北京市届高三数学理科一轮复习专题突破训练数列

北京市 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练
数列
一、选择、填空题
1 、（ 2016年北京高考）已知{ a n } 为等差数列，S n为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3a50 ，则S6 = _______..
2、（ 2015 年北京高考）设a n是等差数列 . 以下结论中正确的选项是
A. 若a1a20 ，则 a2a30
B. 若a1a30 ，则 a1 a20
C.若0a1a2，则a2a1 a3
D.若a10 ，则 (a2a1) a2a30
3、（ 2014 年北京高考）若等差数列a n满足 a7a8a90 ， a7a100，则当 n______时，
a n的前 n 项和最大.
4、（旭日区2016 届高三二模）为了响应政府推动“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60 万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种花费 8 万元，此后每年支出的花费比上一年多2万元 .每年销
售蔬菜的收入为 26 万元 .设f (n)表示前n年的纯利润（ f (n) =前n年的总收入－前n 年的总花费支出－投资额），则 f (n)（用 n 表示）；从第年开始盈余 .
5、（东城区2016 届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于 6 ，并且这三个数分别加上3、
6、
13 后成为等比数列b n中的 b 、 b 、 b ，则数列b n的通项公式为
A. b n2n 1
B. b n3n 1
C.b n2n 2
D. b n3n 2
6、（丰台区2016 届高三一模）若数列a n满足a n+ 1= 2a n(a n刮0, n N*)，且a2与a4的等差中
项是 5，则a1+ a2++ a n等于
（ A ）2n（ B）2n- 1（C）2n- 1（ D）2n- 1- 1
7、（海淀区2016 届高三二模）在数列{ a n } 中， a12，且 ( n 1)a n na n1，则 a3的值为
A. 5
B.6
C.7
D.8
8、（昌平区2016 届高三上学期期末）已知函数 f (x) 的部分对应值如表所示. 数列{ a n}满足a11,且对任意 n N*，点(a n, a n 1)都在函数 f ( x)的图象上，则a2016的值为
x1234
f ( x)3124
A . 1 C. 3 D. 4
9、（旭日区2016 届高三上学期期中）已知等差数列 { a n } 的公差 2，若 a1 , a2 , a4成等比数列，那么 a1等于（）
A.2
B. 1
C.1
D.2
10、（海淀区 2016届高三上学期期中）数列的前 n和
，的
A ． 1B． 3C．5D．6
11、（石景山区 2016届高三上学期期末）已知数列a n是等差数列， a3 8 , a4 4 ，
前 n 和 S n中最大的是（）
A. S3
B. S4或S5
C.S5或S6
D. S6
12、（城区2016 届高三上学期期中）
在数列a n中，
13、（丰台区2016届高三上学期期末）设等差数列 { a n} 的前n项和为 S n，若S7=42,则a2 a3a7=.
二、解答
1、（ 2016 年北京高考）数列 A ：a1，a2 , ⋯a N( N).假如小于n (2n N )的每个正整数 k 都有a k＜a n，称n是数列A的一个“G刻”.“G ( A)是数列A的全部“G刻” 成的会集 .
（ 1）数列 A ： -2， 2，-1， 1， 3，写出G( A)的全部元素；
（ 2）明：若数列 A 中存在a n使得a n > a1，G ( A)；
（ 3）明：若数列 A 足a n - a n 1≤1（ n=2,3, ⋯）,N, G ( A)的元素个数不小于a N - a1 .
2、（ 2015 年北京高考）
已知数列 a n满足： a1N*，a136，且a n 12a n ,a n 18n 1,2 ．
2a n 36, a n. 18
记会集M a n n N．
（Ⅰ）若a1 6 ，写出会集M的全部元素；
（Ⅱ）若会集M 存在一个元素是 3 的倍数，证明：M 的全部元素都是 3 的倍数；
（Ⅲ）求会集M 的元素个数的最大值．
3、（ 2014 年北京高考）对于数对序列P(a1,b1),( a2 ,b2),,( a n ,b n ) ，记 T1 (P) a1b1，
T k (P) b k max{T k 1(P), a1 a2a k }(2k n) ，此中
max{T k 1( P), a1a2a k } 表示 T k 1 (P) 和 a1a2a k两个数中最大的数，
（ 1）对于数对序列P(2,5), P(4,1) ，求 T1 (P),T2 (P) 的值.
