2020高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数第1课时向量的概念及线性运算课件文
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第五章 5.1 平面向量的概念及线性运算含解析
§5.1 平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示 不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ )(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )AB → CD →(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，＝OA → OB → DC → BC →________.(用a ，b 表示)答案 b －a －a －b解析 如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA →＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →3．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为________．AB → AD → AB → AD →答案 矩形解析 如图，因为＋＝，AB → AD → AC →－＝，AB → AD → DB → 所以||＝||.AC → DB →由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.126．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ21223DE → AB → AC →为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC→＝＋(＋)＝－＋，12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC → ∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.162312题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；AB → DC →④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以AB → DC → AB → DC → AB → DC →四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|答案 A解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设＝a ，＝b ，AB → AD →由|a ＋b |＝|a －b |知，||＝||，AC → DB →从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2 向量的线性运算例2 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，AB → AD →则向量等于( )BF →A.a ＋b B ．－a －b13231323C ．－a ＋bD.a －b 13231323答案 C解析 ＝＝(＋)BF → 23BE → 23BC → CE →＝＝－a ＋b ，23(b －12a )1323故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则等于( )EB →A.－B.－34AB → 14AC → 14AB → 34AC →C.＋D.＋34AB → 14AC → 14AB → 34AC →答案 A解析 作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3 在锐角△ABC 中，＝3，＝x ＋y ，则＝________.CM → MB → AM → AB → AC →x y 答案 3解析 由题意得＋＝3(－)，CA → AM → AB → AM →即4＝3＋，AM → AB → AC →亦即＝＋，AM → 34AB → 14AC → 则x ＝，y ＝.3414故＝3.x y思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，BD → DC → CE → EA → AB →＝b ，则等于( )AC → DE →A.a ＋bB.a －b 13512131312C ．－a －bD ．－a ＋b135********答案 C解析 ＝＋＝＋DE → DC → CE → 13BC → 34CA→＝(－)－13AC → AB → 34AC→＝－－＝－a －b ，故选C.13AB → 512AC → 13512(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋yAB → AE → (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.AF →答案 2解析 由题意得＝＋＝＋，AE → AB → BE → AB → 12AD →＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，AB → AE → AF →所以＝＋，AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例4 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5，AB → ∴，共线．AB → BD →又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究 1．若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？BC → BC →解 ＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，BC → CD →即＝4a ＋(m －3)b .BD →若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ.BD → AB →即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以Error!解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以Error!所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且＝m ＋n (m ，n ∈R )．OP → OA → OB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则＝m ＋(1－m )＝＋m (－)，OP → OA → OB → OB → OA → OB →∴－＝m (－)，OP → OB → OA → OB →即＝m ，∴与共线．BP → BA → BP → BA →又∵与有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．BP → BA →(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，BP → BA →∴－＝λ(－)．OP → OB → OA → OB →又＝m ＋n .OP → OA → OB →故有m ＋(n －1)＝λ－λ，OA → OB → OA → OB →即(m －λ)＋(n ＋λ－1)＝0.OA → OB →∵O ，A ，B 不共线，∴，不共线，OA → OB →∴Error!∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 ∵＝＋＝2a ＋6b ＝2，BD → BC → CD → AB →∴与共线，由于与有公共点B ，BD → AB → BD → AB →因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么等于( )EF →A.－B.＋12AB → 13AD →14AB → 12AD → C.＋ D.－13AB → 12DA →12AB → 23AD →答案 D解析 在△CEF 中，有＝＋.EF → EC → CF → 因为点E 为DC 的中点，所以＝.EC → 12DC →因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以＝.CF → 23CB →所以＝＋＝＋EF → 12DC → 23CB → 12AB → 23DA →＝－，故选D.12AB → 23AD →4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，GA → GB → GC → OG → 16BC →且＝m ＋n ，则m －n 等于( )OA → OB → OC →A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 ∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1，故选D.32125.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则AB → AC → AD →等于( )A ．a －b B.a －b 1212C ．