北师大版八年级下册第六章平行四边形第二节平行四边形的判定教案

第六章平行四边形
第二节平行四边形的判定
一、知识回顾：
1．平行四边形的概念 :
平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
2．平行四边形的性质 :
(1) 平行四边形的两组对边分别平行且相等，及
AB∥ DC、 AD∥ BC， AB=DC、AD=BC；
(2) 平行四边形的两组对角分别相等， 邻角互补，∠ ABC=∠ ADC,∠BAD=∠ BCD,∠ ABC+∠ BCD=∠BAD+∠ ADC=180 o；
∵ B（ 1， m+n），∴ m+n=1 -m，∴ n=3 ，∴直线 y= -x+3 ，∴ A （ 3， 0），
∴ OA=3 ， BD=3 ，∴ OA=BD ， OA ∥ BD ，∴四边形 OBDA 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形）
练习题 5-10
例 5： 如图，在 △ABC 中， BD 平分∠ ABC，AE⊥ BD 于点 O，交 BC 于点 E，AD∥ BC，连接 CD，
例 4：在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 : y mx n（ m 0 且 n 0）与 x 轴交于点 A ，过点 C 1,0 作直线 l2 x 轴，且与 l1 交于点 B .
（ 1）当 m 2 ， n 1 时，求 BC 的长；
（ 2）若 BC 1 m ， D 4,3 m ，且 BD / / x 轴，判断四边形 OBDA 的形状，并说
∵ AE ⊥BD， ∴ BO=D，O
∵ AO=E，O ∴四边形 ABED 是平行四边形（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ）；
，３）平行四边形， 证明：∵ AD ∥ BC， ∴∠ ADB= ∠ ABD， ∴AD=AB，
∵ OA=O，E OB ⊥ AE， ∴ AB=BE， ∴ AD=BE，
∵ BE=CE， ∴ AD=EC，
(3) 平行四边形的两对角线互相平分 ,OA=OC、OB=OD；
(4) 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，但不一定是轴对称图形。
二、新知识点：
1．平行四边形的判定定理 :
(1) 两组对边分别相ຫໍສະໝຸດ 的四边形是平行四边形。(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(3) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 2．平行四边形的判定方法 :
∴四边形 AECD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
练习题 11-14
例 6：如图 1，在直角三角形 ABC 中，∠ ABC = 90°，将三角形 ABC 绕着点 B 逆时针旋转一定角度得到 三角形 BEF ，EF 交 BC 于点 G．
（ 1）若 A 30 ，当∠ ABE 等于多少度时， AB / / EF ；
1
1
1
1
24
三角形 BEF 的面积 BE BF EF BG ，即 6 8
10BG ，求得 BG
.
2
2
2
2
5
，Q AB / / EF （已知）， SV AEF SVABC 24 （同底等高的两个三角形面积相等），
，当三角形 OEF 的面积为 m 时，三角形 AOE 的面积为 24 m .
例 7： 画图（只能借助于网格）并填空：
解： (1) 如图，画出 A' B 'C ' ,
(2) SVA 'B 'C ' 4;
2 5 1 1 3 1 2 2 1 1 5 =10-1.5-2-2.5=
2
2
2
(3) 如图，中线 AD ， 高 AE ；
(4) 如图，能使 S PBC S ABC 的格点 P 的个数有 7 个 .
练习题 15-17
5
，１）求证： AO，EO， （ 2）求证：四边形 ABED 是平行四边形；
，３）若 AE 是 △ABC 的中线，则四边形 AECD 是什么特殊四边形？证明你的结论．
证明： ，１）∵ BD 平分∠ ABC，AE ⊥ BD， ∴AO=E，O
（ 2）∵ AD ∥ BC，∴∠ ADB= ∠ DBE，
∵ BD 平分∠ ABC， ∴∠ ABD= ∠ DBE， ∴∠ ADB= ∠ ABD，
1 AB ，
2
2
2
∵ SY FECH
EC BH
1 BC 2 ， SVDCE 4
1 EC DC
2
11 BC BC
22
12 BC
4
SVCBH
SV DCE
1 BC 2 ， SVDAH 4
1 AD AH
2
1 BC
1 AB
1 BC 2
2
2
4
SV FAD
1 AD AH 2
1 BC 1 AB 1 BC 2
2
2
4
∴与平行四边形 FECH 面积相等的三角形有：△ DCE 、△ CBH 、△ DAH 、△ FAD ．
又 Q E A 30 （旋转的性质），
ABE 30 （等量代换）；
（ 2） ，Q AB / / EF （已知），
ABC EGB 180 （两直线平行同旁内角互补） .
