2016高考数学(理)一轮模拟训练2-11导数在研究函数中的应用

模拟训练
1. [2015·保定模拟]在R 上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x 的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
A. (－∞，－1)∪(0,1)
B. (－1,0)∪(1，＋∞)
C. (－2，－1)∪(1,2)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：由f(x)的图象知，当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴x·f′(x)<0的解集是(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：A
2. [2015·武汉模拟]函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )
A. 1，－3
B. 1,3
C. －1,3
D. －1，－3 解析：∵f′(x)＝3ax 2＋b ，∴f′(1)＝3a ＋b ＝0.①
又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②
联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3.
答案：A
3. [2014·长春调研]函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )
A. (－∞，0)
B. (0，＋∞)
C. (－∞，－3)和(1，＋∞)
D. (－3,1) 解析：y′＝－2xe x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)，
由y′>0⇒x 2
＋2x －3<0⇒－3<x<1，
∴函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．
故选D.
答案：D
4. [2015·沈阳模拟]函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，f′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为( )
A. (－1,1)
B. (－1，＋∞)
C. (－∞，－1)
D. (－∞，＋∞) 解析：设m(x)＝f(x)－(2x ＋4)，
∵m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：B
5. [2015·山东日照模拟]已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．
解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表：
所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．
所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.
故实数a的取值范围为a>5或a<－27.。