高考数学大题题型通解(2021年整理)

高考数学大题题型通解(word版可编辑修改)
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高考数学：高考大题中的通解思维
当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。

数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致,能够形成通解,使我们在数学教学上大幅的简化,甚至不需要刻意的思考.我们借助一下历年高考真题,看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答.这里，我们全部采用05～08全国I 卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性：
（05全国卷）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x x
x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1≥a ，函数。

若对于任意总存在,
使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围。

解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做,这个分数必须拿到.根据定义得出以下式子：
解:（I)对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-='到这步几乎大家都会,题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令0)(='x f 解得.2
721==x x 或然后做表分析即可.【思考：凭什么令0)(='x f ？】 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表:
所以,当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2
1(∈x 时，)(x f 是增函数。

当]1,0[∈x 时,)(x f 的值域为［－4,－3]。

第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么?这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g （x ），x 1和x 0，并且给了范围，要我们求解a 的范围，要想求a 的值,就必须列出a 的表达式,a 的表达式想要列出，就必须从g （x ）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了.既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -='【思考:凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步,由于题目告诉我们1≥a ，所以当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g
因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈这个就是我们所要的缺失条件。

到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a 值,只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。

由于知道函数的增减性，就容易了,马上可列出a 的表达式:
又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即当]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈有人说这个不是表达式,还是个未知数,没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了(因为就这个没用上了）:
任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，
则
即
解得 351-≤≥a a 或； .2
3≤a 又1≥a ,故a 的取值范围为.2
31≤≤a 评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。

数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思
维来做,就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”.所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。

这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：
全部的思维步骤：
1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么
2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么
3、 利用“找后补”或“找前提"的方式弥补出这个差距
4、 最终联系条件得出这个结论
固定的解题步骤:
1、 直接根据课本定义得出结论(某类题注意取值分析）
2、 用求同存异的思想进行条件转换
3、 函数用式子变形推出结果（引申：若是证明,数列用数学归纳法）
我们来看下道题，是否能够套用以上结论：
（06全国卷)设数列{}n a 的前n 项的和
14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =
(Ⅰ）求首项1a 与通项n a ;
（Ⅱ)设2n
n n T S =,1,2,3,n =，证明:132n
i i T =<∑ 解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和Sn 公式，就能直接根据定义来做.
解： (Ⅰ)由 S n =43
a n －错误!×2n+1+错误!， n=1，2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 错误!a 1－错误!×4+错误! 所以a 1=2.
再由①有 S n －1=错误!a n －1－错误!×2n
+错误!， n=2，3，4,… ②
将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 错误!(a n －a n －1)－错误!×(2n+1－2n ),n=2,3， …做到这一步相信大家都会，那么我们要求a n 公式，通过这个式子,我们发现差距点在a n －a n －1，同时可以2n+1－2n 也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： a n +2n =4(a n －1+2
n －1）,n=2，3， … ， 这个就是我们所弥补的缺失点。

因而数列{ a n +2n }是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4
×4n －1= 4n ， n=1,2,3, …， 因而a n =4n －2n
, n=1，2,3， …， 做到这里,我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的a n 和得到的结果(a n 与a n －1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论.
第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明,但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。

看看直接求解的思路：
题目让干嘛就干嘛,别多想，直接用定义。

题目给的是2n
n n
T S =这个式子,那么必须求出Sn 。

(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 错误!×（4n －2n ）－错误!×2n+1 + 错误! = 错误!×(2n+1－1)（2n+1
－2) 【请思考】 = 错误!×(2n+1－1）(2n －1) ，然后求出Tn 和1
n
i i T =∑（问题与题目的差距点,并想办法补上） T n = 错误!= 错误!×错误! = 错误!×(错误! － 错误!）
所以, 1n i i T =∑= 错误!1(n
i =∑错误! － 错误!) = 错误!×(错误! － 错误!） < 错误!
评析:这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想获得a n 通项，必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。

总体而言,全部的解题思维是惊人的趋于一致的.不信？看下道题:
（07全国卷)已知数列{}n a 中12a =
，11)(2)n n a a +=+,123n =，
，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n b 中12b =，13423
n n n b b b ++=+,123n =，，，…，
证明：43n n b a -<≤，123n =，
，，…． （07全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和06年的一致,显然不能一步到位,还是先
求出a n 与某个数的关系式，题目告诉我们11)(2)n n a a +=+,说明差距体现在1上，用这个式子来决定我做题的方向:
解（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+
1)(n a = 11)(n n a a +=．
所以，数列{n a 是首项为21的等比数列,
1)n n a =，即n a 的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦,123n =，，，…． 这道题难在第一步不知道如何去想,题目告诉我们的条件似乎比较棘手，但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。