（ 2）记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b),( c, d) 组成的数对序列P(a,b),( c,d ) 和 P '(a,b),( c, d ) ，试分别对m a和 m d 的两种状况比较 T2 (P) 和 T2 (P ')的大小 .
（3）在由 5 个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)构成的全部数对序列中，写出一个数对序
列 P 使 T5 (P) 最小，并写出 T5 (P) 的值.（只需写出结论）.
4、（旭日区2016 届高三二模）已知会集S k 1 k3n
1
, k N(n 2 ，且 n N )．若存2
在非空会集 S1,S2,, S n，使得 S S1S2S n，且 S i S j(1 i ,j n i,j )，并x, y S i( i 1, 2,,n ) ,x ，y都有 x y S i，则称会集S拥有性质P ， S i（i1,2,, n ）称为会集 S的 P 子集．
（Ⅰ）当 n 2 时，试说明会集 S 拥有性质 P ，并写出相应的P 子集
S1,S2
；
（Ⅱ）若会集S 拥有性质 P ，会集 T 是会集 S 的一个 P 子集，设T { s 3n| s T} ，求证：x, y T T ， x y ，都有 x y T T ；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n 2 ，会集 S 拥有性质P．
5、（东城区2016 届高三二模）数列{ a n}中，定义：d n a
n 2a n 2a n 1 ( n 1) ，a11.
（Ⅰ）若 d n a n， a22，求 a n；
( Ⅱ ) 若a2 2 ， d n1，求证此数列满足 a n5 ( n N*) ；
（Ⅲ）若 d n1，a21且数列 { a n} 的周期为4，即 a n 4a n (n1) ，写出全部吻合条件的{ d n } .
6 、（丰台区2016 届高三一模）已知数列{ a n } 是无量数列，a1 =a,a2 b （ a,b 是正整数），
a n(a n1),
a n1a n1
.
a n 1 =
a n1(a n1)
a n a n1
（Ⅰ）若 a12, a2 =1 ，写出 a4 ,a5的值；
（Ⅱ）已知数列{ a n} 中 a k（1 k N * ) ，求证：数列 { a n } 中有无量项为1；
（Ⅲ）已知数列{ a n} 中任何一项都不等于1，记b n=max{ a2 n 1,a2n}( n1,2, 3, ;max{ m ,n }
为m,n较大者） .求证：数列 {b n } 是单调递减数列 .
7、（海淀区2016 届高三二模）已知会集
，
1,2，，n}
, n { X | X ( x1 , x2 , , x i ,..., x n ), x i {0,1} i
此中 n3.
X( x1 , x2 , , x i ,..., x n )n , 称x i为 X 的第i个坐标重量.若S n ，且满足以下两条性质：
①S 中元素个数许多于 4 个；
②X ,Y, Z S ，存在m {1,2，,n}，使得 X ,Y , Z 的第 m 个坐标重量都是1；
则称 S为n的一个好子集 .
（Ⅰ）若S{ X ,Y,Z,W} 为3的一个好子集，且 X (1,1,0),Y(1,0,1)，写出Z ,W；
（Ⅱ）若S 为n 的一个好子集，求证：S中元素个数不超出 2n 1 ；
（Ⅲ）若S 为n的一个好子集且 S 中恰好有2n 1个元素时，求证：必定存在独一一个k{1,2,...,n} ，使得S中全部元素的第k 个坐标重量都是 1.
