黑龙江各市中考数学试题分类解析汇编（8专题）专题3：函数问题

黑龙江各市2013年中考数学试题分类解析汇编（8专题）
专题3：函数问题
江苏泰州锦元数学工作室编辑
一、选择题
1. （2013年黑龙江大庆3分）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是【】
A．它的图象必经过点（﹣1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大
【答案】C。

【考点】一次函数的性质。

【分析】A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y=﹣3×（﹣1）+1=4≠3，故A错误；
B、因为k=﹣3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；
C、当x=1时，y=﹣2＜0，故C正确。

故选C。

2. （2013年黑龙江大庆3分）已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是【】
A．B．C．D．
3. （2013年黑龙江大庆3分）已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是【】
A．4 B．0C．2D．3
【答案】B。

【考点】抛物线与x 轴的交点。

【分析】令y=0，得到x 2+2x ﹣3=0，即（x ﹣1）（x+3）=0，解得：x=1或x=﹣3。

由函数图象得：当﹣3＜x ＜1时，y ＜0，则m 的值可能是0。

故选B 。

4. （2013年黑龙江哈尔滨3分）把抛物线()2
y x 1=+向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是【 】．
(A)()2
y x 22=++ (B)()2
y x 22=+- (C)2y x 2=+ (D)2y x 2=- 【答案】D 。

【考点】抛物线的平移。

【分析】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动， 根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）。

因此，所得到的抛物线是2y x 2=-。

故选D 。

5. （2013年黑龙江哈尔滨3分）反比例函数12k
y x
-=的图象经过点(－2，3)，则k 的值为【 】． (A)6 (B)－6 (C) 72 (D) 72
- 【答案】C 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，反比例函数12k
y x
-=的图象经过点(－2，3)，则当x ＝－2时，y ＝3，∴12k 7
3k 22
-=
⇒=-。

故选C 。

6. （2013年黑龙江哈尔滨3分）梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x （单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克； ②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；
③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折： ④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱． 其中正确的个数是【 】．
(A)1个(B)2个(C)3个(D) 4个
【答案】D。

【考点】一次函数的分析，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。

【分析】由图象知，当0≤x≤10时，y=5x，即一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克。

故①正确。

由图象可用待定系数法可求，当x＞10时，y=2.5x+25，
∴一次购买30千克种子时，付款金额为y=2.5×30＋25=100元，故②正确。

由②x＞10时，付款y=2.5x+25，得每千克2.5元，故③正确。

当x=40时，代入y=2.5x+25得y=125；当x=20代入y=2.5x+25得y=75，两次共150元，两种相差25元，
故④正确。

综上所述，四种说法都正确。

故选D。

7. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）如图，是一种古代计时器﹣﹣“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）【】
A．B．C．D．
【答案】B。

【考点】函数的图象。

【分析】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；
由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项。

故选B。

8. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：
①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．
则其中正确结论的序号是【】
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④
【答案】C。

【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程的判别式和根与系数的关系，不等式的性质。

【分析】作出示意图如图，
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），
且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，则x=
b
2a
＞0，
∴b＞0。

∴abc＜0。

所以①正确。

∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac。

所以②正确。

当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，∴2a+b+c
2
=0。

∵0＜c＜2，∴2a+b+1＞0。

所以③错误。

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2。

∴2x1=c
a
，即x1=
c
2a。

∵﹣2＜x 1＜﹣1，∴﹣2＜
c
2a
＜﹣1。

∵a ＜0，∴﹣4a ＞c ＞﹣2a 。

∴2a+c ＞0。

所以④正确。

综上所述，正确结论的序号是①②④。

故选C 。

9. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x 2+1与3
y x
=
的交点的横坐标x 0的取值范围是【 】 A ．0＜x 0＜1 B ．1＜x 0＜2 C ．2＜x 0＜3 D ．﹣1＜x 0＜0 【答案】 B 。

