黑龙江、吉林两省八校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}{}12340135A B ==，，，，，，，,则A B ⋂等于（ ） A ．{}1,3 B ．{}2,4 C ．{}0,5 D ．{}0,1,2,3,4,5 【答案】A 【解析】
试题分析： 交集是两个集合的公共元素，故{}1,3A B ⋂=. 考点：集合交集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.若函数1
3
13
()log f x x x =+，则(27)f 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．0 【答案】D 【解析】
考点：幂函数、对数函数.
3.下列函数中，在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1y x
=
B ．21y x =-
C ．110x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D ． lg y x =
【解析】
试题分析：A ，B ，C 在(0,)+∞上是减函数，故选D. 考点：函数的单调性. 4.函数22
()f x x x
=-
的零点位于区间（ ） A ．51,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】
考点：二分法.
5.列车从A 地出发直达500km 外的B 地，途中要经过离A 地300km 的C 地，假设列车匀速前进，
5h 后从A 地到达B 地，则列车与C 地距离y （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的函数图像为（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：由于到达C 地时，与C 地的距离为0，故选C. 考点：函数图象.
6.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，()ln f x x =，则(2)
f e -的值为（ ）
A ．
1e B ．12 C. 21e D ．14
【答案】B
试题分析：根据奇偶性有(2)(2)ln 2f f -=-=-，所以(2)ln 212
f e e --==. 考点：函数的奇偶性.
7.已知函数2
()41f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(,16][8,)-∞-⋃-+∞
B ．[16,8]-- C. ∞⋃∞（-,-8][-4,+) D ．[8,4]-- 【答案】A 【解析】
试题分析：对称轴位于区间两侧，即18k -≤或28
k
-≥，解得8k ≥-或16k ≤-. 考点：函数的单调性.
8.已知集合{}{}|1,|21A x x B x x a =≥=>+，若()R A C B φ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,)+∞ C. (,1)-∞ D ．(,0)-∞ 【答案】D 【解析】
考点：集合交集. 9.已知1
5
3
15
5
2,log ,log 42a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．c a b << C. c b a << D ．b c a << 【答案】C 【解析】
试题分析：13
0log 1c <=,33log 11log 3b <<=，1a >，故c b a <<.
考点：指数和对数比较大小.
10.若函数x
y a =在区间0,2]上的最大值和最小值的和为5，则函数log a y x =在区间1,24
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
上
的最大值和最小值之差是（ ）
A ．1
B ．3 C.4 D ．5 【答案】B 【解析】
试题分析：依题意有0
2
2
5,4,2a a a a +===，所以2log y x =在区间1,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域为
[]2,1-，故最大值和最小值之差是3.
考点：函数的单调性与最值.
11.已知2log 31,43b
a ==，则a
b 等于（ ）
A ．0
B ．12 C. 3
4
D ．1 【答案】B
考点：指数和对数运算.
【思路点晴】本题考查指数式和对数式互化，考查换底公式. 对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须
保证恒等变形．log b
a a N
b N =⇔=是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要
注意灵活运用．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化．注意换底公式log log 1a b b a ⋅=的应用.
12. 已知函数2
()f x x bx c =++满足(2)(2)f x f x -=+，(0)0f >，且
()()0()f m f n m n ==≠，
则414
log log m n -的值是（ ）
A ．小于1
B ．等于1 C.大于1 D ．由b 的符号确定 【答案】A 【解析】
试题分析：由(2)(2)f x f x -=+可知，函数的对称轴为2x =.根据题意
()()0()f m f n m n ==≠，所以4m n +=，02m <<，(4)(0,4)mn m m =-∈，4144
log log ()log 41m mn -<=.
考点：函数的对称性，二次函数图像与性质.
【思路点晴】确定二次函数解析式需要三个独立条件，往往从对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点以及函数图象经过的定点等方面挖掘等量关系．分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.设集合{}
{}2|20,0,1A x x x B =-==，则集合A B ⋃的子集的个数为 ． 【答案】8 【解析】
考点：并集和子集.
14.
函数20,(),0,x f x x x >=≤⎩
则((3))f f -= ．
【答案】
13
【解析】
试题分析：()39f -=，(
)193
f ==. 考点：分段函数求值.
15.已知幂函数()y f x =
的图像过点，若()2f m =，则m = ． 【答案】
14
【解析】
试题分析：设()f x x α
=，代入点解得1
2
α=-，所以121()2,4f m m m -===. 考点：幂函数.
【思路点晴】幂函数()y x R α
α∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在()1,+∞上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 16.已知函数2
2,0,(),0,
x x f x x bx c x ->⎧=⎨
-++≤⎩满足(0)1f =，且(0)2(1)0f f +-=，那么函数
()()g x f x x =+有 个零点．
【答案】2 【解析】
考点：分段函数图像与性质.