a ＋b D.a ＋b 1212答案 D 解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以＝＋＝＋＝a ＋b ，故选D.AD → AO → AC → 12AB → AC → 126.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为( )AN → 13AC → AP → AB → 211AC →A. B.911511C. D.311211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →从而m ＋＝1，所以m ＝.6115117．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.AB → AC → AB → AC → AB → AC →答案 23解析 因为||＝||＝|－|＝2，AB → AC → AB → AC →所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，AB → AC →所以|＋|＝2.AB → AC →38．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC 的形OB → OC → OB → OC → OA →状为________．答案 直角三角形解析 因为＋－2＝－＋－OB → OC → OA → OB → OA → OC → OA →＝＋，－＝＝－，AB → AC → OB → OC → CB → AB → AC →所以|＋|＝|－|，AB → AC → AB → AC →即·＝0，AB → AC →故⊥，△ABC 为直角三角形．AB → AC →9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →答案 34解析 由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14从而＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →所以λ＝.3410．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，MN → NP →若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得Error!解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则＋＝2，OA → OC → OD →∴＝－，OB → OD →∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)， ①(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ， ②12所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)又a ，b 不共线，所以Error! 解得Error!所以＝－a ＋b .BO → 2313所以＝＋AO → AB → BO →＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )13方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 1313．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →为实数)，则λ2＋μ2等于( )A. B. C ．1 D.5814516答案 A解析 ＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.14345814．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )OC → OA → OB →A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，]D ．(－1,0)2答案 B解析 设＝m ，则m >1，OC → OD →因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →即＝＋，OD → λm OA → μm OB →又知A ，B ，D 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP → 13，则点P 一定为△ABC 的( )(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案 B解析 设BC 的中点为M ，则＋＝，12OC → 12OB →OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →即3＝＋2，也就是＝2，OP → OM → OA → MP → PA →∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
(新课标)2020高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数第1课时向量的概念及线性运算课件文
向量运算 (1)加减法法则：
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝____，A→B＋B→A＝_0_，A→B－A→C＝____， ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝_0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
答案 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0
3.如图所示，向量 a－b 等于( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 答案 C
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析 由三角形法则知 a－b 是 b 的终点指向 a 的终点的一个向
量，用基底 e1，e2 表示为 e1－3e2，故选 C.
4.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
答案 D
解析 由于B→A＝D→E，故B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F.
5．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的 是( )
A.A→B＝D→C
B.A→D＋A→B＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D 答案 C
D.A→D＋C→B＝0
解析 由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________．
答案 －13 解析 方法一：设 a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb， ∴1＝3k，且 λ＝－k，∴λ＝－13. 方法二：设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 a＋λb＝(1，λ)，－(b－ 3a)＝3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－13.
2025年高考数学一轮复习课件第五章平面向量与复数-5.1平面向量的概念及线性运算
解：对于A，单位向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误.对于B，当时，与 不一定相等,所以错误.对于C，当时，不一定有，因为需且与 同向，所以错误.对于D，，则 ，D正确.故选D.
√
3.【多选题】（教材题改编）下列选项中，向量, 一定共线的有( )
A. B. C. D.
√
√
√
解：由正六边形的结构特征，知与方向相同，长度相等，所以 ，故A正确.与方向相反，所以 ，故B正确.由正六边形的性质，知 ，故C正确.与 不共线，所以不相等，故D错误.故选 .
【点拨】 准确理解向量的概念，请特别注意以下几点:，有与 方向相同或相反两种情形.②向量的模与数的绝对值有所不同，如 .③零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行.④对于任意非零向量， 是与 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法.⑤向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上.⑥只要不改变向量的大小和方向，可以自由平移 ，平移后的向量与 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的.
2024
0
解：当单位向量，， ,方向相同时， 取得最大值， 当单位向量，， ,首尾相连时，则 ，所以 的最小值为0.故填2024；0.
【点拨】 运用三角形法则时，注意向量三角不等式的应用.运用平行四边形法则时，注意与 就是以向量和 为邻边的平行四边形的对角线向量.
变式2 在四边形中，若，且 ，则四边形 是( )
变式3（1） （2022年新课标Ⅰ卷）在中，点在边上， .记，，则 ( )
A. B. C. D.
解：如图，因为 ，所以，即 .故选B.