对于高考，方法越简单越实用越好,尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即可（过程略）。

评析:整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。

我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想，还是非常容易做的,甚至连计算都不难。

看到这里，大家应该能用这种思维去做其他题了吧，我们日常遇见的题型虽然各有差异，其实总的做题思维真的没有太多差距，并且在解题步骤上也十分类同。

大家不妨用这种思维去看看08的最后一题.
（08全国卷）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．
（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，
是增函数； （Ⅱ)证明：11n n a a +<<;
（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b
-≥．证明：1k a b +>． 简要解析:看看08高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步,依旧是题目让干嘛就干嘛，求函数增减性，直接用定义，要证明,数学归纳法。

解：第一步（略）,第二步证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。

第三步较为复杂，没关系,这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还是从条件中寻求差异,要我们证明1k a b +>，给的条件是设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥,依旧是以“必要性思维”来思考，要想获得1k a b +>这个结论，必须列出他们的表达,要想列出他们的表达,必须利用有这两个字母的条件,我们发现题目有()ln f x x x x =-和1()n n a f a +=，然后就能轻松的得出结论：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a += ，k
k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k
i i i a b a a ==--∑到了这里，几乎全部出来了。

1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤,则由第二步可知：1k i a b a b +-<-≥0
2， 若对任意i k ≤都有b a i >,则k
k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k
i i a b a b ==--∑b ka b a ln 1
1--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=,即1
k a b +>成立. 解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够“吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把很多学生难倒,这是不应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做,而不是看到题就联系知识点套用，那样只能做简单的题，对付这类灵活多变的综合题，我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路,达到用一招就能化解多题，做一题，会百题的效果。

纵观近年数学考题,几乎都可以用这种思维拿下，当然这是站在数学的理解基础上,核心原则是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。

09试题的题型虽然比较独特，但是看看能否用这种思维来作出这道题呢？我们看看：设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、,且11[10],[1,2].x x ∈-∈，
（I ）求b c 、满足的约束条件,并在下面的坐标平面
内，画
出满足这些条件的点(),b c 的区域;
（II)证明：()21102f x -≤≤- 解析:不管这道题的问法是什么，拿到题后还是先关
注题目让我们干什么。

题目意图是让我们画出关于f （x)成
立bc
的条件范围，我们什么都不要想，直接顺着题意来：
()2363f x x bx c '=++由题意知方程()0f x '=有两个根12x x 、
1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有 这个不等式组全部转化为c 的表达式,出来后就能通过坐标系画图，它们
围起来的区域就是所得的区域。

之所以要求导,是因为导数=0时是极值点，
这个就是直接根据定义得来的，符合我们说的通解思维。

（具体图不画了）
第（II)问很多考生就不会做了，因为有一定的区分度，更主要原因是含字母较多，不易找到突破口.来看我们的思想原则：首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么，然后利用“找后补"或“找前提"的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。

本题让我们证
明()21102
f x -≤≤-，既然是要求x 2，我们不妨想办法列出f （x 2)的表达，从题目给的极值和x 2的取值范围，我们不妨根据定义对()32222233f x x bx cx =++求导，得出
()22223630f x x bx c '=++=，有了这个式子，我们看看还有什么条件没用上?转化一步，写成
c x bx 2121222--=，那么直接消去b 得，()32221322
c f x x x =-+为什么要消去b 呢？因为由第一步大家画的区域可以知道b ，c 的取值范围，我们只有将()2x f 转为b 或c 的表达式，才能得
出结果，这是由题目条件的差异来决定的，当考生拿到题的时候，第一时间要朝着“能利用”的方向转化，要想证明()2x f 这个式子,必须列出表达式，表达式列出后，存在两个字母，要
想能够得出结论,当然要消去一个字母,这就是通解中求差异的必要性思维。

其实无论消去b 或者消去c ，都能根据第一步的结论得出证明结果,只是消去b 省事一些而已。

又2[1,2]x ∈，且[2,0]c ∈-，所以有()c x f c 2
321342+-≤≤+-，又有02≤≤-c 2110()2
f x ∴-≤≤- 最后管卫东总结一下，以后碰上数学大题，千万不要慌乱,直接照着题目意思来，坚信自己能够做下去并且做对.因为高考很难遇到熟悉的题型，所以大家在训练的时候一定把握住上面说的特点:1、题目让干嘛就干嘛；2、找出问题和条件的差距点;3、但凡卡住的时候找“前提”或“后补”。

这里只是借用数学高考试题,题型可以说几乎都不一样，但总体的思路却有其相似之处。

纵观题海，其实理科大多数学科都能够总结出这类通解方法。

当然，作为一个考生，我们没有必要去花费太多时间和精力去刻意整理，但是这种道理应当要有所意识。

希望大家在复习过程尤其是做题,最好多花一点时间多看题,多总结，多思考；少盲目做题,少抓瞎训练.这样才能够提高效率，在考试中任何大题都成为自己夺分的筹码。