【考点】二次函数和反比例函数的图象，数形结合思想的应用。

【分析】建立平面直角坐标系，然后利用网格结构作出函数y=x 2+1与3
y x
=的图象，根据数形结合思想，得函数y=x 2+1与3
y x
=的交点在第一象限，横坐标x 0的取值范围是1＜x 0＜2。

故选B 。

10.（2013年黑龙江牡丹江农垦3分）如图，反比例函数()k
y k 0x
=
≠的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是1，则反比例函数的解析式是【 】
A ．1y 2x =
B ．1y x =
C ．2y x =
D ．1
y 4x
=
【答案】C 。

【考点】反曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵点A 在反比例函数()k y k 0x =≠的图象上，∴设点A 的坐标为（x ，k x ）。

∴AB= x ，OB=k
x 。

∵△ABO 的面积是1，∴1AB OB 12⋅⋅=，即1k
x 1k 22x ⋅⋅=⇒=。

∴反比例函数的解析式是2
y x
=。

故选C 。

11. （2013年黑龙江牡丹江农垦3分）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为【】
A．B．C．D．
【答案】A。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形的过程中（0≤t＜1
V
），S=2×2﹣Vt×1=4﹣Vt，
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形时（1
V
≤t＜
2
V
），S=2×2﹣1×1=3，
③小正方形穿出大正方形的过程中（2
V
≤t≤
3
V
），S=3+V（t﹣
2
V
）×1= Vt+1。

分析选项可得，A符合。

（选项A、C的区别在第三线段所在直线与y轴的交点在x的上方还是下方）
故选A。

（若用特殊元素法，取V=1可使问题更简单）
12. （2013年黑龙江牡丹江市区3分）在函数
1
y
x2
=
-
中，自变量x的取值范围是【】
A．x≠0B．x＞2 C．x≥2D．x≠2
【答案】D。

【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二分式分母不为0的条件，要使
1 x
2 -在实数范围内有意义，必须x20x2
-≠⇒≠。

故选D。

13. （2013年黑龙江牡丹江市区3分）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是【】
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C。

【考点】二次函数与不等式（组），数形结合思想的应用。

【分析】根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可：
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1。

故选C。

14. （2013年黑龙江牡丹江市区3分）若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是【】
A．B．C．D．
【答案】C。

【考点】由实际问题列函数关系，等腰三角形的性质，一次函数的图象。

【分析】根据题意，x+2y=100，∴ y=﹣x+50。

根据三角形的三边关系，①x＞y﹣y=0；②x＜y+y=2y，即x+x＜100，解得x＜50。

∴y与x的函数关系式为y=﹣x+50（0＜x＜50）。

观察各选项，只有C选项符合。

故选C。

15. （2013年黑龙江绥化3分）对于反比例函数
3
y
x
，下列说法正确的是【】
A．图象经过点（1，﹣3）B．图象在第二、四象限
C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小
【答案】D。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析：
A、∵反比例函数
3
y
x
，∴当x=1时，y=3≠﹣3，故图象不经过点（1，﹣3），故此选项错误；
B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确。

故选D。

16. （2013年黑龙江绥化3分）如图，在平面直角坐标系中，长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与P所走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是【】
A．B．C．D．
【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】∵长、宽分别为2和1的矩形ABCD的边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，
∴当P点在AB上，此时纵坐标越来越小，最小值是1，
当P点在BC上，此时纵坐标为定值1，
当P点在CD上，此时纵坐标越来越大，最大值是2，
当P点在AD上，此时纵坐标为定值2。

故选D。

17. （2013年黑龙江龙东地区3分）如图，爸爸从家（点O ）出发，沿着扇形AOB 上OA→AB →BO 的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O ）的距离为S ，散步的时间为t ，则下列图形中能大致刻画S 与t 之间函数关系的图象是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 。

