2020北京大兴高三(上)期末数学含答案

2020北京大兴高三（上）期末
数学
一、单项选择题：认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。

共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
2．（4分）已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（）
A．2 B．C．D．3
3．（4分）已知向量，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
4．（4分）已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1或﹣1
5．（4分）下列函数中，值域为（1，+∞）的是（）
A．y＝2x+1 B．C．y＝log2|x| D．y＝x2+1
6．（4分）若数列{a n}满足：a1＝1，2a n+1＝2a n+1（n∈N*），则a1与a5的等比中项为（）A．±2 B．2 C．D．
7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（）
A．4 B．10 C．12 D．30
8．（4分）设为非零向量，则“”是“与不共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（4分）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（）
A．7 B．9 C．11 D．13
10．（4分）某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：y＝f（t）．若f（0）＝y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f'（t）满足：f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t））（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）
A．①②B．①③C．②④D．①②③
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．（5分）抛物线y2＝x的焦点到其准线的距离等于．
12．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx，则f（﹣e）＝．
13．（5分）在△ABC中，若a＝2，，△ABC的面积为1，则b＝．
14．（5分）圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是．
15．（5分）已知a≥0，函数若a＝0，则f（x）的值域为；若方程f（x）﹣2＝0恰有一个实根，则a的取值范围是．
16．（5分）小明用数列{a n}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记a k＝1，当第k天没下过雨时，记a k＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b k＝1，当预报第k天没有雨时，记b k＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为；若a1b1+a2b2+…+a k b k ＝m，则气象台预报准确的天数为（用m，k表示）．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13分）已知函数f（x）＝sin x sin（﹣x）+sin2x﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值．
18．（13分）如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．
（Ⅰ）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
（Ⅱ）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势．
19．（13分）已知数列{a n}为等比数列，且a n＞0，数列{b n}满足b n＝log2a n．若b1＝4，b2＝3．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n+m}前n项和为S n，若当且仅当n＝5时，S n取得最大值，求实数m的取值范围．
20．（14分）如图，在四棱锥C﹣ABEF中，平面ABEF⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AB∥EF，∠ABE＝90°，BE＝EF＝1，点M为BC的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：AM⊥CE；
（Ⅲ）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．
21．（13分）已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|．
22．（14分）已知函数f（x）＝x2e x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切，并说明理由；
（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
2020北京大兴高三（上）期末数学
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】直接根据交集的定义即可求出．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：D．
【点评】本题考查集合的交集及其求法，是基础题．
2．【分析】根据中位数的定义计算即可．
【解答】解：数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3，
则这组数据的中位数是×（2+3）＝．
故选：C．
【点评】本题考查了求一组数据的中位数问题，是基础题．
3．【分析】由已知结合向量的坐标运算及向量平行及垂直的坐标表示即可求解．
【解答】解：因为，，
则＝2×1+0×1＝2，A错误；2×1﹣0×1≠0，故B错误；
||＝2，＝，故C错误；
＝（1，﹣1），＝＝2﹣2＝0．
故（），D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．
4．【分析】由题意求得z，再由iz为实数列式求得m值．
【解答】解：由题意，z＝m+i，
再由iz＝i（m+i）＝﹣1+mi为实数，
得m＝0．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．
5．【分析】由指数函数的性质直接判断得解．
【解答】解：∵2x＞0，
∴2x+1＞1，即y＝2x+1的值域为（1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查函数值域的求法，属于基础题．
6．【分析】由已知可得数列{a n}是以1为首项，以为公差的等差数列，求出a5，再由等比中项的概念得答案．【解答】解：由2a n+1＝2a n+1，得a n+1﹣a n＝，
又a1＝1，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公差的等差数列，
则．
∴a1与a5的等比中项为．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，是基础题．
7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
如图所示：
该几何体为四棱锥体：＝10．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8．【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可判断出结论．
【解答】解：与不共线，则“”，反之不成立，例如反向共线时．
∴“”是“与不共线”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．【分析】根据题意，分4种情况讨论，分别求出相对应的数据即可．
【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣
