广东省梅州市兴宁宋声中学高二数学理上学期期末试题含解析

广东省梅州市兴宁宋声中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 关于的不等式（）的解集为，且：，则
（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
2. 利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“””时，左边应増乘的因式是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
3. 已知中，，，求证．
证明：，
，画线部分是演绎推理的
A．大前提 B．结论 C．小前提 D．三段论
参考答案：
C
4. 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则（）
A． B. C． D.
参考答案：D
略
5. 已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）
A、2
B、4
C、
D、
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算【解答】解：z=（3a+2i）（b﹣i）=3ab+2+（2b﹣3a）i，∴3ab+2=4，
∴ab= ，
∴2a+b≥2 =2 = ，当且仅当a= ，b= 时取等号，
故2a+b的最小值为，
故选：D
【分析】先化简z，根据复数的定义求出ab= ，利用基本不等式即可求出答案．
6. 命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的( )．
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
7. 若1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，则x﹣2y的最大值与最小值之和是（）A．0 B．﹣2 C．2 D．6
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，作出可行域如图，1≤log2（x﹣y+1）≤2，可得1≤x﹣y≤3
由，解得B（2，﹣1）．
由，解得A（4，3），
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，﹣1）与A（4，3）时，目标函数取得最值，z有最小值为：4﹣2×3=﹣2，最大值为：2+2×1=4，
最大值与最小值之和为：2．
故选：C．
8. 如图，在三棱锥O-ABC中，点D是棱AC的中点，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
参考答案：B
，故选B。

9. 如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )
A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）
参考答案：
A
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．
【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，
当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理得：AB=2，
∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；
当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，
综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．
故选A
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
10. 若抛物线(p>0)的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()
A. B.2 C. D. 4
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. =
参考答案：
12. 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1
B
与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C
的离心率是．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意可求得直线F1B的方程，与双曲线C的方程联立，利用韦达定理可求得PQ的中点坐
标，从而可得线段PQ的垂直平分线的方程，继而可求得M点的坐标，从而可求得C的离心率．
【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），
∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣
a2=0，
整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，
∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），
∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．
∵|MF2|=|F1F2|，
∴﹣c=2c．
∴c2=3b2=3（c2﹣a2），
∴c2=a2，
∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与双曲线相交，考查韦达定理的应用，考查综合分析与计算能力，属于难题．
13. 设公比为q（）的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则
q= .
参考答案：
14. 如左下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个
直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）
A ．3π
B ．2π
C ．4π
D ．
参考答案： D 略
15. 设为常数，若点F （5,0）是双曲线的一个焦点，则
=
．
参考答案：
16
16. 已知AB 是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB 的垂
线，依次交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 2009，设左焦点为F 1，则（|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 2009|+|F 1B|）= ．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设右焦点为F 2，由椭圆的定义可得|F 1P i |+|F 2P i |=2a ，（1≤i≤2009，i∈N），点P 1，P 2，…，P n ﹣1 关于y 轴成对称分布，|F 1P i |+|F 1P 2010﹣i |=2a ，|F 1P 1005|=a ，|F 1A|+|F 1B|=2a ，即可求得
|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 2009|+|F 1B|的值，求得（|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 2009|+|F 1B|）
=
．
【解答】解：设右焦点为F 2，由椭圆的定义可得|F 1P i |+|F 2P i |=2a ，（1≤i≤2009，i∈N）， 由题意知点P 1，P 2，…，P n ﹣1 关于y 轴成对称分布， ∴|F 1P i |+|F 1P 2010﹣i |=2a ，|F 1P 1005|=a ，|F 1A|+|F 1B|=2a ， |F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 2009|+|F 1B|=2a×1004+2a+a=2011a，
（|F 1A|+|F 1P 1|+|F 1P 2|+…+|F 1P 2009|+|F 1B|）=，
故答案为：．
17. 若
则
，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数
是 .
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆
的离心率，过右焦点的直线与椭圆相交于
两点，当直线的斜率为1时，坐标原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程 （2）椭圆
上是否存在点
，使得当直线绕点
转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有满足条件的点
的坐标及对应直线方程；若不存在，请说明理由。

参考答案：
(1)由题意得解得.所以椭圆C 的方程为.
(2)由得.
设点M,N的坐标分别为，，则，，，.
所以|MN|===.
由因为点A(2,0)到直线的距离，
所以△AMN的面积为. 由，解得.
略
19. （本小题满分12分）设函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）如果不等式对于一切的恒成立，求k的取值范围；
（3）证明：不等式对于一切的恒成立．
参考答案：
解：（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）因为，所以恒成立，等价于恒成立.
设，得，
当时，，所以在上单调递减，所以时，.
因为恒成立，所以的取值范围是；
（3）当时，，等价于.
设，，得.
由（2）可知，时，恒成立.
所以时，，有，所以.
所以在上单调递增，当时，.
因此当时，恒成立
20. 已知函数（）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）请问，是否存在实数使上恒成立？若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）………2分
当时，恒成立，
则函数在上单调递增……4分
当时，由得
则在上单调递增，在上单调递减…………6分
（Ⅱ）存在．……………………7分
由（Ⅰ）得：当时，函数在上单调递增
显然不成立；
当时，在上单调递增，在上单调递减
∴,
只需即可……………………9分
令
则，
函数在上单调递减，在上单调递增．
∴，………………………10分
即对恒成立，
也就是对恒成立，
∴解得，
∴若在上恒成立，=1．……………12分
略
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E 为侧棱PB的中点．
求证：（1）PD∥平面ACE；
（2）平面PAC⊥平面PBD．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）证明见解析。

【分析】
（1）连接OE．易证PD∥OE，根据线面平行判定定理得证；
（2）要证平面PAC⊥平面PBD，即证BD⊥平面PAC
【详解】(1) 连接OE．
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以O为BD中点．
因为E为PB的中点，所以PD∥OE．
又因OE?面ACE，PD平面ACE，
所以PD∥平面ACE．
(2) 在四棱锥P－ABCD中，
因为PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
所以BD⊥PC．
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以BD⊥AC．
又PC、AC?平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面PAC．
因为BD?平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD．
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
22. 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．参考答案：
【考点】点与圆的位置关系；中点坐标公式；点到直线的距离公式．
【分析】（1）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l1的方程；
（2）l1的倾斜角为，直接求出l1的方程，利用直线l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l1垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；
（3）l1与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l1的直线方程．
【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．
（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．
∵∴∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，
则圆．
又∵三角形CPQ面积∴当d=时，S取得最大值2．∴．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．。