8、（石景山区 2016 届高三一模）若对任意的正整数
n ，总存在正整数 m ，使得数列 { a n } 的前 n 项和
S n
a m ，则称 { a n } 是“回归数列” ．
（Ⅰ）①前 n 项和为 S
2n 的数列 { a n } 是不是“回归数列”？并请说明原由；
n
②通项公式为 b n 2 n 的数列 { b n } 是不是“回归数列”？并请说明原由；
（Ⅱ）设 { a n } 是等差数列，首项
a 1 1 ，公差 d 0 ，若 { a n } 是“回归数列” ，求 d 的值；
（ Ⅲ ） 是 否 对 任 意 的 等 差 数 列 { a n } ， 总 存 在 两 个 “ 回 归 数 列 ” { b n } 和 { c n } ， 使 得
a n
b n
c n (n
N * ) 成立，请给出你的结论，并说明原由．
9、（西城
区
2016
届 高 三 二 模 ） 已 知 任 意 的 正 整 数 n
都可独一表示为
k
k 1
1
1 ， a ,a , ,a
{0,1} ，
．
n a 0 2 a 1
2
a k
1
2 a
k
，此中 a
k
k N
2
1 2
对于 n N ，数列 {b n } 满足：当 a 0 , a 1 , , a k 中有偶数个 1 时， b n
0；不然 b n 1 ．如数 5 可以
独一表示为 5 1 22
0 21
1 20 ，则 b 5 0 ．
（Ⅰ）写出数列 { b n } 的前 8 项；
（Ⅱ）求证：数列 { b n } 中连续为 1 的项不超出 2 项；
（Ⅲ）记数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ，求满足 S n
1026的全部 n 的值．（结论不要求证明）
10、（旭日区 2016 届高三上学期期末）已知有穷数列： a 1, a 2 , a 3 , , a k ( k N * , k 3) 的各项均为
正数，且满足条件：
2 1 ( n 1,2,3, , k 1) ．
① a 1 a k ；② a n
2a n 1
a n
a n
1
（Ⅰ）若 k
3, a 1 2 ，求出这个数列；
（Ⅱ）若 k
4 ，求 a 1 的全部取值的会集；
（Ⅲ）若 k 是偶数，求 a 1 的最大值（用 k 表示）．
11、（旭日区 2016届高三上学期期中）已知等差数列a n的首项 a1 1 ，公差 d 1 ，前 n 项和为 S n，
且 b n
1
. S n
（Ⅰ）求数列b n的通项公式；
（Ⅱ）求证： b1b2 b3b n 2 .
12、（东城区 2016 届高三上学期期末）设 { a n } 是一个公比为 q (q0, q 1) 等比数列， 4a1 ,3 a2 , 2a3成等差数列 , 且它的前 4 项和s415.
（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；
（Ⅱ）令 b n a n2n,( n1,2,3......) ,求数列 { b n } 的前n项和.
参照答案
一、选择、填空题
1、【答案】 6
【分析】
试题分析：∵ { a n } 是等差数列，∴a3a52a40 ， a40 ， a4a1 3d6， d 2 ，
∴ S66a115d6615( 2) 6 ，故填：6．
2、 C
分析： d0 a1a3a2d a2d a22 d 2
a22a22 d 2a2a1a3
3、 8
由等差数列的性质，a7a8a93a8，a7a
10
a
8
a
9，于是有
a
80 ，a8a9
，故
a
9
0 ．故
S8S7， S9S8， S8为 { a n } 的前n
项和 S n中的最大值
4、n219n 60 , 5
5、A
6、 B
7、 B
8、 B9、A10、 C11、 B
1n
1)13、 18
12、（2
2
二、解答题
1、【答案】（1）G ( A)的元素为2和5；（ 2）详见分析；（3）详见分析 .
假如 G i，取 m i min G i，则对任何 1k m i , a k a n i a m i.
从而 m i G( A) 且 m i n i 1.
又因为 n p是 G ( A) 中的最大元素，所以 G p.