4
又 ， ABC 90 （已知）， ， EGB 90 ，
，三角形 BEF 是由三角形 ABC 旋转得到的， ， BE 8 ， BF 6 ， EF 10 ， EBF 90 ，
2
（ 2）如图 2，连接 DH 和 AF ，点 E 为 BC 中点，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出 与平行四边形 FECH 面积相等的所有三角形．
解：（ 1）证明：∵正方形 ABCD ∴ CD=BC ，∠ BCD= ∠ ABC=90° ∵ CG⊥DE ∴∠ CGD= ∠ EGC=9°0 ∵∠ GDC+ ∠GCD=9°0 ，∠ BCH+ ∠GCD=9°0 ∴∠ GDC= ∠BCH ∴△ ECD ≌△ HBC ∴ ED=HC ∵△ DEF 为等腰直角三角形∴ DE=EF ，∠ DEF= ∠ EGC=9°0 ∴ EF=CH ， EF∥ CH ∴四边形 FECH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
例 2： 以△ ABC 的三边在 BC 同侧分别作三个等边三角形△ ABD ，△ BCE ，△ ACF ， 四边形 ADEF 是什么四边形？请证明： 解：（ 1） ∵△ BCE 、△ ABD 是等边三角形， ∴∠ DBA= ∠EBC=60°， AB=BD ， BE=BC ， ∴∠ DBE= ∠ ABC ， ∴△ DBE ≌△ ABC ， ∴DE=AC ， 又△ ACF 是等边三角形， ∴ AC=AF ，∴ DE=AF ， 同理可证： AD=EF ， ∴四边形 ADEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 练习题 1-4 例 3： 已知：在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边上，连接 DE ，以 DE 为直角边作等腰直角三角形 EDF （∠ DEF=90° ），过点 C 作 DE 的垂线，垂足为 G，交 AB 于点 H ，连接 FH． （ 1）如图 1，求证：四边形 FECH 为平行四边形
明理由 .
解：（ 1）当 m= -2， n=1 时，直线的解析式为 y= -2x+1，
当 x=1 时， y=- 1，∴ B （1， -1），∴ BC=1 ．
3
（ 2）结论：四边形 OBDA 是平行四边形．
理由：如图，∵ BD ∥ x 轴， B （1， 1-m）， D（ 4， 3+m），∴ 1-m=3+m ，∴ m= -1，
如果两条直线互相平行， 则其中一条直线上 任意一点 到另一条直线的 距离都相等 ，这个距离称为平 行线之间的距离。即平行线间的距离相等。
1
例 1： 已知：如图，在正方形 ABCD中， G 是 CD上一点，延长 BC到 E，使 CE=CG，连接 BG 并延长交 DE 于 F． （ 1）求证： △BCG△△ DC；E （ 2）将 △DCE绕点 D 顺时针旋转 90°得到 △DAE′，判断四边形 E′BGD是什么特殊四边形， 并说明理由． 解：（ 1）证明： △四边形 ABCD是正方形， △BC=C，D △BCD=9°0． △△ BCD+△ DCE=，18△0°△ BCD=△ DCE=．90° 又 △CG=C，E △△ BCG△△ D．CE （ 2）方法一：四边形 E′BGD是平行四边形．理由如下： △△ DC绕E D 顺时针旋转 90°得到 △ DAE，′△ CE=A、E′DE=DE′． △△ BCG△△．D△CEDE=GB,△ DE′ =GB,△，CE△=CCGG=A．E′ △四边形 ABCD是正方形， △ AB=C．D △ A﹣B AE′ =C﹣DCG．即 BE′ =D．G △四边形 E′ BG是D平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 方法二：四边形 E′BGD是平行四边形．理由如下： △△ DC绕E D 顺时针旋转 90°得到 △ DAE，′△ CE=A．E′△ CE=C，G△ CG=A．E′ △四边形 ABCD是正方形， △ BE′△，DAGB=CD． △ A﹣B AE′ =C﹣DCG．即 BE′ =D．G △四边形 E′ BG是D平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
如图，每个小正方形的边长为 1个单位，每个小正方形的顶点叫格点 . （ 1）将 ABC 向左平移 4 格，再向上平移 1格，请在图中画出平移后的 A ' B ' C ' ；
（ 2） A 'B 'C '的面积为
；
（ 3）利用网格在图中画出△ ABC 的中线 AD ，高线 AE ；
（ 4）在图中能使 S PBC S ABC 的格点 P 的个数有 个 (点 P 异于 A ).
(1) 从边的角度去考虑
① 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；
② 定理： a. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
b. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2) 从对角线的角度去考虑
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(3) 从角的角度去考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3．平行线之间的距离
（ 2）若 AB 8 ， BC 6 ， AC 10 ，当 AB / / EF 时，
① 求 BG 的长；
② 连接 AF 交 BE 于点 O，连接 AE （如图 2），设三角形 EOF 的面积为 m，求三角形 AEO 的面积（用 含 m 的代数式表示）
解：（ 1）Q AB / / EF （已知）， ， E ABC （两直线平行内错角相等） .
（ 2）点 E 为 BC 中点， BE
CE
1 BC ∵四边形 ABCD 是正方形，
2
∴ AB BC CD AD , ABC 90 ∵四边形 FECH 是平行四边形，∴ FH //BC ，
∴ FHB HBC 90 ∴ FH AB，
由（ 1）可知，△ ECD≌△ HBC ，∴ BH
CE
1 BC
1 AB ，∴ AH