2021届高考数学专题突破不等式的性质(解析版)

2021届高考数学数列与不等式突破性讲练
06不等式的性质
一、考点传真：
了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景. 二、知识点梳理
1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；
(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； 同向不等式可
相加，不能相减．
(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc; c <0时应变号． a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；
(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0n a > n
b (n ∈N ，n ≥2)．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1
b ；
(2)a <0<b ⇒1a <1
b ；
(3)a >b >0，d >c >0⇒a c >b
d .
2．分数性质 若a >b >0，m >0，则
(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m
a －m (
b －m >0)；
(2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m
b －m (b －m >0)．
三、例题：
2021届高考数学专题突破
例1.（2019全国Ⅱ卷）若a >b ，则
A ．ln(a −b )>0
B ．3a <3b
C ．a 3−b 3>0
D ．│a │>│b │ 【答案】C
【解析】取0a =，1b =-，则
ln()ln10a b -==，排除A ； 011
331333
a b -==>==，排除B ；
011a b =<-==，排除D ．
函数3
()f x x =在R 单调递增，由a b >可得33a b >，所以330a b ->，C 正确. 故选C ．
例2.（2019全国Ⅰ卷）已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】 依题意22log 0.2log 10a ==＜， 0.20221b ==＞， 因为0.3000.20.21=＜＜， 所以0.30.201c =∈（，）， 所以a c b ＜＜.故选B ．
例3.（2019天津文5）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 （A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<
（D ）c a b <<
【答案】A
【解析】 由题意，可知22log 7log 42a =>=，33log 8log 92b =<=，0.20.31c =<， 所以c b a <<． 故选A ．
例4．(2018天津卷)已知2log e =a ，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】D
【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，1
222
1
log log 3log 13
c e ==>>． 所以c a b >>，故选D ．
例5．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+
【答案】B
【解析】由0.2log 0.3a =得
0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31
log 2b
=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab
+<<．
又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．
例6.（2017山东卷）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是
A ．()21log 2a b a a b b +
<<+ B ．()21
log 2a b a b a b <+<+ C ．()21log 2
a b
a a
b b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<
【答案】B
【解析】解法一 取2a =，12b =，则1
224a b +=+=，2
112228
a b ==，22log ()log 42a b +==，所以
()21
log 2a b a b a b
<+<+， 选B ． 解法二 由题意1a >，01b <<，所以12a b <，1
22a a a a b
+=+=>， 又1a b +>，所以2
()()a b a b +>+，
所以2
2222log ()log ()log 1a b a b >+>+>=， 故()21
log 2a b a b a b
<+<+， 选B ．
例7．(2016年北京卷)已知,x y R ∈，且0x y >>，则
A ．
110x y -> B ．sin sin 0x y -> C ．11
()()022
x y -< D ．ln ln 0x y +> 【答案】C
【解析】因为0x y >>，选项A ，取1
1,2
x y ==
，则111210x y -=-=-<，
排除A ；选项B ，取,2
x y π
π==，则sin sin sin sin
102
x y π
π-=-=-<，
排除B ；选项D ，1
2,2
x y ==，则ln ln ln()ln10x y xy +===，排除D ， 故选C ． 四、巩固练习：
1．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )
A.1a －b >1a
B.1a >1b C ．|a |>|b | D ．a 2>b 2
【答案】A
【解析】 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1
a 不成立．
2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )
A.a c >b d
B.a c <b d
C.a d >b c
D.a d <b c
【答案】 D
【解析】 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b
c >0，所
以a d <b
c
，故选D. 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( )
A ．M ＞N
B ．M ≥N
C ．M ＜N
D ．M ≤N
【答案】A
【解析】 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以M ＞N ，故选A.
4．若6<a <10，a
2
≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )
A ．[9,18]
B ．(15,30)
C ．[9,30]
D ．(9,30)
【答案】D
【解析】 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a
2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.
5．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( )
A.c a >c
b
B.c a －b >c
a C ．|a |c >－bc D.
－a c >－b c
【答案】B
【解析】 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <c
a ，所以B 中式子不成立．
6．已知a 1，a 2∈(0,1)，若M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )
A ．M <N
B ．M >N
C ．M ＝N
D ．不确定
【答案】B
【解析】 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)
＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)． ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.
∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M ＞N .
7. 已知x ＝log 23－log 23，y ＝log 0.5π，z ＝0.9
－1.1
，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z
【答案】 D
【解析】 显然0<x ＝log 23<log 22＝1，y ＝log 0.5π<log 0.51＝0，z ＝0.9－1.1
>1，所以y <x <z ，
故选D.
8．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b ，a ≤b ，
a ，a >
b .若m ⊗n ≥2，
p ⊕q ≤2，则( )
A ．mn ≥4且p ＋q ≤4
B ．m ＋n ≥4且pq ≤4
C ．mn ≤4且p ＋q ≥4
D ．m ＋n ≤4且pq ≤4
【答案】A
【解析】结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，
m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧
n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，
p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧
q ≤2，p ≤q ，
即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.
9．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
【答案】C
【解析】 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.由x >0，y >z ，得xy >xz .由x >y ，z <0，得xz <yz .因为y 与0的大小不确定，所以A 、D 项不一定成立．故选C.
10.设c >0，则下列各式成立的是( )
A ．c >2c
B ．c >⎝⎛⎭⎫12c
C ．2c <⎝⎛⎭⎫12c
D ．2c >⎝⎛⎭⎫12c
【答案】 D
【解析】 c >0时，2c >1，⎝⎛⎭
⎫12c <1，所以2c >⎝⎛⎭⎫12c
.故选D. 11.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a
D.a >c >b
【答案】A
【解析】∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122
＋3
4>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .
12.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0
B.2a －
b <12
C.log 2a ＋log 2b <－2
D.2a b ＋b a <1
2
【答案】C
【解析】 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<
－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b <1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋b
a >2
a b ·b
a
＝2，所以2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 2
1
4＝－2，C 正确.
13．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5
a 5
的大小关系为
________． 【答案】S 3a 3＜S 5
a 5
【解析】当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5
a 5
.
当q ＞0且q ≠1时，
S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q
3
a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q
＝
q 2
1－q 3－1－q 5
q 4
1－q
＝－q －1
q 4＜0， 所以S 3a 3＜S 5
a 5.
综上可知S 3a 3＜S 5
a 5
.
14若实数x ，y 满足3≤xy 2
≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3
y
4的最大值是________．
【答案】 27
【解析】 解法一：由3≤xy 2
≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，得2≤x 3
y
4≤27，
故x 3
y
4的最大值是27. 解法二：设x 3y
4＝⎝⎛⎭⎫x 2
y m (xy 2)n
，
则x 3y －
4＝x 2m ＋
n y 2n
－m
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝－1.
又∵16 ≤⎝⎛⎭⎫x 2
y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13， ∴2≤x 3y 4≤27，故x 3
y
4的最大值为27.
15．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b
的大小关系是______．
【答案】a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
【解析】a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝a ＋b
a －b
2
a 2
b 2
.
∵a ＋b ＞0，(a －b )2
≥0，∴a ＋b
a －b
2
a 2
b 2
≥0.
∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
. 16．若a >b >0，给出以下几个命题：
①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1
a ； ④a －
b >a －b .
其中为真命题的是________(请填写所有真命题的序号)． 【答案】 ①③
【解析】 因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，
所以lg
a ＋
b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2
，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1
a ＝(a －
b )⎝⎛⎭
⎫1＋1
ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．
17.已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 【解析】 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，
由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，
设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，
所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．
18.已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2
y
的取值范围．
【解析】令lg x 2y ＝m lg (xy )＋n lg x y ＝lg (x m y m
)＋lg x n y n ＝lg x m ＋
n y n －m .∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n ＝2，m －n ＝－1，
解得m ＝12，
n ＝32
. ∴lg x 2y ＝12lg (xy )＋32lg x y .
∵1≤lg (xy )≤4，∴12≤1
2lg (xy )≤2.
又∵－1≤lg x y ≤2，∴－32≤32lg x
y ≤3，
∴－1≤12lg (xy )＋32lg x
y ≤5
∴－1≤lg x 2
y
≤5.
故lg x 2
y 的取值范围是[－1,5]．。