2、分析 : （Ⅰ）6，12，24．
（Ⅱ）因为会集M 存在一个元素是3 的倍数，所以没关系
设
a k是 3的倍
数．
由 a n 12a n ,a n18,
可归纳证明对任意n k ， a n是 3的倍数．2a n36,a n 18
假如 k 1 ，则 M 的全部元素都是3的倍数．
假如 k 1 ，因为 a k2a k 1或 a k2a k 136，所以2a k 1 是3的倍数，于是 a k 1是 3的倍数．类
似可得，a,, a
都是 3 的倍数．从而对任意n1，
a
n 是
3
的倍数．所以会集
M
的全部元素k21
都是 3 的倍数．
综上，若会集M 存在一个元素是 3 的倍数，则会集M 的全部元素都是 3 的倍数．
（Ⅲ）由 a36， a n 2a n 1 ,
a
n 118,可归纳证明a36(n2,3,) ．
n
12a n 136,a n1 18
因为 a 是正整数， a
2a1,a118,
所以 a是
2的倍数．2
12a1 36,a1182
从而当 n 3 时， a n是 2 的倍数．
假如 a1是 3 的倍数，由（Ⅱ）知对全部正整数n ，a n是3的倍数．
所以当 n 3 时， a n{12,24,36} ．这时
M的元素的个数不超出 5 ．
假如 a1不是 3 的倍数，由（Ⅱ）知对全部正整数n ，a n不是3的倍数．
所以当 n 3 时， a n{ 4,8,16,20,28,32} ．这时 M 的元素的个数不超出8．
当 a1 1时，
M{1,2,4,8,16,20,28,32} 共 8 个元素．综上可知，会集 M元素个数的最大值为 8 ．3、⑴ T1 P 2 5 7 , T2P 1 max T1 P 2 4 1 max 7 68 ;
⑵当m a ：
T1P a b ， T2P d max a b a c a d max b c ；
T1P c d ， T2P b max c d c a b c max a d b c d ；
因 a 是a b c d 中最小的数，所以 a max b c≤ b c ，从而T2P ≤T2P；
当 m d ，
T1P a b ， T2P d max a b a c a d max b c；
T1P c d ， T2 P b max c d c a b c max a d a b c ；
因 d 是 a b c d 中最小的数，所以d max b c≤ b c ，从而 T2P≤T2P。

上，两种状况下都有T2P≤T2P。

⑶数列序列 P :4,6， 11,11，16,11 ，11,8， 5,2的 T5P的最小；
T1 P 10，T2 P26，T3 P42，T4 P50，T5 P 52 .
4、明：（Ⅰ）当n2，S{1,2,3,4} ，令 S1 {1,4} ， S2{2,3} ,
S S1 S2,且x, y S i(i 1,2), x y ，都有 x y S i，
所以 S 拥有性P．相的P 子集S1{1,4} ， S2{2,3} ．⋯⋯⋯⋯ 3 分
（Ⅱ）①若 x, y T (1y x 3
n
1
) ,由已知 x y T , 2
又 x y3n 1 13n,所以 x y T ．所以 x y T T ' ．
2
②若 x, y T,可x s 3n , y r 3n，r , s T,且1 r s 3n 1 ，
2
此 x y (s 3n ) (r 3n ) s r3n
1
1 3n．2
所以 x y T ' ，且 x y s r T ．所以 x y T T．
③若 y T ,x s 3n T , s T ，
x y (s 3n ) y (s y) 3n(1 3n 1) 3n3n 3 3n 1 ,
222
所以 x y T ．
又因 y T , s T ，所以 s y T ．所以x y(s3n )y (s y)3n T ．所以 x y T T ' ．
上，于x, y T T ' ， x y ，都有 x y T T ' ．⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
（Ⅲ）用数学法明．
（ 1）由（Ⅰ）可知当n 2，命成立，即会集S拥有性 P．
（ 2）假n k ( k2)，命成立．即S{1,2,3,, 3k21}S1 S2S k，且 S i S j(1i, j n,i j ) ，x, y S i(i 1,2,, k), x y ，都有 x y S i．那么当 n k1， S i{ s3k | s S i } ,，
并构造以下k + 1个会集：S1S1S1,S2S2S2,, S k S k S k，
S
k 1{ 3k 1 1,3k 1 2, ,2 3k 1
1}，
222然 S i S j(i j ) ．
3k 11
33k1
1，所以 S1S2S k
S
k 1{1,2,3,
3k 11
又因22,2} ．
下边明中任意两个元素之差不等于中的任一元素
(i1,2, , k1)．
S i￠￠S i￠￠
①若两个元素3
k 1 r , 3k1s S k 1,1 r s3k11, 222
(3k 1 s) (3k1r ) s r3k 1 ,
222
所以( 3k1s) (3k1r ) S k 1．
22
②若两个元素都属于S i S i S i(1i k) ,
由（Ⅱ）可知，S i中任意两个元素之差不等于S i中的任一数 (i 1,2,, k1) ．从而， n k1命成立．
上所述，任意正整数n 2 ，会集 S 拥有性P．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