5，﹣4，﹣3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，
4，3，
③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，
④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，
故选：D．
【点评】本题考查合情推理的问题，要求学生利用组合掌握用数轴表示实数及实数间的位置关系．
10．【分析】令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0，即可得解．
【解答】解：因为f'（t）＝kf（t）（500﹣f（t）），
令f'（t）＝0，则f（t）＝0或500，即当f（t）＝0或500时，曲线的切线斜率接近0，
由选项可知，只有①③符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查函数的实际应用，涉及函数模型、导数概念与几何意义，考查学生将理论与实际联系的能力和分析问题的能力，属于中档题．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．【分析】利用抛物线中参数的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0.5
∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5
故答案为：0.5
【点评】本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．【分析】根据f（x）是偶函数可得出f（﹣e）＝f（e），而根据x＞0时f（x）＝lnx即可求出f（e）＝1，从而得出f（﹣e）＝1．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，且x＞0时，f（x）＝lnx，
∴f（﹣e）＝f（e）＝lne＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了偶函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
13．【分析】由已知可求sin B，然后结合三角形的面积公式可求c，再由余弦定理即可求解．【解答】解：由可得sin B＝，
因为S△ABC＝＝＝1，
所以c＝，
由余弦定理可得cos B＝﹣，
解可得，b＝．
故答案为：
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应，属于中档试题．
14．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出圆的圆心，求出半径，即可得到结果．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y＝±x，设圆的圆心为（2m，0），m≠0，
则圆的半径为：＝|m|，
所以所求圆的方程为：（x﹣2m）2+y2＝m2，m≠0，
故答案为：满足方程：（x﹣2m）2+y2＝m2的任意m（m≠0）均可．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．【分析】第一空当a＝0时分段求出函数的的值域即可；第二空数形结合可得a取值范围．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝，当x≤0时，f（x）＝2x∈（0，1]，
当x＞0时，f（x）＝＞0，
故a＝0时，f（x）的值域为（0，+∞）；
当方程f（x）﹣2＝0恰有一个实根即函数f（x）与y＝2图象只有一个交点，
如图：
由图可知，，解之得0≤a＜1，故a的取值范围是[0，1），
故答案为（0，+∞），[0，1）．
【点评】本题考查分段函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，属于中档题．
16．【分析】依题意，a k b k（1≤k≤31）的值要么为1，要么为﹣1，且当a k b k＝1时，表示第k天预报正确，由此容易得解．
【解答】解：依题意，若a k b k＝1（1≤k≤31），则表示第k天预报正确，若a k b k＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预报错误，
若a1b1+a2b2+…+a k b k＝m，
假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，（k﹣x）个﹣1，则x﹣（k﹣x）＝m，解得，即气象台预报准确的天数为；
于是若a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，则气象台预报准确的天数为．
故答案为：28，．
【点评】本题考查数列的实际运用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】（I）结合诱导公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式可求；
（II）由正弦函数的最值性质即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝sin x sin（﹣x）+sin2x﹣＝，
＝＝sin（2x﹣），
所以f（x）的最小正周期为T＝π，
（Ⅱ）因为，
所以，
于是，当2x﹣＝即x＝时，函数取得最大值1．
【点评】本题主要考查了正弦函数的周期及最值的求解，解题的关键是利用三角公式对已知函数进行化简．
18．【分析】（Ⅰ）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，由此能求出从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率．
（Ⅱ）新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，X的所有可能值为0，1，2．分别求出相应概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．
（Ⅲ）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少．预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当．预测三：该地区甲流疫情趋于减缓．预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发．
【解答】解：（Ⅰ）由图知，在统计出的20天中，
新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，
设事件A为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，
则P（A）＝．
（Ⅱ）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，
所以X的所有可能值为0，1，2．
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝．
所以X的分布列为
X0 1 2
P
所以X的数学期望为E（X）＝＝．
（Ⅲ）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少．
预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当．
预测三：该地区甲流疫情趋于减缓．
预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发．
（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查该地区甲流疫情的发展趋势的判断，考查运算求解能力，是中档题．
19．【分析】本题第（Ⅰ）题根据等比数列的定义及对数和指数的运算可得到a1和q的值，即可得到数列{a n}的通项公式；
第（Ⅱ）题先计算出数列{b n+m}的通项公式，然后根据题干当且仅当n＝5时，S n取得最大值，等价于，解此不等式组可得实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则
b1＝log2a1＝4，即a1＝24＝16．
b2＝log2a2＝3，即a2＝23＝8．
∴q＝＝＝．