【考点】函数的图象。

【分析】由图象可得出：
当爸爸在半径AO 上运动时，离出发点距离越来越远； 在AB 上运动时，离出发点距离距离不变； 在OB 上运动时，离出发点距离越来越近。

故选C 。

18. （2013年黑龙江龙东地区3分）如图，Rt △ABC 的顶点A 在双曲线k
y x
=
的图象上，直角边BC 在x 轴上，∠ABC=90°，∠ACB=30°，OC=4，连接OA ，∠AOB=60°，则k 的值是【 】
A ．43
B ．43-
C ．23
D ．23-【答案】B 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形外角性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

【分析】∵∠ACB=30°，∠AOB=60°，∴∠OAC=∠AOB ﹣∠ACB=30°。

∴∠OAC=∠ACO 。

∴OA=OC=4。

在△AOB 中，∠ABC=90°，∠AOB=60°，OA=4，∴∠OAB=30°。

∴OB=
1
2
OC=2，33A 点坐标为（﹣2，3。

把A （﹣2，3）代入k
y x =
得k=﹣2×3﹣3
故选B 。

二、填空题
1. （2013年黑龙江绥化3分）函数y x 3
=-中自变量x 的取值范围是 ▲ ．
【答案】x>3。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0x 3-在实数范围内有意义，必须x 30x 3
x>3x 30x 3-≥≥⎧⎧⇒⇒⎨
⎨-≠≠⎩⎩。

2. （2013年黑龙江大庆3分）在函数y 2x 1=+x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1
x 2
≥-。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为02x 1+在实数范围内有意义，必须12x 10x 2
+≥⇒≥-。

3. （2013年黑龙江哈尔滨3分）在函数x
y x 3
=+中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】x 3≠-。

【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使x x 3
+在实数范围内有意义，必须x 30x 3+≠⇒≠-。

4. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）函数()0
x y x 2x 3
=---中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．
【答案】x≥0且x≠2且x≠3。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式、分式和0指数幂有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数、分式分母不为0和0指数幂不为0的条件，要使()0x x 2-在实数范围内有意义，必须x 0x 0x 30x 3x 0x 20x 2≥≥⎧⎧⎪⎪-≠⇒≠⇒≥⎨⎨⎪⎪-≠≠⎩⎩
且x≠2且x≠3。

5. （2013年黑龙江龙东地区3分）在函数x 1y x +=
中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】x 1≥-且x 0≠。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0x 1+在实数范围内有意义，必须x 10x 1x 1x 0x 0+≥≥-⎧⎧⇒⇒≥-⎨⎨≠≠⎩⎩
且x 0≠。

6. （2013年黑龙江龙东地区3分）二次函数y=﹣2（x ﹣5）2+3的顶点坐标是 ▲ ．
【答案】（5，3）。

【考点】二次函数的性质。

【分析】直接根据顶点式写出顶点坐标（5，3）。

7. （2013年黑龙江牡丹江农垦3分）在函数y 2x 1=-x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1x 2
≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数2x 1-在实数范围内有意义，必须12x 10x 2
-≥⇒≥。

8. （2013年黑龙江牡丹江市区3分）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点A （1，2）的直线y=kx+b 与x 轴交于点B ，且S △AOB =4，则k 的值是 ▲ ． 【答案】25或23
-。

【考点】一次函数图象上点的坐标特征。

【分析】把y=0代入y=kx+b 得ax+b=0，解得b x k =-，∴B 点坐标为（b k
-，0）。

把A （1，2）代入y=kx+b 得k+b=2，则b=2﹣k 。

∴B 点坐标为（2k k
--，0）。

∵S △AOB =4，∴12k 242k --⋅=|，即|2k 2k 244k k k 5---=⇒=±⇒=或2k 3
=-。

9. （2013年黑龙江牡丹江市区3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c= ▲ ．
【答案】﹣2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值，整体思想的应用。

【分析】把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax 2
+bx+c （a≠0）得：a b c 2a b c 6++=⎧⎨-+=-⎩①②， ①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2。