5、（Ⅰ）由d n a
n 2
a
n2a n 1 (n1) 以及d n a n可得：
a n22a n 10 (n1)
所以从第二项起为等比数列. 经过考据{ a
n
}
为等比数列
a
n2n 1.-------------------2分
( Ⅱ ) 因为d n 1 所以有a n 2a n2a n1
1
.令 c n a n 1a n则有c n1c n1叠加得：
c n n4所以有 a n 1a n n4
n29n 10，叠加可得： a n2，
所以最小值为 -5.--------------------------------------------------------6分（Ⅲ）因为d n1，a11， a21
若 d11可得
a
3
2 ，若d1 1 可得a 0
3
同理，若 d21可得a4 4 或 a4 2 ，若d21可得a40 或 a42详尽以下表所示
7
4
5
2
3
2
1
11
1
1
3
2
5
所以 { a n } 可以为
1 1
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 LL
或 110011001100L L
此时相应的{ d n } 为11111 1 11LL
或 1 1 11 1 1 11LL
------------------------------------------------------13 分
6、解：（Ⅰ）
a 4 2, a 5 1； -----------------------------------------------------2 分
（Ⅱ） a k
（1 k N * ) ，假 a k 1
m
①当 m 1 ，依 意有
a k 2 a k 3
1
②当
③当
m
1 ，依 意有 a
k 2
m ， a k 3
1
m
1
a
k 2
1 1
1 1
1
，依 意有
m ， a
k 3
m 2 ，
a k 4
m ， a
k 5
m ， a k 6
由以上 程可知：若 a k （1 k
N * )
，在无 数列
{ a n }
中，第 k 后 存在数
1 的 ，以此
推，数列
{ a n }
中有无
1. --------------------------------------------------
6
分
（Ⅲ） 明：由条件可知
a n 1( 1,2,3,
)
，
n
因 { a }
中任何一 不等于
1，所以 a n a （n 1,2,3,
) .
n
n+1
①若 a 2n 1 a 2 n ， b n a 2 n 1 .
因 a 2n +1 =
a 2n 1
，所以 a 2n 1a 2 n+1 .
a 2 n
若 a 2n 1
1， a 2 n+2
a 2n
1
a 2n 1 ，于是 a 2n-1 a 2 n+2 ；
a
2 n
2
a
2n
2
若
a
2n 1
1 ， a
2 n +2
a
2n
a 2 n 2
a 2n a 2n a 2n a 2n 1 ，于是 a 2n-1a 2n +2 ；
a 2 n 2
a 2n 1
a 2n 1
a 2n 1
a 2n
若 a 2n
1
1， a 2 n+2
1，于 意不符；
a
2 n
2
所以 a 2n 1 max{ a 2n+1 , a 2n +2 } ，即 b n b n 1 .
②若 a 2n 1 a 2 n ， b n a 2 n .
因 a 2n +1
= a 2 n
，所以 a 2n
a 2 n+1 ；
a
2n -1
因 a 2n +2 =
a 2 n ，所以 a 2 n
a 2n +2 ；
a
2n +1
所以 a 2n max{ a 2n +1 ,a 2 n+2 } ，即 b n
b n 1 .
上所述， 于全部正整数
n ， 有 b n b n 1 ，所以数列 { b n } 是 减数列 .
-------------------------------------------------------------------------------13
分
7、解：（Ⅰ） Z (1,0,0),W (1,1,1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
（Ⅱ） 于 X n
，考 元素 X '(1
x 1,1 x 2 , ,1 x i , ,1 x n ) ，
然， X'
n
，X ,Y , X ' ， 于任意的
i 1,2, , n ， x i , y i ,1 x i 不行能都
1，
可得 X , X ' 不行能都在好子集
S 中⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
又因 取定 X ， X ' 必定存在且独一，并且 X
X ' ，
且由 X 的定 知道，
X ,Y n ， X ' Y ' X
Y ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
，会集 S 中元素的个数必定小于或等于会集
n 中元素个数的一半，
而会集 n 中元素个数
2n ，所以 S 中元素个数不超
2n 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
（Ⅲ）
X ( x 1 , x 2, , x n 1, x n ) ， Y ( y 1 , y 2 , , y n 1 , y n )
n
定 元素 X ,Y 的乘 ： XY ( x 1 y 1, x 2 y 2 , , x n 1 y n 1, x n y n ) ， 然 XY
n .