(新课改)2020版高考数学一轮复习 平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义(含解析)
第一节 平面向量的概念及线性运算突破点一 平面向量的有关概念[基本知识] 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a|平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．如果对于任意的向量a ，均有a ∥b ，则b 为________． 答案：零向量2．若e 是a 的单位向量，则a 与e 的方向________． 解析：∵e ＝a|a |，∴e 与a 的方向相同． 答案：相同3．△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF ―→共线的向量有________个．答案：7个[典例感悟]1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( )A ．方向相同的向量叫做相等向量B ．共线向量是在同一条直线上的向量C ．零向量的长度等于0D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合，故D 不正确．2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB ―→|＝|DC ―→|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中，假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于①，|a |＝|b |，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB ―→|＝|DC ―→|，则AB ―→，DC ―→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由A ，B ，C ，D 四点共线，得向量AB ―→与CD ―→共线，反之不成立，可能AB ∥CD ，所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件，故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点二 平面向量的线性运算[基本知识]1．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律： (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a)＝(λ μ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b)＝λa ＋λb向量b 与a(a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa. 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)三角形的重心：已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0⇔P 为△ABC 的重心．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb(λ∈R)的充要条件．( )(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．在如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→＝________.答案：FO ―→2．化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝________.解析：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→＝0.答案：03．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为________．答案：－12[全析考法]考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． [例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC 中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，AN ―→＝3NB ―→，点P 在MN 上，MP ―→＝2PN ―→，那么AP ―→＝( )A.23AB ―→－16AC ―→B.13AB ―→－12AC ―→C.13AB ―→－16AC ―→ D.12AB ―→＋16AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)AP ―→＝AM ―→＋MP ―→＝AM ―→＋23MN ―→＝AM ―→＋23(AN ―→－AM ―→)＝13AM ―→＋23AN ―→＝16AC ―→＋12AB ―→.故选D.(2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→.因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考法二 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )·OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa ＋b ，AC ―→＝a ＋μb(λ，μ∈R)，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是( )A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB―→＝t AC ―→，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，μt ＝1，消去参数t 得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB ―→＝1μa ＋b ，此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→，故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．故选A.(2)由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB ―→＝λBD ―→. 又AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2ke 2， 所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k ＝－94.[答案] (1)A (2)－94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用 证明向量共线 对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线 证明三点共线 若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，AB ―→与AC ―→有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线 求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→，故选B.2.[考法一]在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13D.23解析：选D 由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→，则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.故λ＋μ＝12＋16＝23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b)， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ―→， ∴AB ―→，BD ―→共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)，即(k －λ)a ＝(λk －1)b. 又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.。
2020版高考数学一轮总复习第五单元平面向量与复数课时1平面向量的概念及线性运算课件文新人教A版
(方法一)在△ABD 中利用向量的加法：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AD ＝ AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＋ CD
＝
uuur AB
＋43
uuur BC
＝
uuur AB
＋43(
uuur AC
－
uuur AB
)
＝－13
uuur AB
＋34
uuur AC
.
(方法二)在△ACD 中利用向量的加法：
a＋b＝___b_＋__a___；(a＋b)＋c＝___a_＋__(_b_＋__c_)__.
(2)向量的减法
①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相__反__向___量____.
②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义如下图所示．
(3)向量的数乘运算 ①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘， 记作 λa，它的长度和方向规定如下：
uuur uuurຫໍສະໝຸດ 所以 AB 、 BD 共线，又它们有公共点，
所以 A、B、D 三点共线．
(2)因为 ka＋b 和 a＋kb 共线，
所以存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b，
又 a、b 是不共线的两个非零向量，
所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k＝±1.
所以
uuur AB
＝23(2d－c)，
uuur AD
＝23(2c－d)．
点评：本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的 思想方法．
【变式探究】
uuur uuur uuur
3．已知△ABC 和点 M 满足 MA ＋ MB ＋ MC ＝0.若存在实数 m
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算课件
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D．4
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解析：选 A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与 终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比 较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当 a＝0 时，无论 λ 为何值，λa＝0.④错误．当 λ＝μ＝0 时，λa ＝μb，此时，a 与 b 可以是任意向量．
2．已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足P→A＋B→P＋ C→P＝0，A→P＝λP→D，则实数 λ 的值为________．
解析：因为 D 为边 BC 的中点， 所以P→B＋P→C＝2P→D， 又P→A＋B→P＋C→P＝0， 所以P→A＝P→B＋P→C＝2P→D， 所以A→P＝－2P→D， 与A→P＝λP→D比较，得 λ＝－2.