三、解答题
1. （2013年黑龙江大庆6分）如图，已知一次函数y=k 1x+b （k 1≠0）的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，且与反比例函数2k y x
=
（k 2≠0）的图象在第一象限的交点为C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，若OA=OB=OD=2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】解：（1）∵OA=OB=2，∴A （﹣2，0），B （0，2）。

将A 与B 的坐标代入y=k 1x+b 得：12k b 0b 2-+=⎧⎨=⎩，解得：1k 1b 2=⎧⎨=⎩。

∴一次函数解析式为y=x+2。

（2）∵OD=2，∴D （2，0）。

∵点C 在一次函数y=x+2上，且CD ⊥x 轴，
∴将x=2代入一次函数解析式得：y=2+2=4，即点C 坐标为（2，4）。

∵点C 在反比例图象上，∴将C （2，4）代入反比例解析式得：k 2=8。

∴反比例解析式为8y x
=。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）由OA 与OB 的长，确定出A 与B 的坐标，代入一次函数解析式中求出k 1与b 的值，即可确定出一次函数解析式。

（2）由OD 的长，确定出D 坐标，根据CD 垂直于x 轴，得到C 与D 横坐标相同，代入一次函数解析式求出C 的纵坐标，确定出C 坐标，将C 坐标代入反比例解析式中求出k 2的值，即可确定出反比例解析式。

2. （2013年黑龙江哈尔滨6分） 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)。

现以AB 所在直线为x 轴．以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O ．已知AB=8米。

设抛物线解析式为2y ax 4=-．
（1）求a 的值；
（2）点C(一1，m)是抛物线上一点，点C 关于原点D 的对称点为点D ，连接CD 、BC 、BD ，求△BCD 的面
积．
【答案】解：（1）∵AB=8， ∴由抛物线的对称性可知OB=4。

∴B(4，0)。

∵点B 在抛物线2y ax 4=-，∴16a 40-=，解得1a 4
=。

（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ，
∵1a 4
=，∴21y x 44=-。

令x 1=-，∴2115m (1)444=
⨯--=-。

∴C 1514⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，。

∵点C 关于原点对称点为D ，∴D 1514⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ，。

∴CE=DF 154。

∴BCD BOD BOC 11115115S S S OB DF OB CE 4415222424
∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯=。

∴△BCD 的面积为l5平方米。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，关于原点对称的点的坐标特征，转换思想的应用。

【分析】（1）首先得出B 点的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，利用待定系数法求出a 。

（2）首先得出C 点的坐标，再由对称性得D 点的坐标，由BCD BOD BOC S S S ∆∆∆=+求出△BCD 的面积。

3. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭6分）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣4，0），B （﹣1，3），C （﹣3，3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的对称轴为直线l ，该图象上的点P （m ，n ）在第三象限，其关于直线l 的对称点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N ，若四边形OAPN 的面积为20，求m 、n 的值．
（2）由题可知，M 、N 点坐标分别为（﹣4﹣m ，n ），（m+4，n ）．
∵四边形OAPF 的面积=（OA+FP ）÷2×|n|=20，即4|n|=20，解得|n|=5。

∵点P （m ，n ）在第三象限，∴n=﹣5。

∴﹣m 2﹣4m+5=0，解得m=﹣5或m=1（舍去）。

∴所求m 、n 的值分别为﹣5，﹣5．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质。

【分析】（1）因为抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣4，0），B （﹣1，3），C （﹣3，3）代入求出其解析式即可。

（2）由题可知，M 、N 点坐标分别为（﹣4﹣m ，n ），（m+4，n ），根据四边形OAPF 的面积为20，从而求出其m ，n 的值。

4. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭8分）甲乙两车分别从A 、B 两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S （千米）与甲车出发时间t （小时）之间的函数图象，其中D 点表示甲车到达B 地，停止行驶． （1 ）A 、B 两地的距离 ▲ 千米；乙车速度是 ▲ ；a 表示 ▲ ．
（2）乙出发多长时间后两车相距330千米？
【答案】解：（1）560； 100；甲车到达B 地时甲乙两车之间的距离为a 千米。