我 明 :
“ 任意的 X (x 1, x 2 , , x n 1 , x n ) S ， Y ( y 1, y 2 ,
, y n 1, y n ) S ，都有 XY S .”
假 存在 X ,Y
S , 使得 XY
S ，
由（Ⅱ）知， (XY)'
(1 x 1 y 1,1 x 2 y 2 , ,1 x n 1
y n 1
,1
x n y n ) S 此 ， 于任意的 k {1,2,...,n} ， x k , y k ,1 x k y k 不行能同
1, 矛盾，
所以 XY
S .
因 S 中只有 2n 1 个元素，我 Z ( z 1, z 2 , , z n 1, z n ) S 中全部元素的乘 ，
依据上边的 ，我 知道
Z
( z 1 , z 2 , , z n 1, z n ) S ，
然 个元素的坐 重量不可以都
0 ，没关系 z k
1,
依据 Z 的定 ，可以知道
S 中全部元素的 k 坐 重量都 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
下边再 明 k 的独一性：
若 有 z t
1
,即 S 中全部元素的 t 坐 重量都 1 ,
所以此 会集 S 中元素个数至多 2n 2 个，矛盾 .
所以 成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
8、解 :（Ⅰ）①∵ S n
2n
，作差法可得 a n
S n
S
n 1
2n 1 (n 2) ，
当 n 1 ， S 1 a 1 ；
当 n
2 ， S n
a n 1 ，存在 m n 1，使得 S n
a m
∴数列 { a n } 是“回 数列” ．⋯⋯⋯ 2 分
②∵ b n2n ，∴前n和T n n2n ，依据意 n2n 2m
∵ n(n1)必定是偶数，∴存在m n(n 1)
T n b m
，使得
2
∴数列 { b n } 是“回数列”．⋯⋯⋯4分
（Ⅱ） S n
n(n1)
m ，使得S2a m成立n d ，依据意，存在正整数
2
即 2 d 1 ( m 1)d ， d10 ， m 2 ， m N *
m2
∴ m1，即 d1．⋯⋯⋯8分
（Ⅲ）等差数列a n a1( n1)d
存在两个回数列b n a1 (n1)a1， c n(n1)(a1 d )使得 a n b n c n⋯⋯⋯9分
明以下：
b n
c n a1(n 1)a1(n 1)a1( n 1)
d a n
数列 { b n} 前n和B n na1n(n1)
a1，
2
n 1， m 1； n 2 ， m 1；
n 3 ， 2(n3)n
m 2
( n3)n
B n.
2
正整数，当， b m
2
∴存在正整数 m
(n 3)n
b m，∴ { b n } 是“回数列”⋯⋯11分2，使得 B n
2
数列 { c n} 前n和C n n( n 1) (a1 d ) 存在正整数 m n( n 1)
1，使得C n c m，∴{ c n}是
22
“回数列” ，所以成立．⋯⋯⋯13 分
9、（Ⅰ）解： 1， 1， 0，1， 0， 0，1， 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）明：数列 { b n } 中某段 1的从 b m开始， b m 1 ．
由意，令 m a0 2k a1 2k 1a k 121a k20，a0 , a1 ,, a k中有奇数个 1．（1）当 a0 , a1 , , a k中无 0 ，
因 m
k k 110 222 2 ，
所以 m 1 1 2k 10 2k0 2k 10 210 20，m 2 1 2k 10 2 k0 2 k 10 21 1 20．
所以 b m 1 ， b m 1 1 ， b m 20 ，此21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）当 a0 , a1 , , a k中有 0 ，
①若 a k0 ，即 m a0 2k a1 2k 1a k 1 210 20，
m 1 a0 2 k a1 2k 1a k 1 21 1 20，
因 a0 , a1 ,, a k中有奇数个1，
所以 b m 10 ，此 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
②若 a k 1 ，即 m a0 2k a1 2k 10 2s 1 2 s 1 1 21 1 20，
连续 s 个1 乘以 2
i m 1 a0 2k a12k 1 1 2s0 2s 10 210 20，
连续 s个 0乘以 2i
