AD x x ∴=+，(1)x x AB +=
． 又2S 是1S 和3S 的比例中项，
2213S S S ∴=⋅， 而212S AD OH =⋅，112OAC S S AC OH ==⋅△，312
S CD OH =⋅⨯， 2111222AD OH AC OH CD OH ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即2AD AC CD =⋅，
又AC AB =，(1)(1)x x CD AC AD x x +=-=
+， 代入上式可得：210x x +-=， 求得512x =，或512
-， 经检验，51x -=
512
OD ∴=
． 【点睛】 本题属于圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
25．（1）见解析；（2）12532AE =
；（3）11或394或252
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，由外角的性质可得BAD CDE ∠=∠，可证
明结果；
（2）作AM BC ⊥于M ，证明C ABD BA ∽△△，可求出BD 的长，再由平行线分线段成比例计算即可；
（3）作AH BC ⊥于H ，证明BAD CDE △△，得到AD AB DE CD =，分类讨论即可； ； 【详解】 解：（1）证明：∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，
∵ADE CDE B BAD ∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，∴BAD CDE ∠=∠， ∴BAD DCE ∽△△；
（2）如图2中，作AM BC ⊥于M ．
图2
在Rt ABM 中，设4BM k =，∵3tan 4AM B BM
==，∴tan 3AM BM B k =⋅=， 由勾股定理，得到222AB AM BM =+，∴22210(3)(4)k k =+，∴2k =或－2（舍
弃），
∴6AM =，8BM =，
∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22216BC BM k ==⨯=，
∵//DE AB ，∴BAD ADE ∠=∠，∵ADE B ∠=∠，B ACB ∠=∠，
∴BAD ACB ∠=∠，
∵ABD CBA ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴AB DB CB AB =，∴2254
AB DB CB ==， ∵//DE AB ，∴
AE BD AC BC =，∴12532
AC BD AE BC ⨯== ． （3）作AH BC ⊥于H ，
∵AB AC =，AH BC ⊥，
∴182
BH CH BC ===， 由勾股定理可得：22221086AH AB BH -=-=，
∴3tan 4
==AH B BH ， ∴3tan 4
AF ADF AD ∠=
=， 设3AF x =，则AD=4x ，
由勾股定理可得：5DF x =
=， ∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
根据ADC BAD B ∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，
∴BAD CDE ∠=∠，
∴BAD CDE △△， ∴AD AB DE CD
=， ①当F 在DE 延长线，FA=FE 时，532DE x x x =-=， ∴1042x CD x
=
， ∴5CD =， ∴11BD BC CD =-=；
当EA=EF 时， 2.5DE EF x ==， ∴1042.5x CD
x =， ∴254
CD =， ∴394BD BC CD ==
； 当AE=AF 时，75DE x =， ∴410775x CD x =， ∴72
CD =， ∴252BD BC CD ==
； ②当F 在线段DE 上时，AFE ∠是钝角，
只有3FA FE x ==，则8DE x =，
∴10
48x CD x
=，
∴20CD =＞16，不符合题意；
∴当△AEF 时等腰三角形时，BD 的长为11或
394或252． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形综合，准确分析计算是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据圆的性质、等腰三角形的性质可得OAD ODA ∠=∠，再根据角平分线的性质可得OAD CAD ∠=∠，从而可得ODA CAD ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂直的定义可得90OED ∠=︒，然后根据平行线的性质可得DOE BAC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定与性质即可得证．
【详解】
（1）12
OA OD AB ==， OAD ODA ∠=∠∴， AD 平分CAB ∠，
OAD CAD ∴∠=∠，
ODA CAD ∴∠=∠，
//AC OD ∴；
（2）如图，连接BC ，
由圆周角定理得：90ACB ∠=︒，
DE AB ∵⊥，
90OED ∴∠=︒，
由（1）已证：//AC OD ，
DOE BAC ∴∠=∠，
在DOE △和BAC 中，90OED ACB DOE BAC
∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， DOE BAC ∴~，
12
OE OD AC AB ∴==， 12
OE AC ∴=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．。