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1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有_方__向__的量叫做向量，向量的大小叫做 向量的_模__． (2)零向量：长度为_0_的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__的向量．
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(4)平行向量：方向相同或_相__反__的非零向量，又叫共线向量，
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平面向量的线性运算 (高频考点) 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考 查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角 度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．
高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第1节平面向量的概念与线性运算教师用书
第一节 平面向量的概念与线性运算考试要求：1．了解向量的背景．2．理解向量的概念．3．掌握向量的运算．一、教材概念·结论·性质重现1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量向量由方向和长度确定，与位置没有关系零向量长度为0 的向量其方向是任意的，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0解决向量概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；2．平面向量的线性运算三角形法则平行四边形法则三角形法则(1)|λa|＝|λ ||a |．(2)当λ>0时，λ向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝ λa．4．常用结论(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则①GA＋GB＋GC＝0．②AG＝(AB＋AC)．③GD＝(GB＋GC)＝(AB＋AC)．(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB＋DC＝2EF．(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ )(2)若a∥b，b∥c，则a∥c．( × )(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (4)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 2．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是( )A．AP＝AB B．AQ＝ABC．BP＝－AB D．AQ＝BPD 解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．3．设D为△ABC所在平面内一点， BC＝3CD，则( )A．AD＝－AB＋AC B．AD＝AB－ACC．AD＝AB＋AC D．AD＝AB－ACA 解析：由题意得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC．4．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝___________．(用a，b表示)b－a －a－b 解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA －OB＝－a－b．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0．又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝．考点1 向量的相关概念——基础性1．下面说法正确的是( )A．平面内的单位向量是唯一的B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C．所有的单位向量都是共线的D．所有单位向量的模相等D 解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误．当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误．当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误．因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确．2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3D 解析：①假命题，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②假命题，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0．③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故假命题有3个，故选D．3．(多选题)下列命题正确的是( )A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥bBC 解析：A不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，因此由|a|＝| b|推不出a＝b．B正确．若AB＝DC，则|AB|＝|DC|且AB∥DC．又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC且AB＝DC，又AB与DC方向相同，因此AB＝DC．C正确．因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．因为b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c 的长度相等且方向相同，所以a＝c．D不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件．1．解答此类问题的关键是准确理解向量的有关概念，否则易出错．如第的平移混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．考点2 平面向量的线性运算——综合性考向1 向量的线性运算(1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|A 解析：方法一：因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2．所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b．所以a·b＝0．所以a⊥b．方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a ＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b．(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( )A．AB＋AD B．AB＋ADC．AB＋AD D．AB＋ADB 解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC．又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋DC)＝＝AB＋AD．1．本例(2)条件不变，用AB，AD表示DM．解：DM＝DC＋CM＝(AB＋CB)＝(AB＋AB－AC)＝AB－AC＝AB－(AD＋DC)＝AB －＝AB－AD．2．本例(2)中，若CM＝2MB，其他条件不变，用AB，AC表示AM．解：AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC．1．平面向量的线性运算技(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．考向2 利用向量的线性运算求参数问题在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点．若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )A．1 B．C． D．D 解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，所以BD＝1．