第1章二次函数单元复习湖南省株洲市外国语学校2020-2021学湘教版九年级下 册

湖南省株洲市外国语学校2021湘教版九年级下
---------二次函数单元复习
一、选择题
1. 圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，则y与x之间的函数关系式是（）
A.y=π(R2−x2)
B.y=π(R−x)2
C.y=πR2−x2
D.y=π(2πR−2πx)2
2. 若y=(m+2)x m2−2是二次函数，则m的值是( )
A.±2
B.2
C.−2
D.不能确定
3. 关于二次函数y=1
2
(x+1)2−3的图象，下列说法错误的是()
A.开口向上
B.对称轴为x=−1
C.当x<−1时，y随x的增大而减小
D.当x=−1时，有最大值y=−3
4. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点(3, 0)，对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（）
A.0<x≤3
B.−2≤x≤3
C.−1≤x≤3
D.x≤−1或x≥3
5. 抛物线y＝−(x−2)2+1经过平移后与抛物线y＝−(x+1)2−2重合，那么平移的方法可以是（）
A.向左平移3个单位再向下平移3个单位
B.向左平移3个单位再向上平移3个单位
C.向右平移3个单位再向下平移3个单位
D.向右平移3个单位再向上平移3个单位
6. 将二次函数y=1
2
x2的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得函数的关系式为（）
A.y=1
2(x+1)2−2 B.y=1
2
(x−1)2−2C.y=1
2
(x+1)2+2
D.y=1
2
(x−1)2+2
抛物线的顶点坐标是（）
A.(3, −3)
B.(3, 9)
C.(−1, −3)
D.(−1, 9)
8. 已知点E(2, 1)在二次函数y=x2−8x+m（m为常数）的图像上，则点E 关于图像对称轴的对称点坐标是（）
A.(4, 1)
B.(5, 1)
C.(6, 1)
D.(7, 1)
9. 已知抛物线y=−2(x−3)2+5，则此抛物线（）
A.开口向下，对称轴为直线x=−3
B.顶点坐标为(−3, 5)
C.最小值为5
D.当x>3时y随x的增大而减小
10. 如图，抛物线y=−x2−2x与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标为（）
A.(−3,−3)
B.(1,−3)
C.(−3,−3)或(−3,1)
D.(−3,−3)或(1,−3)
11. 如图，已知二次函数y1=2
3x2−4
3
x的图象与正比例函数y2=2
3
x的图象
交于点A(3, 2)，与x轴交于点B(2, 0)，若y1<y2，则x的取值范围是（）
A.0<x<2
B.x<0或x>3
C.2<x<3
D.0<x<3
12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，其顶点为(1, n)，且与x轴的一个交点在点(3, 0)和(4, 0)之间，则下列结论正确的是 ( )
①若抛物线与x轴的另一个交点为(k, 0)，则−2<k<−1； ②c−a=n；
③若x<−m时，y随x的增大而增大，则m=−1；④若x<0时，ax2+
A.①②④
B.①③④
C.①②
D.①②③④
13. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．点A，B的坐标分别为(−2, −3)，(1, −3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()
A.−1
B.−3
C.−5
D.−7
=−(t−14. 二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时，y
最大值
3)2+2，则t的取值范围是（）
A.t=0
B.0≤t≤3
C.t≥3
D.以上都不对
15. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a+b−c，N
＝4a−2b+c，P＝2a−b．则M，N，P中，值小于0的数有（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
二、填空题
16. 若抛物线的顶点为(−2, 3)，且经过点(−1, 5)，则其表达式为________．
17. 把函数y=(2−3x)(6−x)化成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式是
________．
18. 已知抛物线y=ax2+bx+c的系数有a−b+c=0，则这条抛物线经过
点________．
19. 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(−1, 2)和(1, 0)，且与y轴相交于负半轴．给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；
④a+b+c=0．其中正确结论的序号是________．
三、解答题
20. 已知二次函数y=−1
2x2−x+3
2
．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数图象的示意图；
（2）根据图象，写出当y<0时x的取值范围．
21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过点A(−1, 0)，B(1, 6)．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的函数表达式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．
22. 为探究函数y=1
2
x2+1的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函
数y=1
2x2+1
x
的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完
整：
（1）函数y=1
2x2+1
x
的自变量x的取值范围是________；
（2）下表是y与x的几组对应值．
则m＝________；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）该函数________（填“有”或“没有”）最大值或最小值；
（5）若经探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1, 3
2
)，请
结合函数的图象直接写出不等式1
2x2+1
x
≥3
2
的解集．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0,−3)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的△ACD的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCA=15∘，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
A
【解答】
解：外圆的面积为πR2，内圆的面积为πr2，
故y=πR2−πr2=π(R2−x2)，
故选A．
2.
