江西省师大附中高三数学上学期期中考试试题 理 新人教

江西师大附中高三年级数学（理科）期中试卷
2012.11
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确.
1．已知集合{}
2
221,lg(1)4x M x y N y y x ⎧⎫⎪⎪
=+===+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则M N =I （ ） A ．[)0,+∞
B ．[]2,2-
C ．[0,2]
D ．∅
2．已知复数11,z i =-22z i =+，则复数2
12z z z =⋅对应的点位于复平面内的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列说法中，不正确．．．
的是（ ） A ．命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则:,sin 1p x R x ⌝∃∈>;
B ．在AB
C ∆中，0"30"A >是1"sin "2
A >的必要不充分条件;
C ．命题:p 点(,0)8
π
为函数()tan(2)4f x x π=+的一个对称中心.
命题:q 如果01,2,,120a b a b ==<>=r r r r
，那么b r 在a r 方向上的投影为1.
则()()p q ⌝∨⌝为真命题;
D ．命题“在ABC ∆中，若sin sin ,A B =则ABC ∆为等腰三角形”的否命题为真命题. 4．已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,,αβ有下列命题： ①若,m n m α⊥⊥，则//n α； ②若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//;αβ
③若,m n 是两条异面直线，,,//,//,m n m n αββα⊂⊂则//;αβ ④若,,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥I 则n α⊥. 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．在ABC ∆中,04,30,AB BC ABC AD ==∠=是边BC 上的高，则AD AC ⋅u u u r u u u r
的值等于（ ） A ．0
B ．4
C ．8
D ．4-
6．若不等式12a t t >---对任意t R ∈恒成立，则函数()21log (56)a
f x x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．5,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．(3,)+∞
C ．5,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．(),2-∞
7．设'()f x 为函数()f x 的导函数，且()sin 2'(),3
f x x x f π
=+⋅则
(
)12f π与()3
f π
的大小关系是（ ）
A ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．123f f ππ⎛⎫⎛⎫>
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．不能确定
8．设,x y 满足约束条件22084000
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数
11
(0,0)z x y a b a b =
+>>的最大值为2，则a b +的最小值为（ ） A ．92 B ．14 C ．29 D ．4
9．右图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为 1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V , 则12:V V =（ ） A ．122
B ．82
C ．62
D ．42
10．若数列{}n a 满足221n n a a p --=(p 为常数，2n ≥,n N *
∈)，则称数列{}n a 为等方差数列，
p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，12a a ≠，设集合12231
111
,1100,n n n n A T T n n N a a a a a a *
+⎧⎫⎪
⎪
==
+++≤≤∈⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭
L ，取A 的非空子集B ，若B 的元素都是整数，则B 为“完美子集”，那么集合A 中的完美子集的个数为
（ ）
A ．64
B ．63
C ．32
D ．31
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.
11．(,0)a ∀∈-∞，0x ∃使得cos 0a x a +≥成立，则0sin(2)6
x π
-=
12．已知||2||0a b =≠r v ，且关于x 的方程2||0x a x a b +⋅+⋅=v v v 有实数根，则a v 与b v
的夹角的取值
范围是
13.设22
0log (0)(),3(0)a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
⎰若[](1)1f f =,则a = 14．已知()f x 是定义在R 上连续的偶函数，()f x 的图象向右平移一个单位长度又得到一个
奇函数，且(2)1f =-.则(8)(9)(10)(2012)f f f f ++++=L
15．在坐标平面xOy 内，直线32m y x =+与圆222x y n +=相切，其中m ，n N *∈，0||1m n <-≤，若函数1()x f x m n +=-的零点0(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k = .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题12分)
在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，点),(b a 在直线
C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上.
（1）求角C 的值；
（2）若18)(62
2
-+=+b a b a ，求ABC ∆的面积.
17．(
本小题12分)
一盒中装有分别标记着1，2，3，4的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.