由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，则2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC．所以λ＝，μ＝，故λ＋μ＝＋＝．根据平面向量的线性运算求1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则AE等于( )A．AB＋AD B．AB＋ADC．AB＋AD D．AB＋ADA 解析：由BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD．故选A．2．(2022·聊城模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)．若AO＝x AB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( ) A． B．C． D．D 解析：设CO＝y BC，因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，所以AO＝AC＋CO＝AC＋y BC＝AC＋y(AC－AB)＝－y AB＋(1＋y)AC．因为AO＝x AB＋(1－x)AC，所以x＝－y，所以x∈．考点3 共线向量定理及应用——应用性设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋k b与k a＋2b共线，求实数k的值．(1)证明：因为AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，所以AB与BC共线，且有公共点B．所以A，B，C三点共线．(2)解：因为8a＋k b与k a＋2b共线．所以存在实数λ，使得8a＋k b＝λ(k a＋2b)，所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0．因为a与b不共线，所以⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，所以k＝2λ＝±4．即实数k的值为4或－4．1．证明向量共线的方法1．设a，b是不共线的两个向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，则( )A．A，B，D三点共线B．B，C，D三点共线C．A，B，C三点共线D．A，C，D三点共线D 解析：因为CA＝BA－BC＝－3a＋6b，所以CA＝3CD，所以CA与CD共线．又因为它们有公共点C，所以A，C，D三点共线．2．(2022·日照月考)已知O为△ABC内一点，且AO＝(OB＋OC)，AD＝t AC．若B，O，D三点共线，则t的值为( )A． B．C． D．B 解析：如图，以OB，OC为邻边作平行四边形，其对角线相交于点E．因为AO＝(OB＋OC)，所以点O为线段AE的中点．因为AD＝t AC，B，O，D三点共线，所以AO＝λAB＋(1－λ)AD＝λAB＋(1－λ)t AC．又AO＝AE＝×(AB＋AC)＝AB＋AC，所以解得t＝．3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N．若AB＝m AM，AC＝n AN，则m＋n的值为( )A．1 B．2C．3 D．4B 解析：连接AO，如图．因为O为BC的中点，所以AO＝(AB＋AC)＝AM＋AN．因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F ．若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A ．a ＋bB ．a ＋bC ．a ＋bD ．a ＋b[四字程序]思路参考：利用AG ，GF 表示AF ．B 解析：由题意可知△DEF ∽△BEA ，所以＝＝．又由AB ＝CD 可得＝，所以＝．作FG ∥BD 交AC 于点G ，所以＝＝＝，所以GF ＝OD ＝BD ＝b ．因为AG ＝AO ＋OG ＝AO ＋OC ＝AC ＋AC ＝AC ＝a ，所以AF ＝AG ＋GF ＝a ＋b ．思路参考：利用AC ，CF 表示AF ．B 解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．由DE＝EO，得DF＝FG．又由AO＝OC，得FG＝GC，于是CF＝CD＝×(b－a)＝b－a，所以AF＝AC＋CF＝a＋b．思路参考：利用AD，DF表示AF．B 解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．由DE＝EO，得DF＝FG．又由AO＝OC，得FG＝GC，于是DF＝DC＝，那么AF＝AD＋DF＝＋＝a＋b．思路参考：利用AC，BD表示AF．B 解析：如图，作OG∥FE交DC于点G．由DE＝EO，得DF＝FG．又由AO＝OC，得FG＝GC，故AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋AB．设AF＝x AC＋y BD．因为AC＝AD＋AB，BD＝AD－AB，所以AF＝(x＋y)AD＋(x－y)AB，于是解得所以AF＝AC＋BD＝a＋b．1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形法则或平行四边形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．2．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．3．基于课程标准，解答本题一般需要良好的读图识图能力、运算求解能力、推理能力．本题的解答体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．如图，在直角梯形ABCD中，DC＝AB，BE＝2EC，且AE＝r AB＋s AD，则2r＋3s ＝( )A．1 B．2C．3 D．4C 解析：解法一：由题图可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)＝AB ＋(AD＋DC)＝AB＋＝AB＋AD．因为AE＝r AB＋s AD，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3．解法二：因为BE＝2EC，所以AE－AB＝2(AC－AE)，整理，得AE＝AB＋AC＝AB＋(AD＋DC)＝AB＋AD，以下同法一．解法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由DC＝AB 得DC∥AB，且AB＝4DC．又BE＝2EC，所以E为PB的中点，且AP ＝AD．于是，AE＝(AB＋AP)＝＝AB＋AD．以下同法一．解法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m＞0，h＞0．由AE＝r AB＋s AD，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3．。
高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量， 所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平 行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首 尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一 平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.
高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算课件理
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一 定∴相a，同c．的长度相等且方向相同，故a＝c. ②④正不确正．确∵．A当Ba＝∥bD且C方，向∴相| A反B|时＝，| D即C 使|且|aA|＝B∥|b|，DC也，不能得到a 又＝Ab，，B故，|aC|＝，|bD|且是a不∥共b不线是的a四＝点b的，充要条件，而是必要不充分 ∴条四件边．形ABCD为平行四边形； 反⑤之不，正若确四．边考形虑Ab＝BC0D这为种平特行殊四情边况形．， 则综A上B所∥述D，C正且确| A命B|题＝的| D序C 号|，是因②此③，. AB＝ DC . ③答正案确：．②∵③a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
行和共线是相同的概念，故②正确．
答案：②
3．若菱形ABCD的边长为2，则| AB－CB＋CD|＝________. 解析：| AB－CB＋CD|＝| AB＋BC ＋CD |＝| AD|＝2. 答案：2
考点一 平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．下列说法正确的是________． ①平行向量的方向一定相同； ②与任意向量都平行的向量一定是零向量； ③相等的向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一条直线上.
