固体热容量的爱因斯坦理论

固体热容量的爱因斯坦理论
如前所述，固体中原子的热运动可以看成3N 个振子的振动。

爱因斯坦假设这3N 个振子的频率都相同。

以ω表示振子的圆频率，振子的能量级为
)2
1(+=n n ωε n=0,1,2,⋯ （7.7.1）
由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布，配分函数为
ω
βω
βωβ --
∞
=+--==∑e
e e
Z n n 12
)
2/1(1 （7.7.2） 根据式(7.1.4)，固体的内能为 1
323l n 31-+=∂∂-=ωβωωβ e N N Z N
U （7.7.3） 式(7.7.3)的第一项是3N 个振子的零点能量。

与温度无关；第二项是温度为T 时3N 个
振子的热激发能量
定容热容量C V 为 2
2)1()(3)(
-=∂∂=kT
kT
V V e
e kT
Nk T U C ω
ωω （7.7.4）
引入爱因斯坦特征温度E θ ωθ =E k （7.7.5）
可将热容量表为 2
2
)1()
(
3-=T T E
V E
E
e e T
Nk C θθθ （7.7.6）
因此根据爱因斯坦的理论，C V 随温度降低而减少，并且C V 作为T
E
θ的函数是一个
谱适函数。

现在讨论(7.7.6)式在高温和低温范围的极限结果。

当T E θ≥时，可以取近似。

由式得
Nk C V 3= （7.7.7）
式(7.7.7)和能量均分定理的结果一致。

这个结果的解释是，当T E θ≤时，能级间距远小于kT ，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。