（1）若每次取出的球不放回．．．盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的球的概率；
（2）若每次取出的球放回盒．．．中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中标号最大数字为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
18．(本小题12分)
如图（甲），在直角梯形ABED 中，AB //DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD , 且 BC =CD , AB =2,
F 、H 、
G 分别为AC ,AD ,DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED ,如图
（乙）．
（1）求证：平面FHG //平面ABE ；
（2）记,BC x =()V x 表示三棱锥B －ACE 的体积，求()V x 的最大值； （3）当()V x 取得最大值时，求二面角D －AB －C 的余弦值．
19．(本小题12分)
等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =， 且2264,b S = 33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）若不等式12111n S S S +++L 20094
m -<对n N *
∈成立,求最小正整数m 的值.
20．(本小题13分)
已知动圆C 过点A (-2,0),且与圆()642:22=+-y x M 相内切. （1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；
（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与(1)中所求轨迹交于不同两点B,D ,与双曲线
22
1412
x y -=交于不同两点E,F ,问是否存在直线l ，使得0DF BE +=u u u r u u u r r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
21．(本小题14分)
设函数2
()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>.
（1）若(1)(1)f g =，(1)(1)f g ''=，求()g x 的解析式；
（2）在(1)的结论下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由;
（3）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点1x 和2x ，且1x ，0x ,2x 成等差数列，试探究值
0()G x '的符号．
江西师大附中高三数学（理）期中考试参考答案 1.C 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.12-
12.,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
13.1 14. 1 15.0k = 16.解.(1).由题得()sin sin sin sin a A B b B c C -+=，
所以ABC ∆的面积211sin 3sin 2234
S ab C π=
=⨯⨯=. 17.解:(1).当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，
则第三次取出的球可能是3或4得：21321
4323
P ⨯+⨯==⨯⨯
(2).ξ的可能取值为1，2，3，4
3P ξ1（=1）=（）4,322
3117()()4464P C ξ+=213111（=2）=（）（）（）+C 444 322
31219()()4464P C ξ+=213
112（=3）=（）（）（）+C 444 322
31337()()4464P C ξ+=213
113（=4）=（）（）（）+C 444 所以，17193755
12346464646416
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
18.解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 为正方形
如图（乙）∵F 、H 、G 分别为AC , AD,DE 的中点∴FH //CD , HG //AE -，∵CD //BE ∴FH //BE ∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE ∴//FH 面ABE ，同理可得//HG 面ABE
又∵FH HG H =I ∴平面FHG //平面ABE. （2）∵平面ACD ⊥平面CBED 且AC ⊥CD ∴AC ⊥平面CBED
∴()V x ＝A BCE V -＝
1
3
BCE S AC ∆⋅ ∵BC x = ∴2AC x =-（0
2x <<） ∴()V x ＝22111(2)(2)326x x x x ⨯-=-＝1
(42)12x x x ⋅⋅- ∵21'()(43)6V x x x =-，令'()0V x =得0x =（不合舍去）或43x = 当43x >时'()0V x <，当403x <<时'()0V x >
∴当43x =时()V x 有最大值，max 4()()3V x V ==16
81
(3).由（2）知当()V x 取得最大值时4
3x =，即
BC =
43这时AC =23
，从而AB ==
过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结MD
∵,CD AC CD BC ⊥⊥AC BC C =I ∴CD ⊥面ABC
∵CM ⊂面ABC ∴CM CD ⊥ ∴AB ⊥面MCD
∵MD ⊂面MCD ∴AB MD ⊥∴CMD ∠是二面角D －AB －C 的平面角
由AB CM AC BC ⋅=⋅得AC BC CM AB ⋅=2415⨯
= M A
C
B
E
G H
F A C B
E
G
D
F
H
o
∴MD==,在Rt△MCD中cos
MC
CMD
MD
∠=
=
6
=.
19.解(1).设{}
n
a的公差为d，{}
n
b的公比为q，则d为正整数，
3(1)
n
a n d
=+-，1n
n
b q-
=依题意有
2
33
22
(93)960
(6)64
S b d q
S b d q
⎧=+=
⎨
=+=
⎩
解得
2
,
8
d
q
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
5
40
3
d
q
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
(舍去) 故1
32(1)21,8n
n n
a n n b-
=+-=+=
(2).35(21)(2)
n
S n n n
=++++=+
L
∴
12
1111111
132435(2)
n
S S S n n
+++=++++
⨯⨯⨯+
L L
11111111
(1)
2324352
n n
=-+-+-++-
+
L
1111
(1)
2212
n n
=+--
++
323
42(1)(2)
n
n n
+
=-
++
32009
44
m-
<≤
2012
m≥,所以所求m的最小正整数是2012.
