2020-2021高三数学上期中第一次模拟试题(含答案)(12)

2020-2021高三数学上期中第一次模拟试题(含答案)(12)
一、选择题
1．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y x
x
=+
B ．2y =
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<<
3)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．3
D 4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
5．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3
6．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4
B ．4
C ．1
4
± D ．14
7．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．()3,-+∞
B ．()
-+∞
C ．[)3,-+∞
D ．)
⎡-+∞⎣
8．已知：0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()
2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
9．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
10．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
11．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11
x y
+的最小值是 A ．10
B ．12?
C ．14
D ．16
12．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞
C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞
D ．(1,8)-
二、填空题
13．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 14．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为
221
4
a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}
n b 满足2
n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．
16．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．
17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =-的最小值为__________．
18．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.
20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =-的最小值为__________．
三、解答题
21．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .
22．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 23．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =r
与
()cos ,sin n =A B r
平行．
（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =
，2b =求C ∆AB 的面积．
24．已知数列{}n a 满足11
1
,221
n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，并求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1
2n n
n
b a =
g ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 25．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． （1）求A ； （2）若3
,
,b a c 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令
，求证：数列
是等比数列．
（3）令1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
=
，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x
x
y e e -=+取最小值4，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能
否同时成立）.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立，
故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题. 4．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.
所以=1,2A B -I ().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.
由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨
-⨯=⎩
,即=1
2a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
7．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x
⎛⎫≥-+ ⎪⎝
⎭
对任意()1,2x ∈恒成立，即
max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦Q
当x 时，2x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
⎡-+∞⎣，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为
21
1x y
+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x y
x y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+=
⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即
4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20x y x y --=⎧⎨-+=⎩
得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴
()11119999110216y x y x
x y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x x y =时成立，即11
,124
x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】
本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 将代数式
21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-
【解析】 【分析】
待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】
因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，
故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以1
123n n a -+=⋅，
故1
231n n a -=⋅-.
故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
14．【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛
解析：
1
4
【解析】 【分析】
结合已知条件，结合余弦定理求得π
4
C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】
由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221
cos 2a b C ab +-=②，由
①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 22
a b C ab +-==
，化简
221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得ab ≤所以三角形
面积1121
sin 22224
S ab C =≤⨯=.
故答案为1
4
. 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.
15．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}
【解析】 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果.
【详解】
当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=
2
920n n a b n n =-+-Q 21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N 5n ∴=或6
∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6
本题正确结果：{}5,6 【点睛】
本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.
16．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
解析：1830 【解析】 【分析】
由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结
构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】
解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，
∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，
504997a a -=，
∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
{}n a 的前60项和为1514
152(15816)18302
⨯⨯+⨯+
⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．
17．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6
解析：-6 【解析】
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122
z
y x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2
z
-
最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 18．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10 解析：10 【解析】 【分析】 【详解】
1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002
n n n S -=+
⨯=
故n=10
19．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
解析：93 【解析】
【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24
222218,90a q a a q a -=-=
则有(
)(
)(
)
2
2
2
22118,1190a q a q q -=-+= 代入有2
2
1=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==
()
553129312
S ⨯-∴=
=-
故答案为93 【点睛】
本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10 【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =
-，平移直线33
x z
y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z
y =-的截距最大，此时z 最小
由1
{
2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-
故答案为10-
三、解答题
21．（1）32n a n =+；（2）6226n
n T n =⨯+-
【解析】 【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求
解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解. 【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110160
37
a a a a ⋅=⎧⎨
+=⎩ 解得110
532a a =⎧⎨=⎩
325
3101
d -∴=
=-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n
n b a ==⋅+，
()()()
12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L (
)
1
22324223212
n n
n n +-=⨯++++=⨯+-L
13262n n +=⨯-+ 6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高. 22．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21
n
n + 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到
11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；
(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】
(1)由已知得23511124820109
1010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪
⎨⨯+=+=⎪⎩
， 解得11d 2a ==，，
所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111
212122121n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪-⋅+-+⎝⎭
，
所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121
n n
T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ． 【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难
点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；（2）
1
k
=
； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容
易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． 23．（Ⅰ）3π；（Ⅱ
）2
． 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据平面向量//m n r r
，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1
）因为向量()
m a =r
与()cos ,sin n =A B r
平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB
－0sinBcosA ＝， 又sin 0B ≠，从而tanA
，由于0<A<π，所以A ＝
3
π
. （2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a
，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，
因为c>0，所以c ＝3. 故△ABC 的面积为
12bcsinA
. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 24．（1）12n a n
=；（2）1242n n n S -=-+.
【解析】 分析：（1）121n n n a a a +=
+两边取倒数可得
1112n n
a a +-=，从而得到数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22n n
n
b =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=
+，∴
111
2n n
a a +-=， ∴1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列， ∴
()1
11122n n n a a =+-=， 即12n a n
=
； （2）∵22
n n n b =
， ∴1221231222
n n n n
S b b b -=+++=++++L L ， 则
23112322222
n n n
S =++++L ， 两式相减得2311111111212222222
2
n n n n n n n
S L -⎛
⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1
242n n n
S -+=-
. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 25．（1）3
π
； （2
） 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3
π
），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值；
（2）利用等差数列的性质可得b +c=3a ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】
（1）∵asinB=bsin （A+
3
π
）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3
π
）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin （A+
3
π
）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+3
π
=π， ∴A=
3
π． （2）∵b ，
3
a ，c 成等差数列， ∴b+c=3a ，
∵△ABC 的面积为23，可得：S △ABC =1
2
bcsinA=23， ∴
123
bc sin π
⨯⨯=23，解得bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3
π
=（b+c ）2﹣3bc=（3a ）2﹣24， ∴解得：a=23． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．解: (1)∵数列为等差数列,设公差为
, 由,得
,
,
∴
，
.
(2)∵
,
∴
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 .
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n
==-⋅++
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+ 【解析】
试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分
由,得
,
,
∴
， …………………… 3分
. …………………… 4分
(2)∵, …………………… 5分 ∴， …………………… 6分
∴数列
是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分
（3）∵1
1
n n n c a a +=，2n a n =， ∴1111
()22(1)41
n c n n n n ==-⋅++………………… 10分
∴11111(1)()42423n S =
-+-+…111()41n n +-+11(1)41
n =-+……… 12分 考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n 项和的求法．
点评：裂项法是求前n 项和常用的方法之一．常见的裂项有：
，
，，
，，。