（2）设直线BC 的解析式为S=k 1t+b 1（k 1≠0），
将B （1，440），C （3，0）代入得，
1111k b 4403k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得：11
k 220b 660=-⎧⎨=⎩。

∴直线BC 的解析式为S=﹣220t+660。

当﹣220t+660=330时，解得t=1.5，
∴t ﹣1=1.5﹣1=0.5。

∵相遇后甲车到达B 地的时间为：（3﹣1）×100÷120=
53
小时， ∴点D 的横坐标为53+3=143，a=（120+100）×53=11003
千米。

∴D （143，11003）。

设直线CD 的解析式为S=k 2t+b 2（k 2≠0），
将C （3，0），D （143，11003
）代入得， 22223k b 0141100k b 3
3+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22k 220b 660=⎧⎨=-⎩。

∴直线CD 的解析式为S=220t ﹣660。

当220t ﹣660=330时，解得t=4.5。

∴t ﹣1=4.5﹣1=3.5。

答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米。

【考点】一次函数的应用，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。

【分析】（1）根据图象，甲出发时的S 值即为A 、B 两地间的距离；先求出甲车的速度，然后设乙车的速度为xkm/h ，再利用相遇问题列出方程求解即可；然后求出相遇后甲车到达B 地的时间，再根据路程=速度×时间求出两车的相距距离a 即可：
∵t=0时，S=560，∴A 、B 两地的距离为560千米。

甲车的速度为：（560﹣440）÷1=120千米/小时，
设乙车的速度为x 千米/小时，则（120+x ）×（3﹣1）=440，解得x=100。

∴A 、B 两地的距离为560千米，乙车的速度为100千米/小时，a 表示甲车到达B 地时甲乙两
车之间的距离为a 千米。

（2）设直线BC 的解析式为S=k 1t+b 1（k 1≠0），利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再令S=330，求出t 的值，减去1即为相遇前乙车出发的时间；设直线CD 的解析式为S=k 2t+b 2（k 2≠0），利用待定系数法求出直线CD 的解析式，再令S=330，求出t 的值，减去1即为相遇后乙车出发的时间。

5. （2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭10分）如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于
A 、
B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程)
2x 31x 30-
的两个根，点C 在x 轴负半轴上，
且AB ：AC=1：2
（1）求A 、C 两点的坐标；
（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解)
2x 31x 30-得（x 3（x ﹣1）=0， 解得x 13，x 2=1。

∵OA ＜OB ，∴OA=1，3A （1，0），B （03。

∴AB=2。

又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4。

∴C （﹣3，0）。

；
（2）由题意得：CM=t ，3 ①当点M 在CB 边上时，3﹣t （0≤t ＜23）；
②当点M 在CB 边的延长线上时，S=t ﹣23（t ＞23。

（3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（123。

【考点】一次函数综合题，单动点问题，解一元二次方程，勾股定理，由实际问题列函数关系式，菱形的判定，分类思想的应用。

【分析】（1）通过解一元二次方程)
2x 31x 30-+=，求得方程的两个根，从而得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标。

（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。

（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标：
6. （2013年黑龙江龙东地区6分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴
1b c0
93b c0
-+=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得：
b2
c3
=-
⎧
⎨
=-
⎩。

∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）联立得：
2
y x2x3
y x1
⎧=--
⎨
=+
⎩
，解得：1
1
x1
y0
=-
⎧
⎨
=
⎩
，2
2
x4
y5
=
⎧
⎨
=
⎩。

∴D（4，5）。

对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1）。

对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3）。

∴EF=4。

过点D作DM⊥y轴于点M，
∴S△DEF=1
2
EF•DM=8。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可。