∴数列{a n}的通项公式为a n＝16•（）n﹣1＝25﹣n，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n＝log225﹣n＝5﹣n．
故b n+m＝5﹣n+m．
∴数列{b n+m}是等差数列．
∵当且仅当n＝5时，数列{b n+m}的前n项和S n取得最大值，
∴，即．
解得0＜m＜1．
∴实数m的取值范围是（0，1）．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质．考查了方程思想，转化思想，不等式的计算能力，本题属中档题．
20．【分析】（I）先证明DMEF为平行四边形，证明EM∥FD，再证明出结论；
（II）以OC，OB，OF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，证明即可；
（III）求出是平面BCE的法向量，再求出平面BCF的法向量，利用夹角公式求出即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点D，连结DM，DF，
在三角形ABC中，DM∥AB且DM＝，
又因为AB＝2EF＝1，
所以EF＝，又因为EF∥AB
所以DMEF为平行四边形，
所以EM∥FD，
又因为EM⊄平面ACF，DF⊂平面ACF，
所以EM∥平面ACF；
（Ⅱ）证明：取AB中点O，连结OC，OF，
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB＝2，CO⊥AB，
因为四边形ABEF满足AB∥EF，∠ABE＝90°，EF＝BF＝1，
所以FB＝FA＝，FO⊥AB，
又因为平面ABEF⊥平面ABC，
所以OF⊥平面ABC，
以OC，OB，OF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），M（），C（，0，0），E（0，1，1），，
所以
所以AM⊥CE；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AM⊥CE，
由已知可得AM⊥BC，
所以AM⊥平面BCE，
所以是平面BCE的法向量，
又，
设平面BCF的法向量为，
则，即，
令x＝1，得，
由cos＜＞＝，
又因为二面角E﹣BC﹣F为锐二面角，
所以二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．
【点评】考查线面平行的判定定理和性质定理，考查线面垂直的性质定理，向量法求线线垂直，夹角公式求二面角的余弦值，考查空间想象能力和运算能力，中档题．
21．【分析】（Ⅰ）因为过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2，所以可认为点（c，1）在椭圆上，再结合椭圆的几何性质即可得解；
（Ⅱ）先利用分析法将|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|逐渐转化为要证明k MB+k NB＝0，再曲直联立，分别算出直线MB和直线NB的斜率即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，令x＝c，得，
由已知，
又，a2＝b2+c2，
解得a＝2，，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）要证明|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|，只需证明，
过M，N分别作x轴的垂线段MM'，NN'，易得：，
所以只需证明，
所以只需证明∠MBA＝∠NBA，只需证明k MB+k NB＝0．
当直线l的斜率不存在时，易得|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|．
当直线l的斜率存在时，不妨设其为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
直线MB的斜率，直线NB的斜率，
＝
＝＝＝0．
综上所述，|MB|•|NA|＝|MA|•|NB|．
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，采用了分析法，将线段乘积相等转化为斜率之和为0是解题的关键，考查学生转化与化归的能力和运算能力，属于中档题．
22．【分析】（Ⅰ）利用f′（x）＝x（x+2）e x＞0或＜0即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）过点P（1，0）过的切线方程为﹣＝（+2x0）（1﹣x0），化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，通过该方程解的个数可判断过点P（1，0）存在几条直线与曲线y＝f（x）相切；
（Ⅲ）若f（x）≥k（x﹣1）对任意x∈R恒成立，设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），
方法1：分k＝0、k＜0、k＞0三类讨论后，只需考虑x＞1时情况；转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造函数，令h（x）＝（x＞1），利用导数可求得其最小值，从而可得实数k的取值范围．方法2：不用讨论k，只讨论x，分x＝1，x＞1两类讨论，重点关注后者，可转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立，以下分析方法同方法1．
【解答】（共14分）
解：（Ⅰ）f′（x）＝（x2+2x）e x＝x（x+2）e x………………（1分）
f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞0；
f′（x）＜0得，﹣2＜x＜0；………………（2分）
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；单调减区间为（﹣2，0）………（3分）（Ⅱ）过（1，0）点可做f（x）的三条切线；理由如下：………………（1分）
设切点坐标为（x0，），过切点的切线方程为
y﹣＝（+2x0）（x﹣x0）………………（2分）
切线过（1，0）点，代入得﹣＝（+2x0）（1﹣x0），
化简得x0（x0+）（x0﹣）＝0，…………（3分）
方程有三个解，x0＝0，x0＝﹣，x0＝，即三个切点横坐标，…………（4分）
所以过（1，0）点可做f（x）的三条切线．
（Ⅲ）设g（x）＝x2e x﹣k（x﹣1），………………（1分）
方法1
1°k＝0时，x2e x≥k（x﹣1）成立；………………（1分）
2°k＜0时，若x，f（0）＝0＞k（0﹣1）不成立，
所以k＜0不合题意．………………（2分）
3°k＞0时，x≤1时，h（x）＞0显然成立，只需考虑x＞1时情况；
转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立．………………（3分）
令h（x）＝（x＞1），
h′（x）＝＝，………………（3分）
当1＜x＜时，h′（x）＜0，h′x）单调减；
当x＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；
所以h（x）min＝h（）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）
所以k≤（2+2）．
综上，k的取值范围是[0，（2+2）]………………（7分）
方法2：不用讨论k，只讨论x．
1°x＝1，成立；………………（1分）
2°x＞1转化为≥k对任意x∈（1，+∞）恒成立………………（2分）
令h（x）＝（x＞1），
h′（x）＝＝，………………（3分）当1＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）单调减；
当x＞时，h′（x）＞0，h（x）单调增；
所以h（x）min＝h（）＝＝（2+2）≥k，………………（4分）
所以k≤（2+2）．
3°当x＜1时转化为≤k对任意x∈（﹣∞，1）恒成立………………（5分）
同2°，令h（x）＝（x＜1），
h′（x）＝，列下表
x（﹣∞，﹣
﹣（﹣，0）0 （0，1）
）
h′（x）﹣0 + 0 ﹣
h（x）减极小值增极大值减
当x＜1时，易得h（x）＝≤0，
h（0）＝0，所以h max＝h（0）＝0≤k；即k≥0，………………（6分）
综上，k的取值范围是[0，（2+2）]．………………（7分）
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马上期末考试了，祝愿期末考出好成绩。