20.解：（1）圆()64
2
:2
2=
+
-y
x
M，圆心M的坐标为()0
,2，半径8
=
R. ∵R
AM<
=4，∴点()0
,2
-
A在圆M内.
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得CA
r=，且r
R
CM-
=，
即AM
CA
CM>
=
+8. ∴圆心C的轨迹是中心在原点，以M
A,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()0
1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
, 则2
,4=
=c
a.∴12
2
2
2=
-
=c
a
b.
∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为1
12
16
2
2
=
+
y
x
.
(2)由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
.1
12
16
,
2
2y
x
m
kx
y
消去y化简整理得：
()0
48
4
8
4
32
2
2=
-
+
+
+m
kmx
x
k
设
11
(,)
B x y，
22
(,)
D x y，
则
122
8
34
km
x x
k
+=-
+
.∆1()()()0
48
4
4
3
4
82
2
2>
-
+
-
=m
k
km. ①
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.112
4,2
2y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，
则2
4332k
km x x -=+,∆2()()()0123422
22>+-+-=m k km . ② ∵DF BE +=0u u u r u u u r ，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，
∴2232438k km k km -=+-.∴02=km 或2
231434k k -=+-.解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m ，∵∈m Z,，∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;
当0m =，由①、②得 33<
<-k ，∵∈k Z,，∴1,0,1-=k .
∴满足条件的直线共有9条．
21.解：（1）由f (1)=g (1)，f ′(1)=g ′(1),得 b =1, a +b =2，解得a =b =1则g(x )=ln x +x . （2）因()f x 与()g x 有一个公共点(1，1)，而函数()f x =2
x 在点(1,1)的切线方程为y=2x -1.下面验证 f (x )≥2x -1 ,g(x )≤2x -1 都成立即可． 由221x x -+≥0，得2
x ≥2x -1，知f ()x ≥2x -1恒成立．
设h ()x =ln x +x -(21)x -，即()h x =ln x -x +1，易知其在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以h ()x =ln x +x -(21)x -的最大值为(1)h =0，所以ln x +x ≤2x -1恒成立．
故存在这样的k 和m ，且k =2，m =1-．
（3）G ′(x 0)的符号为正，理由为：∵G (x )=x 2
＋2－a ln x －bx 有两个不同的零点x 1，x 2，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
x 12
＋2－a ln x 1－bx 1＝0x 22
＋2－a ln x 2－bx 2＝0
，两式相减得x 22－x 12
－a (ln x 2－ln x 1)－b (x 2－x 1)=0.
即x 1＋x 2－b =
2121
(ln ln )a x x x x --，于是G ′(x 0)＝2x 0－a x 0－b =(x 1＋x 2－b )－2a
x 1＋x 2
=2121(ln ln )a x x x x --－2a x 1＋x 2=a x 2－x 1[ln x 2x 1－2112
2()x x x x -+]=a x 2－x 1[ln x 2
x 1－2
121
2(
1)1x x x x -+]，
①当0<x 1<x 2时，令x 2x 1
=t ，则t >1，且G ′(x 0)=
a
x 2－x 1
[ln t －
2(1)
1t t
-+]， 故ϕ(t )=ln t －2(1)1t t
-+ (t >1)，ϕ′(t )=1
t －24(1)t +＝22(1)(1)t t t -+>0，则ϕ(t )在[1，＋∞)
上为 增函数，而ϕ(1)＝0，∴ϕ(t )>0，即ln t －
2(1)
1t t
-+>0，又a >0，x 2－x 1>0，∴G ′(x 0)>0， ②当0<x 2<x 1时，同理可得：G ′(x 0)>0，综上所述：G ′(x 0)值的符号为正．。