（2）首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积。

7. （2013年黑龙江龙东地区8分）2012年秋季，某省部分地区遭受严重的雨雪自然灾害，兴化农场34800亩的农作物面临着收割困难的局面．兴华农场积极想办法，决定采取机械收割和人工收割两种方式同时进行
抢收，工作了4天，由于雨雪过大，机械收割被迫停止，此时，人工收割的工作效率也减少到原来的2
3
，第
8天时，雨雪停止附近的胜利农场前来支援，合作6天，完成了兴化农场所有的收割任务．图1是机械收割的亩数y1（亩）和人工收割的亩数y2（亩）与时间x（天）之间的函数图象．图2是剩余的农作物的亩数w（亩）与时间x天之间的函数图象，请结合图象回答下列问题．
（1）请直接写出：A点的纵坐标▲ ．
（2）求直线BC的解析式．
（3）第几天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍？
【答案】解：（1）点A的纵坐标为600。

（2）∵600+400=1000，∴点B的坐标为（8，1000）。

∵34800﹣32000=2800，∴点C的坐标为（14，2800）。

设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
8k b1000
14k b2800
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
k300
b1400
=
⎧
⎨
=-
⎩。

∴直线BC的解析式为y=300x﹣1400。

（3）设直线AB 的解析式为y=k 1x+b 1，
∵A （4，600），B （8，1000），
∴11114k b 6008k b 1000+=⎧⎨+=⎩，解得11
k 100b 200=⎧⎨=⎩。

∴直线AB 的解析式为y=100x+200，
由题意得，10（100x+200）=8000，解得x=6。

设直线EF 的解析式为y=k 2x+b 2，
∵E （8，8000），F （14，32000），
∴22228k b 800014k b 32000+=⎧⎨+=⎩，解得22
k 4000b 24000=⎧⎨=-⎩。

∴直线EF 的解析式为y=4000x ﹣24000。

由题意得，4000x ﹣24000=10（300x ﹣1400），解得x=10。

答：第6天和第10天时，机械收割的总量是人工收割总量的10倍。

【考点】一次函数的应用，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。

【分析】（1）根据题意可知a=8，再根据图2求出4到8天时的人工收割量，然后求出前4天的人工收割的量即可得到点A 的纵坐标：
由题意可知，a=8，
∴第4到8的人工收割作物：26200﹣25800=400（亩）。

∴前4天人工收割作物：400÷23=600（亩）。

∴点A 的纵坐标为600。

（2）求出点B 、C 的坐标，设直线BC 的解析式为y=kx+b ，利用待定系数法求一次函数解析式解答。

（3）利用待定系数法求出直线AB 的解析式，然后列出方程求解，再求出直线EF 的解析式，根据10倍关系列出方程求解，从而最后得解。

8. （2013年黑龙江龙东地区10分）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A 、B 两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A 型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B 型“廉租房”的造价为4.8万元．
（1）请问有几种开发建设方案？
（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？
（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案．
【答案】解：（1）设建设A型x套，则B型（40﹣x）套，
根据题意得，
5.2x 4.8(40x)198
5.2x 4.8(40x)200
+-≥
⎧
⎨
+-≤
⎩
①
②
，
解不等式①得，x≥15；解不等式②得，x≤20。

∴不等式组的解集是15≤x≤20。

∵x为正整数，∴x=15、16、17、18、19、20。

答：共有6种方案。

（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40﹣x）套，
W=5.2x+4.8×（40﹣x）=0.4x+192，
∵0.4＞0，∴W随x的增大而增大。

∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元。

（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，
则（5.2﹣0.7）a+（4.8﹣0.3）b=15×0.7+（40﹣15）×0.3，整理得，a+b=4。

a=1时，b=3，
a=2时，b=2，
a=3时，b=1，
∴再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套；
②A型住房2套，B型住房2套；
③A型住房3套，B型住房1套。