【答案】
B
【解答】
解：根据二次函数的定义，可得：m2−2=2，
解得：m=±2，
当m=−2时，m+2=0，
∴ m=2．
故选B.
3.
【答案】
D
【解答】
(x+1)2−3，
解：∵y=1
2
∴a=1
>0，开口向上，
2
h=−1，对称轴为x=−1，故A，B正确；
∵该函数的开口向上且对称轴为x=−1，
∴当x=−1时，有最小值y=−3，
当x<−1时，y随x的增大而减小，故C正确，D错误.
故选D.
4.
【答案】
C
【解答】
解：因为抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点(3, 0)，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为(−1, 0)，
因为抛物线开口向上，当y≤0时，−1≤x≤3．
故选C．
5.
【答案】
A
【解答】
∴ 抛物线y＝−(x−2)2+1的顶点坐标为(2, 1)，抛物线y＝−(x+1)2−2的顶点坐标为(−1, −2)，
6.
【答案】
A
【解答】
x2向左移1个单位，再向下移2个单位长度，
解：∴ 抛物线y=1
2
(x+1)2−2．
∴ 平移后的解析式为：y=1
2
故选：A．
7.
【答案】
C
【解答】
∴ 抛物线y＝x2−2x+4＝(x−1)2+3，
∴ 顶点坐标为(1, 3)，
∴ 把点(1, 3)向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到(−1, −3)．
8.
【答案】
C
【解答】
解：二次函数y=x(2−8x+m的对称轴为直线x=4,根据函数的对称性可
知E点到对称轴的距离等于它的对称点到对称轴的距离，故对称点的坐标为(6,1)
故答案为：C．．
9.
【答案】
D
【解答】
解：抛物线y=−2(x−3)2+5，
A、∴ a=−2，∴开口向下，对称轴为直线x=3，故本选项错误；
B、顶点坐标为(3, 5)，故本选项错误；
C、a<0，∴ 二次函数有最大值，最大值为5，故本选项错误；
D、当x>3时y随x的增大而减小，正确．
故选D．
10.
【答案】
D
【解答】
解：抛物线的解析式中，令y=0，得：−x2−2x=0，解得x=0，x=−2；∴ A(−2, 0)，OA=2；
OA⋅|y P|=3，∴ |y P|=3；
∴ S△AOP=1
2
当P点纵坐标为3时，−x2−2x=3，x2+2x+3=0，Δ=4−12<0，方
程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为−3时，−x22
∴ P(1, −3)或(−3, −3).
故选D.
11.
【答案】
D
【解答】
解：如图所示：若y1<y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是：0<x<3．
故选：D．
12.
【答案】
A
【解答】
解：①如图，设抛物线与x轴的交点为A和B(A在B的右侧)，
则3−1<AD<4−1，2<AD<3，
由对称性得：AD=BD，
∴ 2<BD<3.
∴ B(k,0)，
∴ BD=1−k，
∴ 2<1−k<3，
∴ −2<k<−1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，
=1，b=−2a.
∴−b
2a
∴ a+b+c=n，
∴ a−2a+c=n，
∴−a+c=n，
∴c−a=n，所以选项②正确；
③抛物线的对称轴是直线x=1，
∴ x<1时，y随x的增大而增大，则−m≤1，
得m≥−1，所以选项③错误；
④∴ 由图可知：抛物线y=a2+bx+c开口向下，
∴ a<0，
∴ 抛物线y=a2+(b+2)x也开口向下，且过原点，当y=0时，ax2+(b+2)x=0，
∴ x(ax+b+2)=0
∴ x1=0，x2=−b−2
a =2a−2
a
=2−2
a
>0，
∴ 当x<0时，y=ax2+(b+2)x<0，
即当x<0时，ax2+(b+2)x<0，所以选项④正确；
其中正确结论是：①②④，3个.
故选A．
13.
【答案】
C
【解答】
解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，
即可知当对称轴过B点时，点N的横坐标最大，
此时的M点坐标为(−2, 0)，
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1, 0)，
此时M点的坐标为(−5, 0)，
故点M的横坐标的最小值为−5.
故选C．
14.
【答案】
C
【解答】
解：∴ y=−x2+6x−7=−(x−3)2+2，
当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，
y max=f(3)=2，与y max=−(t−3)2+2矛盾．
当3≥t+2时，即t≤1时，y max=f(t+2)=−(t−1)2+2，与y max=−(t−3)2+2矛盾．
当3≤t，即t≥3时，y max=f(t)=−(t−3)2+2与题设相等，
故t的取值范围t≥3，
故选C．
【答案】
A
【解答】
∴ 图象开口向下，∴ a<0，
∴ 对称轴在y轴左侧，
∴ a，b同号，
∴ a<0，b<0，
∴ 图象经过y轴正半轴，
∴ c>0，
∴ M＝a+b−c<0
当x＝−2时，y＝4a−2b+c<0，
∴ N＝4a−2b+c<0，
>−1，
∴ −b
2a
<1，
∴ b
2a
∴ a<0，
∴ b>2a，
∴ 2a−b<0，
∴ P＝2a−b<0，
则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．
二、填空题
16.