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，
使得_b_＝___λa___. [小题体验]
1．(教材习题改编)化简： (1)( AB＋ MB)＋ BO＋OM ＝________； (2) NQ＋QP ＋ MN － MP ＝________.
答案：(1) AB (2)0
2．已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________. 答案：－13
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得 所求向量的相反向量，导致错误．
2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算课件文
④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不 充分条件． ⑤是错误的，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa ＝μb，但 a 与 b 不一定共线．故填③. 【答案】 ③
辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任 何向量共线．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两 个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 的方向 不一定相等或相反． ③是正确的，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C；又 A， B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
数乘
求实数 λ 与向量 a
当 λ>0 时，λa 与 a 的方向__相__同__；
λ(μ a)＝_(λ_μ_)_a__； (λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ__a_；
的积的运 算
当 λ<0 时，λa 与 a 的方向_相__反___；
λ(a＋b)＝__λa_＋__λ_b__
当 λ＝0 时，λ a＝_0__
C．B→D与C→D是相反向量
D．A→E＝12|A→C|
解析：选 D.根据向量的概念可知选 D.
对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
2025版高考数学全程一轮复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算课件
1
1
1
1
A. a＋ b
B． a－ b
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2
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C．－ a－ b
2
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D．－ a＋ b
2
2
答案：D
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1
解析：MD＝ BD＝ (AD − AB)＝ (b－a)＝－ a＋ b.
2
2
2
2
2
故选D.
3．(教材改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，
则λ＝________．
1
2
3
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1
2
2
1
＝ CB − CD＝－ AD + AB，又EF＝xAB＋yAD，所以x＝ ，y＝－ ，所以xy＝
2
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2
1
－ .故选C.
3
题型三 共线向量定理的应用
例 4 设两向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点
共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
3(a－b)，则(
)
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
答案：C
4．[2024·广东中山模拟]已知向量e1，e2不共线，若e1＋2e2与－2e1＋
me2共线，则实数m的值为________．
答案：－4
解析：因为向量e1，e2不共线，则e1＋2e2≠0，若e1＋2e2与−21 ＋me2共线，则
＝m，CD＝n，则CB＝(
2020高考数学复习第五章平面向量与复数第1课时向量的概念及线性运算课件文
第1课时 向量的概念及线性运算
…2019 考纲下载… 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何表示． 3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线 的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 解析 (1)错误．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向 线段． (2)错误． (3)错误．当 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的． (4)正确． (5)错误．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．
2．化简：(1)A→B＋C→A－C→B＝__________； (2)A→B－C→D＋B→D－A→C＝__________； (3)O→A－O→B＋A→B＝__________； (4)N→Q＋M→N－M→P＋Q→P＝__________．
思考题 1 (1)在例 1②中，若 b≠0，该结论是否正确？ 【答案】 正确
(2)例 1⑤中，若 λ，μ 满足 λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？ 【答案】 正确
(3)设 a0 为单位向量，下列命题中： ①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0； ②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|·a0； ③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0. 假命题的个数是( )
思考题 3 (1)已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a
＋6b，C→D＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【解析】 B→D＝B→C＋C→D＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝
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★状元笔记★ 平面向量共线的判定方法 (1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 λ， 使 b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向 量，要注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得出三点共线．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 解析 (1)错误．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向 线段． (2)错误． (3)错误．当 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的． (4)正确． (5)错误．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．
2．化简：(1)A→B＋C→A－C→B＝__________； (2)A→B－C→D＋B→D－A→C＝__________； (3)O→A－O→B＋A→B＝__________； (4)N→Q＋M→N－M→P＋Q→P＝__________．
向量运算 (1)加减法法则：
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝____，A→B＋B→A＝_0_，A→B－A→C＝____， ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝_0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
(2)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边
形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于
() →
A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的 交点，
所以O→A＋O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M. 所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M. 故选 D. 【答案】 D
向量共线的充要条件 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 __有__且_只__有__一_个__实_数__λ_，_使__得_b_＝__λ_a ____．
1．下列结论正确的打“√”，错误的打“×”． (1)向量就是有向线段； (2)零向量没有方向； (3)若向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； (4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (5)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则点 A，B，C，D 必在 同一条直线上．
(1)已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一
点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
C.23O→A＋13O→B
D．－12O→A＋23O→B
【解析】 方法一：A→C＝O→C－O→A，C→B＝O→B－O→C. ∵2A→C＋C→B＝0， ∴2O→C－2O→A＋O→B－O→C＝0. ∴O→C＝2O→A－O→B.故 A 正确． 方法二：如图所示，知答案为 A. 【答案】 A
解析 由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________．
答案 －13 解析 方法一：设 a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb， ∴1＝3k，且 λ＝－k，∴λ＝－13. 方法二：设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 a＋λb＝(1，λ)，－(b－ 3a)＝3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－13.