m2a0
k
a12
k 1s s1
10
2 1 20 22 1 2 ，（此中i N）
连续 ( s 1) 个 0乘以 2 i
假如 s奇数，那么 b m 1 1 ， b m 20 ，此21．
假如 s偶数，那么 b m 10 ，此有 1 b m 1 ．
上所述， 1 的不超 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
（Ⅲ）解：
n
或
n2052
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分2051
10、解：（Ⅰ）因k 3, a1 2 ，由①知 a3 2 ；
由②知， 2a21a123，整理得，2a223a210 ．解得， a21或 a21
．
a2a12
当 a2 1，不足 a22
2a3
1
a2
，舍去；
a3
所以，个数列2,
1
,2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2
（Ⅱ）若 k 4 ，由①知a4a1．
因 a n 2
2a n 1
1
(n 1,2,3) ，所以 (a n 2a n 1 )(1
1
a n a n
) 0 ．1
a
n
a
n 1
所以 a n 11
a n或 a n 11(n1,2,3) ．2a n
假如由 a 1 算 a 4 没实用到也许恰用了
2 次 a n 1
1 ， 然不 足条件；
a n
所以由 a 1 算 a 4 只好恰好 1 次也许 3 次用到 a n
1
1
，共有下边 4 种状况：
a n
（ 1）若 a
1 ，
1 ， 1 ， a
1
a ，解得 1
2
a 3
a 2 a 4
a 3 4
a 1
；
a 1
4a 1 1
2
2
2
（ 2）若 a 2
1
a 1 ， a 3
1 ， a 4
1 1
a 1 ，解得 a 1 1；
2 a 2 a
3 ， a
4 a 1
2
（ 3）若
1
a 1 ， a 3
1
a 2 ， a 4 1
， a 4 4
a 1 ，解得 a 1
a 3 a 1
a 2 2 2 2 ；
（ 4）若 a 2
1
， a 3
1
， a 4
1
1
1；
a 2
， a 4
a 1 ，解得 a 1
a 1
a 3
a 1
上， a 1 的全部取 的会集
{ 1
,1,2} ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
2
（Ⅲ）依 意， k
2m, m N *
, m 2 ．由（ II ）知，a n 1
1
a n 或 a n 1
1
(n
1,2,3, 2m 1) ．
2
a n
假 从 a 1 到 a 2 m 恰用了 i
次 推关系 a n 1
1 ，用了 2m 1 i 次 推关系 a n 1
1
a n ，
a n
2
有 a 2 m
( 1)t
a 1( 1)i ，此中 t 2m 1 i ,t Z ．
2
(1 )t
当 i 是偶数 ， t 0， a 2 m
a 1 a 1 无正数解，不 足条件；
( 1)t
2
( 1 )t
当 i 是奇数 ，由 a 2m
a 1 1 a 1, t
2m 1 i 2m 2 得 a 1 2
22 m 2 ，
2
2
所以 a 1
2m 1 ．
又当 i 1
，若 a 2
1 a 1 , a 3 1
a 2 ,
, a
2m 1
1 a 2m
2 ,a 2m
1 ，
2
2 2 a
2 m 1
有
a 2m 1
( 1)2m 2
a 1 ， a 2m
22m 2
a 1 ，即 a 1 2m 1 ．
2
a 1
所以， a 1 的最大 是 2m 1 ．即 a 1 k 1
22 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
13 分
11、
12、解：（Ⅰ）因{ a n} 是一个公比q (q 0, q1) 等比数列，
所以 a n a1q n 1．
因 4a1,3 a2 ,2 a3成等差数列，
所以 6a24a12a3 , 即 q23q 2 0 ．
解得 q2, q 1( 舍) .
又它的前 4 和s4
a1(1q 4 )
0, q 1) ，15 ，得1q15 (q
解得 a1 1 ．
所以 a n2n 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅱ）因 b n a n2n ，
n
b i n a i n2i 2n n(n 1) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分
所以
1i1i 1
i。