【思路点晴】函数零点(方程的根)的问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)利用零点求参数范围问题.解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解. 函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数
()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
（11
04
21()0.25
2-+⨯； （2）已知1
12
2
3x x
-
+=，求221
+2
3
x x x x ---+-的值． 【答案】（1）3-；（2）45
4
. 【解析】
考点：指数和对数运算. 18.（本小题满分12分）
已知集合{}1|41,|22x
A x x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=-<<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
．
（1）求,A B A B ⋂⋃；
（2）设函数()f x =的定义域为C,求()R C A C ⋂.
【答案】（1）{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）{}|2x x ≥. 【解析】
试题分析：（1）(],1B =-∞-，所以{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）根据
231x -≥解得{}
|2C x x ∴=≥，
{}
|41R C A x x x =≤-≥或，所以
{}()|2R C A C x x ⋂=≥.
试题解析：
（1）
{}{}=|1,|41B x x A x x ≤-=-<<，
{}{}|41,|1A B x x A B x x ∴⋂=-<≤-⋃=<.………………………………………………
………6分
（2）由4log (23)0x -≥得231x -≥，2x ∴≥，{}|2C x x ∴=≥. 又
{}{}|41,()|2R R C A x x x C A C x x =≤-≥∴⋂=≥或. ………………………………………
……12分
考点：指数不等式、定义域、对数不等式. 19.（本小题满分12分）
已知函数()y f x =满足(1)23f x x a -=+，且()7f a =． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在0,2]上的最大值为2，求实数λ的值． 【答案】（1）()25f x x =+；（2）2λ=-. 【解析】
（2）
2()(25)(25)2(26)5g x x x x x x x λλλ=++++=+++，
()g x ∴图像对称轴为3
2
x λ+=-，
()g x ∴在3
(,]2
λ+-∞-
上是减函数，在3
[,)2
λ+-
+∞上是增函数，
()g x ∴在[0,2]x ∈上的最大值为(0)g 或(2)g ，
又(0)5g λ=，(2)920g λ=+， 当(0)2g =时，(2)2g >，当(2)2g =时，2λ=-，(0)2g <，2λ∴=-. ……………………
12分
考点：待定系数，函数的最值. 20.（本小题满分12分） 已知函数224
()f x x x
=+
． （1）求证：()f x 是偶函数； （2）判断函数()f x
在(
和
)
+∞上的单调性并用定义法证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）()f x
在
上是减函数，在)+∞上是增函数，证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）先求定义域为()(),00,-∞⋃+∞，根据奇偶性的定义，有
22
22
44()()()()f x x x f x x x -=-+
=+=-，所以函数为偶函数；（2）
不妨设120x x <<≤计算121212121222
12
(2)(2)
()()()()0x x x x f x f x x x x x x x +--=+-⋅
>，()f x
在上是减函数；同理证得()f x
在)+∞上是增函数.
考点：函数的奇偶性与单调性 21.（本小题满分12分）
设1a >,函数[]2
2()log (2),3,3f x x x a x =++∈-．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()f x 的最大值为5，求()f x 的最小值．
【答案】（1）在[3,1]--上为减函数，在(1,3]-上为增函数；（2）4. 【解析】
（2）由（1）的单调性知()f x 在1x =-处取得最小值，在3x =处取得最大值.
max 2()(3)log (15)f x f a ∴==+，依题意2log (15)5a +=，解得17a =，
min 2()(1)log 164f x f ∴=-==.……………………………………………………………………………12分
考点：函数的单调区间与最值.
【方法点晴】二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的零点：0∆>，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；0∆=，方程
02=++c bx ax 有两相等实根（二重根）
，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；0∆<，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点.指数函数和对数函数的单调性由底数来决定.
22.（本小题满分12分） 已知函数12,0,21()23,0.12x x x e f x x e ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩
（1）求函数()f x 的零点；
（2）若实数t 满足221
(log )(log )2(2)f t f f t
+<，求()f t 的取值范围． 【答案】（1）ln 3-和ln 3；（2）1441
443
3()2(1)
2(1)e e f t e e --<<++. 【解析】
（2）由题意，当0x >时，1223()()02112x x f x f x e e -⎛⎫--=---= ⎪++⎝⎭
， 同理，当0x <时，()()0f x f x --=，1(0)2
f =-
，所以函数()f x 是在R 上的偶函数，…………7分 所以2221log (log )(log )f f t f t t ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由221(log )log 2(2)f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
， 可得22212(log )2(2)(|log |)(2)2log 244
f t f f t f t t <⇒<⇒-<<⇒
<<.………………………10分 144x <<时，()f x 为增函数，1()(4)4f f t f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭
，即1441
443
3()2(1)
2(1)e e f t e e --<<++.………12分
考点：分段函数图象与性质，不等式.
【方法点晴】判断函数奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简最后判断()f x 与()f x -间的关系(相等还是互为相反数)；若定义域不关于原点对称，则不具有奇偶性．对于分段函数的奇偶性应分段判断．若一个函数既是奇函数又是偶函数，则解析式为()0f x =，但既是奇函数又是偶函数的函数不唯一，任意一个关于原点对称的区间都可以成为其定义域．。