★状元笔记★ 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 (1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3) 运用法则找关系；(4)化简结果． 注：解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟 练运用相反向量将加减法相互转化．
思考题 2 (1)在例 2(1)中，若将条件“2A→C＋C→B＝0”改 为“2A→C－C→B＝0”，则O→C＝________．
★状元笔记★ (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅 模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平 行向量未必是相等向量． (4)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．
边形，则B→C＝E→D＝A→D－A→E＝A→D－23A→B.故选 D.
【答案】 D
题型三 共线向量定理及应用 设 a，b 是不共线的两个非零向量， (1)若O→A＝2a－b，O→B＝3a＋b，O→C＝a－3b， 求证：A，B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值．
【解析】 (1)∵A→B＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，B→C＝(a－ 3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2A→B，∴A→B与B→C共线，且有公共端 点 B. ∴A，B，C 三点共线．
(2)∵8a＋kb 与 ka＋2b 共线，∴存在实数 λ，使得(8a＋kb) ＝λ(ka＋2b)．∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|·a0 的模相 同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|·a0， 故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
【答案】 D
题型二 向量的线性运算
请注意 本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向 量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本 章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基础内容为主．
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大__小__又有__方_向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫 做A→B的长度或称为A→B的模，__长_度__为__0_的向量叫做零向量，记作 0，__长_度__等__于_1_个__单_位__长_度____的向量，叫做单位向量．
(3)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段
OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若A→C＝a，B→D＝b，则
A→F＝( )
A.14a＋12b
B.23a＋13b
C.12a＋14b
D.13a＋23a
【解析】 如图，作 OG∥FE 交 DC 于 G，
由于 DE＝EO，得 DF＝FG，又由 AO＝OC 得 FG＝GC， 于是D→F＝13D→C＝13(－12b＋12a)， 那么A→F＝A→D＋D→F＝(12a＋12b)＋13(－12b＋12a)＝23a＋13b. 【答案】 B
【答案】 A
(2)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，并且 a＋b 与 c
共线，b＋c 与 a 共线，那么 a＋b＋c 等于( )
第五章 平面向量与复数
第1课时 向量的概念及线性运算
…2019 考纲下载… 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何表示． 3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线 的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
答案 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0
3.如图所示，向量 a－b 等于( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 答案 C
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析 由三角形法则知 a－b 是 b 的终点指向 a 的终点的一个向
量，用基底 e1，e2 表示为 e1－3e2，故选 C.
4.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
(3)平行向量：方向_相__同_或_相__反_的_非__零__向量叫做平行向量．规 定：0 与任何向量平行，平行向量也叫做_共__线__向量．
(4)相等向量：__长__度_相__等_且__方__向_相__同___的向量叫做相等向量，向 量 a 与 b 相等，记作 a＝b.
(5)相反向量：__模_相__等__且_方__向_相__反____的向量叫做相反向量．
【答案】 34O→A＋14O→B
(3)(2019·吉林大学附属中学摸底)在梯形 ABCD 中，A→B＝
3D→C，则B→C＝( )
A．－13A→B＋23A→D
B．－23A→B＋43A→D
C.23A→B－A→D
D．－23A→B＋A→D
【解析】 如图，在线段 AB 上取点 E，使
BE＝DC，连接 DE，则四边形 BCDE 为平行四
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则 两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②不正确，当 b＝0 时，a 与 c 可以不共线． ③是正确的，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C；又 A，B，C，D 是不共线的四点,所以四边形 ABCD 为平行四边形． ④是错误的，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得 到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a∥b 不是充要条件,而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线． 【答案】 ③
思考题 3 (1)已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a
＋6b，C→D＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【解析】 B→D＝B→C＋C→D＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝
2(a＋2b)＝2A→B，∴A，B，D 三点共线．故选 A.