【答案】
y=2x2+8x+11
【解答】
解：由题意可设抛物线的顶点坐标式为y=a(x+2)2+3，
由抛物线经过点(−1, 5)，则5=a(−1+2)2+3，
解得：a=2．
则抛物线的表达式为y=2(x+2)2+3，整理得：y=2x2+8x+11．17.
【答案】
y=3x2−20x+12
【解答】
解：y=(2−3x)(6−x)
=12−2x−18x+3x2
=3x2−20x+12．
故答案为：y=3x2−20x+12．
18.
【答案】
(−1, 0)
【解答】
解：把x=−1代入y=ax2+bx+c，
得到y=a−b+c=0．
∴ 抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1, 0)系数有a−b+c=0．
故答案为：(−1, 0)．
①④
【解答】
解：(1)①由抛物线的开口方向向上可推出a>0，正确；
②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=−b
2a
>0，又因为a>0，∴ b<0，错误；
③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴ c<0，错误；
④由图象可知：当x=1时y=0，∴ a+b+c=0，正确．
故答案为①④．
三、解答题
20.
【答案】
解：（1）二次函数的顶点坐标为：x=−b
2a =−1，y=4ac−b2
4a
=2，
当x=0时，y=3
2
，
当y=0时，x=1或x=−3，
图象如图：
（2）据图可知：当y<0时，x<−3，或x>1．【解答】
解：（1）二次函数的顶点坐标为：x=−b
2a =−1，y=4ac−b2
4a
=2，
当x=0时，y=3
2
，
当y=0时，x=1或x=−3，
图象如图：
（2）据图可知：当y<0时，x<−3，或x>1．21.
解：（1）根据题意得{a −b +2=0a +b +2=6
，解得{a =1b =3， 所以二次函数解析式为y =x 2+3x +2；
（2）y =x 2+3x +2
=x 2+3x +(32)2−(32
)2+2 =(x +32)2−14，
所以抛物线的顶点坐标为(−32, −14)．
【解答】
解：（1）根据题意得{a −b +2=0a +b +2=6
，解得{a =1b =3， 所以二次函数解析式为y =x 2+3x +2；
（2）y =x 2+3x +2
=x 2+3x +(32)2−(32
)2+2 =(x +32)2−14，
所以抛物线的顶点坐标为(−32, −14)．
22.
【答案】
x ≠0
296
如图：
没有
由表格可知，当x ＝−2时，x ＝1时，y =32， 再结合函数图象可得，不等式12x 2+1x ≥32的解集为x >0或x ≤−2．
【解答】
由y=1
2x2+1
x
可得，x≠0，
故答案为x≠0；
令x＝3代入y=1
2x2+1
x
中，y=29
6
，
∴ m=29
6
，
故答案为29
6
；
如图：
由图象可得，函数没有最大值和最小值；
由表格可知，当x＝−2时，x＝1时，y=3
2
，
再结合函数图象可得，不等式1
2x2+1
x
≥3
2
的解集为x>0或x≤−2．
23.
【答案】
解：把A, C坐标代入y=x2+bx+c得{0=9+3b+c
−3=c
解得{b=−2 c=−3
∴ 抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4∴ 顶点D(1, 4)；
解：∴ A(3, 0)，C(0, −3)，D(1, 4)
∴ △ACD的面积为3×4−1
2×2×4−1
2
×1×1−1
2
×3×3=12−4−1
2
−
9
2
=3
解：①当P点在直线AC下方时，
∴ OA=OC，∴ △AOC是等腰直角三角形，∴ ∠OCA=45∘，又∴ ∠PCA=15∘
∴ ∠OCP=45∘+15∘=60∘
故直线PC的倾斜角为90∘−60∘=30∘，
设直线PC的解析式为y=√3
3
x+b
把C(0, −3)代入得−3=b
∴ 直线PC的解析式为y=√3
3
x−3
联立{y=x2−2x−3
y=√3
3
x−3
，解得x1=2+√3
3
，x2=0（舍去）
②当P’点在直线AC上方时，
∴ ∠OCA=45∘，∠P’CA=15∘
∴ ∠OCP’=45∘−15∘=30∘
故直线P’C的倾斜角为90∘−30∘=60∘，设直线P’C的解析式为y=√3x+n
把C(0, −3)代入得−3=n
∴ 直线PC的解析式为y=√3x−3
联立{y=x2−2x−3
y=√3x−3
，解得x1=2+√3，x2=0（舍去）
综上，点P的横坐标为2+√3
3
，2+√3．
【解答】
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