【考点】一元一次不等式组、二元一次方程和一次函数的应用。

【分析】（1）设建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据投入资金不超过200万元，又不低于198万元列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x是正整数解答。

（2）设总投资W元，建设A型x套，B型（40﹣x）套，然后根据总投资等于A、B两个型号的投资之和列式函数关系式，再根据一次函数的增减性解答。

（3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套，根据再建设的两种户型的资金等于（2）中方案节省的资金列出二元一次方程，再根据a、b都是正整数求解即可。

9. （2013年黑龙江牡丹江农垦6分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴
1b c0
c3
++=
⎧
⎨
=-
⎩
，解得
b2
c3
=
⎧
⎨
=-
⎩。

∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3。

（2）P（﹣4，5）（2，5）。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3。

（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1。

∴A（1，0），B（﹣3，0）。

∴AB=4。

设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴1
2
AB•|n|=10，解得：n=±5。

当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2。

∴P（﹣4，5）（2，5）。

当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解。

∴P（﹣4，5）（2，5）。

10. （2013年黑龙江牡丹江农垦8分）甲乙两车从A 市去往B 市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B 市后停留一段时间返回，乙到达B 市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A 市的路程S （千米）与行驶时间t （小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：
（1）A 、B 两市的距离是 ▲ 千米，甲到B 市后， ▲ 小时乙到达B 市；
（2）求甲车返回时的路程S （千米）与时间t （小时）之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）请直接写出甲车从B 市往回返后再经过几小时两车相距15千米．
【答案】解：（1）120；5。

（2）如图，∵AB 两地的距离是120km ，
∴A （3，120），B （10，120），D （13，0）。

设线段BD 的解析式为S 1=k 1t+b 1，由题意，得：
111110k b 12013k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得：11
k 40b 520=-⎧⎨=⎩。

∴S 1=﹣40t+520。

t 的取值范围为：10＜t≤13。

（3）t=514或t=454。

【考点】阅读理解型，一次函数的应用，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。

【分析】（1）根据路程=速度×时间的数量关系用甲车的速度×甲车到达乙地的时间久可以求出两地的距离：
40×3=120km ；
根据时间=路程÷速度就可以求出乙需要的时间：120÷20﹣3+2=5小时。

（2）由（1）的结论可以求出BD 的解析式，由待定系数法就可以求出结论。

（3）运用待定系数法求出EF 的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可：
设EF 的解析式为s 2=k 2t+b 2，由题意，得：22228k b 12014k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得：22
k 20b 280=-⎧⎨=⎩。

∴S 2=﹣20t+280。

当﹣20t+280﹣（﹣40t+520）=15时，t=
514；当﹣40t+520﹣（﹣20t+280）=15时，t=454。

∴甲车从B 市往回返后再经过514或454
小时两车相距15千米。

11. （2013年黑龙江牡丹江农垦10分）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A 型电脑每台进价2500元，B 型电脑每台进价2800元，A 型每台售价3000元，B 型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A 型电脑购进x 台、商场的总利润为y （元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y （元）与购进A 型电脑x （台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A 型和B 型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A 型电脑、B 型电脑和帐篷的方案．
【答案】解：（1）设A 型电脑购进x 台，则B 型电脑购进（40﹣x ）台，由题意，得
2500x 2800(40x)1057003000x 3200(40x)123200+-≤⎧⎨+-≥⎩
，解得：21≤x≤24。

∵x 为整数，∴x=21，22，23，24。

∴有4种购买方案：
方案1：购A 型电脑21台，B 型电脑19台；
方案2：购A 型电脑22台，B 型电脑18台；
方案3：购A 型电脑23台，B 型电脑17台；
方案4：购A 型电脑24台，B 型电脑16台。

（2）由题意，得y=（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x ）=500x+16000﹣400x=100x+16000，
∵k=100＞0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴x=24时，y 最大=18400元。

（3）设再次购买A 型电脑a 台，B 型电脑b 台，帐篷c 顶，由题意，得。